行列式行列式按行列展开幻灯片.ppt

行列式行列式按行列展开第1页，共29页，编辑于2022年，星期二一、余子式、代数余子式的概念二、行列式按行（列）展开三、代数余子式的性质与应用第一章 行列式主要内容：第2页，共29页，编辑于2022年，星期二一、余子式、代数余子式所在的第i行和第j列在n阶行列式中，把元素的余子式（complement minor），记作阶行列式叫做元素划去后，剩下来的代数余子式（algebraic complement minor），而前面附以符号后，叫做元素的来表示，即用符号第3页，共29页，编辑于2022年，星期二例如4阶行列式中元素的余子式和代数余子式分别为：第4页，共29页，编辑于2022年，星期二引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它与它的代数余子式的乘积，即的代数余子式的乘积，即 例如例如第5页，共29页，编辑于2022年，星期二证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时第6页，共29页，编辑于2022年，星期二得把D中的第i行依次与第i-1行，第i-2行，第1行对调第7页，共29页，编辑于2022年，星期二得再把D中的第j列依次与第j-1列，第j-2列，第1列对调第8页，共29页，编辑于2022年，星期二第9页，共29页，编辑于2022年，星期二中的余子式元素 在行列式中的余子式仍然是 在第10页，共29页，编辑于2022年，星期二故得于是有第11页，共29页，编辑于2022年，星期二在运用定理3来计算行列式时，总是按含0最多的行或列来展开行列式，因为0位置的代数余子式乘以0后仍然是0。第12页，共29页，编辑于2022年，星期二例1 证明：第13页，共29页，编辑于2022年，星期二证：由定理3将行列式按第1行展开，对这个n1阶行列式再按第1行展开有：这样逐步推下去，则得到 第14页，共29页，编辑于2022年，星期二例2 计算的值。第15页，共29页，编辑于2022年，星期二 第16页，共29页，编辑于2022年，星期二第17页，共29页，编辑于2022年，星期二 证：用数学归纳法所以当 时，(1)式成立。因为第18页，共29页，编辑于2022年，星期二假设(1)对于n-1阶范德蒙德行列式成立，按第1列展开，并把每列的公因子 提出，就有第19页，共29页，编辑于2022年，星期二 n-1阶范德蒙德行列式第20页，共29页，编辑于2022年，星期二推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证把行列式D按第j行展开，有第21页，共29页，编辑于2022年，星期二第i行同理，相同把 换成 ，可得第j行当 时，第22页，共29页，编辑于2022年，星期二关于代数余子式的重要性质其中第23页，共29页，编辑于2022年，星期二例4 设D的(i，j)元的余子式和代数余子式依次记作 和 ，求第24页，共29页，编辑于2022年，星期二解：第25页，共29页，编辑于2022年，星期二第26页，共29页，编辑于2022年，星期二小 结一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开（重点）三、代数余子式的性质与应用（难点）第27页，共29页，编辑于2022年，星期二课后作业1）作业：书上25页习题一 第5（2），6（4）（5），8（1），9题2）预习：第1章行列式第6节第28页，共29页，编辑于2022年，星期二第29页，共29页，编辑于2022年，星期二