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自控第四章第1页，共35页，编辑于2022年，星期二4.24.2绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则一、一、根轨迹的连续性根轨迹的连续性 由于由于根轨迹增益根轨迹增益在在Kg：0 变化时是连续的，所变化时是连续的，所以特征根也连续变化，即根轨迹连续。以特征根也连续变化，即根轨迹连续。二、根轨迹的对称性二、根轨迹的对称性 由于线性定常系统闭环特征方程的根由于线性定常系统闭环特征方程的根必为实数或共必为实数或共轭复数轭复数，根轨迹图实轴对称。，根轨迹图实轴对称。三、根轨迹的分支数三、根轨迹的分支数 n阶系统，其特征方程有阶系统，其特征方程有n个根，所以当个根，所以当增益增益在由在由0 变化时，在变化时，在s平面有平面有n条根轨迹，即根轨迹的分支数等条根轨迹，即根轨迹的分支数等于于n，与系统的阶数相等。，与系统的阶数相等。第2页，共35页，编辑于2022年，星期二四、根轨迹的起点和终点四、根轨迹的起点和终点根轨迹增益根轨迹增益Kg=0时的闭环极点称为根轨迹的时的闭环极点称为根轨迹的起点起点根轨迹增益根轨迹增益Kg=时的闭环极点称为根轨迹的时的闭环极点称为根轨迹的终点终点由由有有Kg=0，两边相等，两边相等，必有必有n条根轨迹起始于系统的条根轨迹起始于系统的n个开环极点个开环极点。第3页，共35页，编辑于2022年，星期二由由有有Kg，两边相等，必有，两边相等，必有n条根轨迹终止于系统的条根轨迹终止于系统的n个开环零点个开环零点。一般一般mn，n阶系统只有阶系统只有m个有限零点，个有限零点，m条根轨迹终条根轨迹终止于止于m个有限零点个有限零点，其余其余n-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于无穷远处无穷远处。第4页，共35页，编辑于2022年，星期二证明证明：由由有有因为因为mn，Kg ，有，有s 所以，其余所以，其余n-m条根轨迹终止于条根轨迹终止于无穷远处无穷远处。第5页，共35页，编辑于2022年，星期二例例 已知开环传递函数为已知开环传递函数为确定根轨迹的起点与终点确定根轨迹的起点与终点。解：解：起点为开环极点：起点为开环极点：sp1=0，sp2=-1，sp3=-5终点为开环零点：终点为开环零点：sz1，2=-1j，sz3=如图所示。如图所示。第6页，共35页，编辑于2022年，星期二五、五、根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 n-m条根轨迹将以什么方式趋向无穷远？即作渐条根轨迹将以什么方式趋向无穷远？即作渐近线。近线。渐近线与实轴交点坐标渐近线与实轴交点坐标渐近线与实轴夹角渐近线与实轴夹角第7页，共35页，编辑于2022年，星期二例例已知系统开环传递函数试已知系统开环传递函数试确定根轨迹的支数、起点和确定根轨迹的支数、起点和终点、渐近线。终点、渐近线。解解n=3，m=0，（1）由于）由于n=3，所以有，所以有3条根轨迹。条根轨迹。（2）起点：）起点：p1=0,p2=-1和和p3=-5。终点：由于终点：由于m=0，3个个终点为无穷远处。终点为无穷远处。（3）渐近线：渐近线：与实轴的交点与实轴的交点 及倾斜角及倾斜角 分别为分别为第8页，共35页，编辑于2022年，星期二六、六、实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实轴上根轨迹的判别方法实轴上根轨迹的判别方法 在实轴上选取实验点在实轴上选取实验点si，如果实验点，如果实验点si右方右方实轴上的实轴上的开环开环零零点数和极点数的总和为点数和极点数的总和为奇数奇数，则实验点所在的实验段，则实验点所在的实验段是根轨是根轨迹迹，否则该实验段，否则该实验段不是根轨迹不是根轨迹。第9页，共35页，编辑于2022年，星期二例例 设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为;试求实轴上的根轨迹。试求实轴上的根轨迹。解：解：-4,-1.5,-4,-1.5,-1,-0.5-1,-0.5 是根轨迹，是根轨迹，第10页，共35页，编辑于2022年，星期二七、七、根轨迹根轨迹的的会合点会合点和和分分离点，离点，根轨迹在复平面上的根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该某一点相遇后又分开，称该点为点为分离点分离点或或会合点。会合点。实轴分离点和会合点的判别实轴分离点和会合点的判别实轴上实轴上相邻开环极点相邻开环极点之间是根轨迹之间是根轨迹必有分离点必有分离点；实轴上实轴上相邻开环零点相邻开环零点相邻开环零点相邻开环零点之间是根轨迹之间是根轨迹必有会合点必有会合点；实轴上实轴上开环零点、极点开环零点、极点之间是根轨迹，可能之间是根轨迹，可能既无分离点也无既无分离点也无会合点会合点，也可能也可能既有分离点也有会合点既有分离点也有会合点。第11页，共35页，编辑于2022年，星期二分离点或会合点位置的计算分离点或会合点位置的计算重根法重根法：基于代数重根法则，如果方程函数基于代数重根法则，如果方程函数f(x)=0有重根，则有重根，则f (x)=0的根也是的根也是f(x)=0的根。因此有的根。因此有联立方程：联立方程：求解：求解：求得分离点。求得分离点。第12页，共35页，编辑于2022年，星期二极值法极值法：由于函数由于函数f(x)可以在重根处获得极值，有可以在重根处获得极值，有得得求解方程求解方程即可求得分离点。即可求得分离点。第13页，共35页，编辑于2022年，星期二例例 单位反馈系统，开环传递单位反馈系统，开环传递函数为右边所示；确定分离函数为右边所示；确定分离点和会合点。点和会合点。解：解：由由得方程：得方程：第14页，共35页，编辑于2022年，星期二八、八、根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为根轨迹离开共轭复数极点的出发角称为出射角，出射角，根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为根轨迹趋于共轭复数零点的终止角称为入射角。入射角。由幅角条件由幅角条件第15页，共35页，编辑于2022年，星期二出射角为出射角为入射角为入射角为第16页，共35页，编辑于2022年，星期二例例45 已知开环传递函数，已知开环传递函数，试确定根轨迹的出射角试确定根轨迹的出射角。解：由解：由同理同理第17页，共35页，编辑于2022年，星期二九、九、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 计算根轨迹穿越虚轴的点。计算根轨迹穿越虚轴的点。根轨迹穿越虚轴，其闭环根必根轨迹穿越虚轴，其闭环根必为为纯虚根，纯虚根，所以，可设所以，可设s=j，代入特征方程，联立代入特征方程，联立实部方程实部方程和和虚部方程虚部方程解出。也可由解出。也可由劳斯判据劳斯判据解出解出例例例例4 46 6 已知开环传递函数，已知开环传递函数，计算根轨迹与虚轴交点。计算根轨迹与虚轴交点。特征方程特征方程得实部方程与虚部方程得实部方程与虚部方程解出解出第18页，共35页，编辑于2022年，星期二第19页，共35页，编辑于2022年，星期二十、十、闭环极点闭环极点之和之和与闭环极点与闭环极点之积之积（a）当当n-m2时，闭环极点之和等于开环极点之和且为常数时，闭环极点之和等于开环极点之和且为常数an-1。根轨迹走向以重心根轨迹走向以重心sg为中心，左右两边对称运动。为中心，左右两边对称运动。（b）闭环极点之积和开环零极点关系如下。闭环极点之积和开环零极点关系如下。第20页，共35页，编辑于2022年，星期二二、参量根轨迹二、参量根轨迹 除根轨迹增益除根轨迹增益Kg外其它参数变化时外其它参数变化时例如某些开环零、例如某些开环零、极点，绘制的根轨迹称极点，绘制的根轨迹称参量根轨迹参量根轨迹绘制参量根轨迹的步骤绘制参量根轨迹的步骤1写出原系统的特征方程。写出原系统的特征方程。2以特征方程中不含参量的各项除特征方程，得系统的以特征方程中不含参量的各项除特征方程，得系统的等效开环等效开环传递函数传递函数，该方程中原系统的参量该方程中原系统的参量 即为等效系统的根轨迹增益。即为等效系统的根轨迹增益。3绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参量根轨迹。第21页，共35页，编辑于2022年，星期二例例49 控制系统如图所示，当控制系统如图所示，当Kg=4时，试绘制开环极点时，试绘制开环极点p变变化时参量根轨迹。化时参量根轨迹。解解 当当Kg=4时，开环传递函数时，开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数闭环特征方程闭环特征方程由于由于等效开环传递函数等效开环传递函数第22页，共35页，编辑于2022年，星期二控制系统的根轨迹法分析控制系统的根轨迹法分析 根轨迹法分析是根据系统的根轨迹法分析是根据系统的结构和参数结构和参数，绘制，绘制出系统的出系统的根轨迹图根轨迹图后，利用根轨迹图来对系统进行性能后，利用根轨迹图来对系统进行性能分析的分析方法。它包括：分析的分析方法。它包括：确定系统的确定系统的稳定性稳定性；计算系统的计算系统的动态性能动态性能和和稳态性能稳态性能；根据性能要求根据性能要求确定系统的参数确定系统的参数等等。第23页，共35页，编辑于2022年，星期二一、一、稳定性分析稳定性分析例例410 设系统开环传递设系统开环传递函数为；根据根轨迹图分函数为；根据根轨迹图分析系统稳定性。析系统稳定性。解：解：根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。临界增益：临界增益：Kgc=7因此，系统稳定增益范围为因此，系统稳定增益范围为0 Kg 7注意临界稳定的开环增益是注意临界稳定的开环增益是?即即Kg与与Ko的关系。的关系。第24页，共35页，编辑于2022年，星期二根轨迹法；稳定性分析根轨迹法；稳定性分析q利用根轨迹法分析系统利用根轨迹法分析系统第25页，共35页，编辑于2022年，星期二第26页，共35页，编辑于2022年，星期二根轨迹法；动态性能分析根轨迹法；动态性能分析第27页，共35页，编辑于2022年，星期二第28页，共35页，编辑于2022年，星期二二、二、瞬态性能分析瞬态性能分析S平面上，欠阻尼系统闭环极点位置如图所示平面上，欠阻尼系统闭环极点位置如图所示 等等ts线，线，等等 d线线等等Mp线，线，等等 n线，线，第29页，共35页，编辑于2022年，星期二例例411 单位反馈控制系统单位反馈控制系统的开环传递函数为的开环传递函数为若要求闭环系统单位阶跃响应的若要求闭环系统单位阶跃响应的最大超调量最大超调量 Mp 18%，试确，试确定定开环增益。开环增益。解：解：作根轨迹如图。作根轨迹如图。超调量超调量 Mp 18%，阻尼角阻尼角 60作射线交根轨迹，闭环极点为作射线交根轨迹，闭环极点为计算交点处根轨迹增益计算交点处根轨迹增益Kg，由幅值条件由幅值条件第30页，共35页，编辑于2022年，星期二开环增益为开环增益为3个闭环极点为：个闭环极点为：-7.6-1.2+2.1j-1.2-2.1j第31页，共35页，编辑于2022年，星期二三、三、条件稳定系统的分析条件稳定系统的分析例例411 设某系统开环传递设某系统开环传递函数为函数为作系统分析。作系统分析。解：解：作根轨迹如图。作根轨迹如图。0K14，64K195系统稳定系统稳定 参数在一定的范围内取值才参数在一定的范围内取值才能使系统稳定，能使系统稳定，这样的这样的系统称系统称条件稳定系统条件稳定系统。第32页，共35页，编辑于2022年，星期二四四 稳态性能分析稳态性能分析1、无差度无差度 系统的无差度系统的无差度 是由前向通路中是由前向通路中积分环节的个数积分环节的个数来决定来决定的，在根轨迹图上即位于原点的开环极点的个数，很容易从的，在根轨迹图上即位于原点的开环极点的个数，很容易从图上读到。图上读到。2、稳态误差、稳态误差ess 有差系统的稳态误差大小是由系统的有差系统的稳态误差大小是由系统的开环增益开环增益来确定的。来确定的。因此，在根轨迹法分析中，只要计算出系统的开环增益即可因此，在根轨迹法分析中，只要计算出系统的开环增益即可以得到系统的稳态性能。以得到系统的稳态性能。第33页，共35页，编辑于2022年，星期二本章小结本章小结1 1、掌握根轨迹的模条件和角条件，并能利用它们确定掌握根轨迹的模条件和角条件，并能利用它们确定根轨根轨迹上的点及相应的增益值。迹上的点及相应的增益值。2 2、掌握绘制根轨迹的基本原则，会画根轨迹。、掌握绘制根轨迹的基本原则，会画根轨迹。3 3、会利用根轨迹分析控制系统的动态性能。、会利用根轨迹分析控制系统的动态性能。4 4、了解增加零、极点对系统动、静态性能的影、了解增加零、极点对系统动、静态性能的影响。响。第34页，共35页，编辑于2022年，星期二课本：4-4，4-14，4-21第35页，共35页，编辑于2022年，星期二