学案2等差数列.ppt

学案学案2 等等 差差 数数 列列 名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 等差等差数列数列(1)理解等差数列的概念理解等差数列的概念.(2)掌握等差数列的通项公式与前掌握等差数列的通项公式与前n项和公式项和公式.能能运用公式解决一些简单问题运用公式解决一些简单问题.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题并能用有关知识解决相应的问题.(4)了解等差数列与一次函数的关系了解等差数列与一次函数的关系.名师伴你行 等差数列知识在高考中属必考内容等差数列知识在高考中属必考内容,通常直接考查等通常直接考查等差数列的通项公式、前差数列的通项公式、前n项和公式的题目为容易题项和公式的题目为容易题,一般一般以选择题、填空题形式出现，而与其他知识（函数、不以选择题、填空题形式出现，而与其他知识（函数、不等式、解析几何等）相结合的综合题一般为解答题，难等式、解析几何等）相结合的综合题一般为解答题，难度不大为中档题度不大为中档题.近几年主要考查等差数列通项公式、求近几年主要考查等差数列通项公式、求和公式的综合题，难度较小和公式的综合题，难度较小.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 1.1.等差数列的概念等差数列的概念 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列数列.2.2.通项公式通项公式 an=，推广：，推广：an=am+,第第2项起，每一项与前一项起，每一项与前一 项的差都项的差都a1+（n-1）d （n-m）d 名师伴你行返回目录返回目录 变式变式:a1=an+;d=.由此联想到点列由此联想到点列(n,an)所在直线的方程是所在直线的方程是 3.3.等差中项等差中项 若若a,b,c成等差数列成等差数列,则称则称b为为 ,且且b=,a,b,c成等差数列是成等差数列是2b=a+c的的 .4.前前n项和项和Sn=.变式：变式：（1-n）d y=dx+（a1-d）a与与c的等差中项的等差中项 充要条件充要条件 名师伴你行返回目录返回目录 5.5.等差数列等差数列aan n 的一些常见性质的一些常见性质（1）若）若m+n=p+q（m，n，p，qN*）,则则 .（2）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak+m，ak+2m，（k，mN*）成等差数列）成等差数列.（3）设）设Sn是等差数列是等差数列an的前的前n项和，则项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，构成的数列是构成的数列是 数列数列.等差等差 am+an=ap+aq名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷记等差数列记等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,设设S3=12,且且2a1,a2,a3+1成等比数列成等比数列,求求Sn.考点考点考点考点1 1 基本量计算基本量计算基本量计算基本量计算 名师伴你行返回目录返回目录 【分析】【分析】在等差数列中有五个重要的量在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个，只要已知任意三个，就可求出其他两个.其中其中a1和和d是两个最重要的量，通常要先求出是两个最重要的量，通常要先求出a1和和d.名师伴你行 【解析解析】设数列设数列an的公差为的公差为d,依题设有依题设有 2a1(a3+1)=a22 a1+a2+a3=12,a12+2a1d-d2+2a1=0 a1+d=4,a1=1 a1=8 d=3 d=-4.因此因此Sn=n(3n-1)或或Sn=2n(5-n).即即 解得解得 或或 返回目录返回目录 方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用时在解题中也要注意数列性质的应用.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 2009年高考江苏卷设年高考江苏卷设an是公差不为零的等差是公差不为零的等差数列，数列，Sn为其前为其前n项和，满足项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7.（1）求数列）求数列an的通项公式及前的通项公式及前n项和项和Sn；（2）试求所有的正整数试求所有的正整数m,使得使得 为数为数列列 Sn 中的项中的项.返回目录返回目录 【解析解析】(1)由题意由题意,设等差数列设等差数列an的通项公式为的通项公式为an=a1+(n-1)d,d0.由由a22+a32=a42+a52知知2a1+5d=0.又因为又因为S7=7,所以所以a1+3d=1.由由可得可得a1=-5,d=2.所以数列所以数列an的通项公式的通项公式an=2n-7,Sn=na1+d=n2-6n.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 (2)因为因为为数列为数列Sn中的项，故中的项，故 为整数为整数.又由又由(1)知知am+2为奇数为奇数,所以所以am+2=2m-3=1,即即m=1或或2.经检验经检验,符合题意的正整数符合题意的正整数m不存在不存在.返回目录返回目录 (1)2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷改编改编如果等差数如果等差数列列an中中,a3+a4+a5=12，那么，那么a1+a2+a7=.(2)设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn,若若S3=9,S6=36,则则a7+a8+a9=.【分析分析分析分析】由等差数列性质求解，更简单由等差数列性质求解，更简单.考点考点考点考点2 2 等差数列的性质及应用等差数列的性质及应用等差数列的性质及应用等差数列的性质及应用 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 【解析解析】(1)由等差数列性质得由等差数列性质得a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,a1+a2+a7=7 =74=28.(2)解法一：设等差数列首项为解法一：设等差数列首项为a1，公差为，公差为d.3a1+d=9,a1=1 6a1+d=36.d=2.a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3(1+72)=45.则则解得解得 返回目录返回目录 解法二：解法二：由等差数列的性质知：由等差数列的性质知：S6-S3=36-9=27,d=27-9=18,a7+a8+a9=S3+2d=9+218=45.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行等差数列的简单性质等差数列的简单性质:已知数列已知数列an是等差数列是等差数列,Sn是其前是其前n项和项和.(1)若若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq.特别特别:若若m+n=2p,则则am+an=2ap.(2)am,a m+k,a m+2k,a m+3k,仍是等差数列仍是等差数列,公差为公差为kd.(3)数列数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列也是等差数列.(4)S2n-1=(2n-1)an.(5)若若n为偶数为偶数,则则S偶偶-S奇奇=d.若若n为奇数为奇数,则则S奇奇-S偶偶=a中中(中间项中间项).(6)数列数列can,c+an,pan+qbn也是等差数列也是等差数列,其中其中c,p,q均为常数均为常数,bn是等差数列是等差数列.返回目录返回目录（1）等差数列）等差数列an中中,a15=33,a45=153,则则d=.（2）等差数列）等差数列an中，中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则，则a3=.（3）若一个等差数列前）若一个等差数列前3项的和为项的和为34，最后三项的和为，最后三项的和为 146，且所有项的和为，且所有项的和为390，则这个数列的项数为，则这个数列的项数为 .名师伴你行返回目录返回目录（1）由由d=，得，得d=4.（2）由）由a1+a5=a2+a4=2a3，得，得5a3=20，所以，所以a3=4.（3）因为）因为a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146，a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180，又因为又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2，所以所以3（a1+an）=180，从而，从而a1+an=60，所以所以Sn=，即，即n=13.名师伴你行返回目录返回目录 在等差数列在等差数列an中中,已知已知a1=20,前前n项和为项和为Sn,且且S10=S15,求当求当n取何值时取何值时,Sn取得最大值取得最大值,并求出它的最大值并求出它的最大值.【分析分析分析分析】(1)由由a1=20及及S10=S15可求得可求得d,进而求得进而求得通项通项,由通项得到此数列前多少项为正由通项得到此数列前多少项为正,或利用或利用Sn是关于是关于n的二次函数的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用利用等差数列的性质等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号判断出数列从第几项开始变号.考点考点考点考点3 3 等差数列前等差数列前等差数列前等差数列前n n项和的最值项和的最值项和的最值项和的最值 名师伴你行返回目录返回目录【解析解析解析解析】解法一：解法一：a1=20,S10=S15,1020+d=1520+d,d=-.an=20+(n-1)(-)=-n+.a13=0.即当即当a12时，时，an0，n14时，时，an0.当当n=12或或13时，时，Sn取得最大值，且最大值为取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+(-)=130.名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二解法二解法二：同解法一求得：同解法一求得d=-.Sn=20n+(-)=-n2+n=-(n-)2+.nN+,当当n=12或或13时，时，Sn有最大值，有最大值，且最大值为且最大值为S12=S13=130.名师伴你行返回目录返回目录 解法三解法三解法三解法三：同解法一得：同解法一得d=-.又由又由S10=S15，得，得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0，即，即a13=0.当当n=12或或13时时,Sn有最大值有最大值,且最大值且最大值 为为S12=S13=130.名师伴你行返回目录返回目录 求等差数列前求等差数列前n项和的最值，常用的方法：项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；值；（3）利用等差数列的前）利用等差数列的前n项和项和Sn=An2+Bn（A，B为常为常数）数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值为二次函数，根据二次函数的性质求最值.名师伴你行返回目录返回目录 在等差数列在等差数列an中，中，a10,S9=S12,求数列前多少项和最小求数列前多少项和最小.解法一解法一解法一解法一：由：由S9=S12，得，得9a1+d=12a1+d,得得3a1=-30d，d=-a1.a10,d0,Sn=na1+n（n-1）d=dn2-dn=(n-)2-d.d0,Sn有最小值有最小值.又又nN*,n=10或或n=11时，时，Sn取最小值，最小值是取最小值，最小值是-55d，即，即S10或或S11最小且最小且S10=S11=-55d.名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二解法二解法二：由解法一知：由解法一知d=-a10,又又a10,数列数列an为递增数列为递增数列.a0,a1+（n-1）d0 an+10,a1+nd0a1+(n-1)(-a1)0 1-(n-1)0 a1+n(-a1)0 1-n010n11,数列的前数列的前10项均为负值，项均为负值，a11=0，从第，从第12项起为正值项起为正值.n=10或或11时，时，Sn取最小值取最小值.即即令令名师伴你行返回目录返回目录 解法三解法三解法三解法三：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0.又又a10,数列为递增数列数列为递增数列.因此数列的前因此数列的前10项均为负值，项均为负值，a11=0，从第，从第12项起为正项起为正值值.当当n=10或或11时，时，Sn取最小值取最小值.名师伴你行返回目录返回目录 1.1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从深刻理解等差数列的定义，紧扣从深刻理解等差数列的定义，紧扣从深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起第二项起第二项起第二项起”和和和和“差是同一常数差是同一常数差是同一常数差是同一常数”这两点这两点这两点这两点.2.2.由五个量由五个量由五个量由五个量a a1 1，d d，n n，a an n，S Sn n中的三个量可求出其中的三个量可求出其中的三个量可求出其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，达到快速、准确的目的达到快速、准确的目的达到快速、准确的目的达到快速、准确的目的.3.3.已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设设设设a a，a+da+d，a+2da+2d外，还可设外，还可设外，还可设外，还可设a-da-d，a a，a+da+d；四个数成等；四个数成等；四个数成等；四个数成等差数列时，可设为差数列时，可设为差数列时，可设为差数列时，可设为a-3da-3d，a-da-d，a+da+d，a+3d.a+3d.名师伴你行返回目录返回目录 4.4.证明数列证明数列证明数列证明数列aan n 是等差数列的两种基本方法是：是等差数列的两种基本方法是：是等差数列的两种基本方法是：是等差数列的两种基本方法是：（1 1）利用定义，证明）利用定义，证明）利用定义，证明）利用定义，证明a an n-a-an-1n-1（n2n2）为常数）为常数）为常数）为常数.（2 2）利用等差中项，即证明）利用等差中项，即证明）利用等差中项，即证明）利用等差中项，即证明2a2an n=a=an-1n-1+a+an+1n+1（n2n2）.5.5.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用练掌握、灵活运用练掌握、灵活运用练掌握、灵活运用.6.6.等差数列等差数列等差数列等差数列aan n 中，当中，当中，当中，当a a1 10,d0,d0 0时，数列时，数列时，数列时，数列aan n 为递增为递增为递增为递增数列，数列，数列，数列，S Sn n有最小值；当有最小值；当有最小值；当有最小值；当a a1 10,d0,d0 0时，数列时，数列时，数列时，数列aan n 为递减数列，为递减数列，为递减数列，为递减数列，S Sn n有最大值，当有最大值，当有最大值，当有最大值，当d=0d=0时，时，时，时，aan n 为常数列为常数列为常数列为常数列.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行