2023年三角函数的诱导公式教案.docx

2023年三角函数的诱导公式教案 第一篇：三角函数的诱导公式教案 1.3 三角函数的诱导公式 贾斐 三维目标 1、通过学生的探究,明白三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培育学生的规律推理实力及运算实力,渗透转化及分类探讨的思想.2、通过诱导公式的具体运用,娴熟正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的实力.重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵敏运用,三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点:六组诱导公式的灵敏运用.课时支配2课时 教学过程 导入新课 思路1.利用单位圆表示随便角的正弦值和余弦值.复习诱导公式一及其用处.思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把确定值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(p到2)范围内的角的三角函数怎样求解,能2不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.新知探究 提出问题 由公式一把随便角转化为0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.老师可组织学生思索探讨如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角能否与锐角相联系?通过分析与的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求90°,360°)内的角的三角函数值,转化为求有关锐角的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,老师可借此向学生介绍化归思想.图1 探讨结果:通过分析,归纳得出:如图1.ì180o-a,bÎ,ï=í180o+a,bÎ, ï360o-a,bÎ,î提出问题 锐角的终边与180°+角的终边位置关系如何? 它们与单位圆的交点的位置关系如何? 随便角与180°+呢? 活动:分为锐角和随便角作图分析:如图2.图2 引导学生充分利用单位圆,并和学生一起探讨探究角的关系.无论为锐角还是随便角,180°+的终边都是的终边的反向延长线,所以先选择180°+为探讨对象.利用图形还可以直观地解决问题,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P(-x,-y).指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二: sin(180°+)=-sin,cos(180°+)=-cos.并指导学生写出角为弧度时的关系式: sin(+)=-sin,cos(+)=-cos,tan(+)=tan.引导学生视察公式的特点,明白各个公式的作用.探讨结果:锐角的终边与180°+角的终边互为反向延长线.它们与单位圆的交点关于原点对称.随便角与180°+角的终边与单位圆的交点关于原点对称.提出问题 有了以上公式,我们下一步的探讨对象是什么? -角的终边与角的终边位置关系如何? 活动:让学生在单位圆中探讨-与的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思索: 随便角和-的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探究、概括、比照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即: sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.老师点拨学生留意:无论是锐角还是随便角,公式均成立.并进一步引导学生视察分析公式三的特点,得出公式三的用处:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.探讨结果: 根据分析下一步的探讨对象是-的正弦和余弦.-角的终边与角的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.提出问题 下一步的探讨对象是什么? -角的终边与角的终边位置关系如何? 活动:探讨-与的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思索:随便角和-的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探究、概括、比照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即: sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.强调无论是锐角还是随便角,公式均成立.引导学生视察分析公式三的特点,得出公式四的用处:可将求-角的三角函数值转化为求角的三角函数值.让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.我们可以用下面一段话来概括公式一四: +k²2(kZ),-,±的三角函数值,等于的同名函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为:“函数名不变,符号看象限.点拨、引导学生留意公式中的是随便角.探讨结果:根据分析下一步的探讨对象是-的三角函数; -角的终边与角的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.示例应用 例1 利用公式求以下三角函数值: (1)cos225°(2)sin11p;(3)sin(-16p);(4)cos(-2 040°).33 活动:这是干脆运用公式的题目类型,让学生熟识公式,通过练习加深印象,逐步到达娴熟、正确地应用.让学生视察题目中的角的范围,比照公式找出哪个公式适合解决这个问题.解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=-(2)sin11p=sin(43-22; p3)=-sinp=-33;23(3)sin(-16p)=-sin16p=-sin(5+p)33=-(-sinp)=33;2(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6³360°-120°)=cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=-1.2点评:利用公式一四把随便角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按以下步骤进行: 上述步骤表达了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.变式训练 利用公式求以下三角函数值:(1)cos(-510°15);(2)sin(-17).3解:(1)cos(-510°15)=cos510°15 =cos(360°+150°15) =cos150°15=cos(180°-29°45)=-cos29°45=-0.868 2;(2)sin(-17)=sin(p-3³2)=sinp=3333.2例2 2023全国高考,1 cos330°等于()A.1 B.-1 C.223 2D.-3 2答案:C 变式训练 化简:解:=1+2sin290ocos430osin250o+cos790o 1+2sin290ocos430osin250o+cos790o 1+2sin(360o-70o)cos(360o+70o)sin(180+70)+cos(720+70)oooo1-2sin70ocos70o|cos70o-sin70o| =oooo-sin70+cos70cos70-sin70sin70o-cos70o=-1.=cos70o-sin70o例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.活动:这是要求学生灵敏运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480° =cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°) =cos(-45°)-1-sin45°+cos120° 2=cos45°-1=221-2222-22+cos(180°-60°) -cos60°=-1.点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终到达统一角或求值的目的.变式训练 求证:tan(2p-q)sin(2p-q)cos(6p-q)=tanq.(-cosq)sin(5p+q)分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.证明:左边=tan(2p-q)sin(2p-q)cos(6p-q) (-cosq)sin(5p+q)=tan(-q)sin(-q)cos(-q) (-cosq)sin(p+q)cosqsinq=tanqsinqcosq=tan=右边.所以原式成立.规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.知能训练 课本本节练习13.解答:1.(1)-cos4p;(2)-sin1;(3)-sinp;(4)cos70°6.95点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.2.(1)1;(2)1;(3)0.642 8;(4)-2232.点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.3.(1)-sincos;(2)sin.点评：先利用诱导公式变形为角的三角函数,再进一步化简.课堂小结 本节课我们学习了公式 二、公式 三、公式四三组公式,24这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实驾驭由未知向已知转化的化归思想.作业 课本习题1.3 A组2、3、4. 其次篇：3三角函数的诱导公式教案 1.2.3 三角函数的诱导公式1 一、课题：三角函数的诱导公式1 二、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程； 2.驾驭公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简； 3.了解、领悟把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的实力。 三、教学重、难点：1诱导公式二、三的推导、记忆及符号的推断； 2应用诱导公式二、三的推导。 四、教学过程： 一复习： 1利用单位圆表示随便角a的正弦值和余弦值； 2诱导公式一及其用处： sink(× =)asink,c×oso(+a360=a)ckos×o,taa+n(=36a0kZÎ)oo0,360问：由公式一把随便角a转化为é)内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？ ë3o6+0aooooé0,9090,360 我们对é范围内的角的三角函数值是熟识的，那么若能把内的角b的三角函数值转化ëë为求锐角a的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。 二新课讲解： oo1引入：对于任何一个é： ë0,360内的角b，以下四种状况有且只有一种成立其中a为锐角) ìa,当bÎé0o,90o)ëïï180o-a,当bÎé90o,180o)ëïb=íooo180,270)ï180+a,当bÎéëïoooé360-a,当bÎ270,360)ïëîooo所以，我们只需探讨180-a,180+a,360-a与a的同名三角函数的关系即探讨了b与a的关系了。 提问：1锐角a的终边与180+a的终边位置关系如何？ o2诱导公式二： 2写出a的终边与180+a的终边与单位圆交点P,P'的坐标。 o3随便角a与180+a呢？ o通过图演示，可以得到：随便a与180+a的终边都是关于原点中心对称的。则有P(x,y),P'(-x,-y)，由正弦函数、余弦函数的定义可知： osina=y，cosa=x； sin(180o+a)=-y，cos(180o+a)=-x oo从而，我们得到诱导公式二： sin(180+a)=-sina；cos(180+a)=-cosa 说明：公式二中的a指随便角； 若a是弧度制，即有sin(p+a)=-sina，cos(p+a)=-cosa； 公式特点：函数名不变，符号看象限； sin(180o+a)-sina可以导出正切：tan(180+a)=-tana ocos(180+a)-cosao此公式要使等式两边同时有意义 3诱导公式三： 提问：1360-a的终边与-a的终边位置关系如何？从而得出应先探讨-a； 2任何角a与-a的终边位置关系如何？ 比照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，即得：诱导公式三：sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa 说明：公式二中的a指随便角； o在角度制和弧度制下，公式都成立； 公式特点：函数名不变，符号看象限交代清楚在什么状况下“名不变，以及符号确定的具体方法； 可以导出正切：tan(-a)=-tana 4例题分析： 43p) 6ooooé0,3600,360分析：先将不是é范围内角的三角函数，转化为)范围内的角的三角函 ëë例 1求以下三角函数值：1sin960； 2cos(-ooo数利用诱导公式一或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到éë0,90ùû范围内角 的三角函数的值。 解：1sin960o=sin(960o-720o)=sin240o诱导公式一 =sin(180o+60o)=-sin60o诱导公式二 3 243p43p)=cos2cos(-诱导公式三667p7p=cos(+6p)=cos诱导公式一 66pp=cos(+p)=-cos诱导公式二 663 =-2=-方法小结：用诱导公式可将随便角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是： 化负角的三角函数为正角的三角函数； oo0,360化为é内的三角函数； ë)化为锐角的三角函数。 可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了有时也干脆化到锐角求值。 cota×cos(p+a)×sin2(3p+a)例2 化简 3tana×cos(-p-a)cota×(-cosa)×sin2(p+a)解：原式= 3tana×cos(p+a)cota×(-cosa)×(-sina)2 =tana×(-cosa)3cota×(-cosa)×sin2a =tana×(-cos3a)cos2asin2a=×=1 sin2acos2a 五、课堂练习： 六、小结：1简述数学的化归思想； 2两个诱导公式的推导和记忆； oo3公式二可以将180,270范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数； ()4公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。 七、作业： 第三篇：三角函数诱导公式练习题含答案 三角函数定义及诱导公式练习题 1将120o化为弧度为 A B C D 2代数式的值为 A.B.C.D.3 A B C D 4已知角的终边经过点(3a，4a)(a<0)，则sin cos 等于 A.B.C D 5已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为() (A)2cm (B)4cm (C)6cm (D)8cm 6若有一扇形的周长为60 cm，那么扇形的最大面积为 A500 cm2 B60 cm2 C225 cm2 D30 cm2 7已知，则的值为 A B C D 8已知，且，则 A、B、C、D、9若角的终边过点，则_.10已知点P(tan，cos)在其次象限，则角的终边在第_象限 11若角同时满意sin<0且tan<0，则角的终边确定落在第_象限 12已知，则的值为 13已知，则_.14已知，则_.15已知tan=3，则 .16(14分)已知tan，求证： (1)=； (2)sin2sincos 17已知 1求的值； 2求的值； 3若是第三象限角，求的值.18已知sin(3)2cos(4)，求的值 参考答案 1B 试题分析：，故.考点：弧度制与角度的互相转化.2A. 试题分析：由诱导公式以可得，sin120°cos210°=sin60°×(-cos30°)=-×=,选A.考点：诱导公式的应用 3C 试题分析：此题主要考查三角诱导公式及特殊角的三角函数值.由，选C.考点：诱导公式.4A 试题分析：，.应选A.考点：三角函数的定义 5C 设扇形的半径为R,则R2=2,R2=1R=1,扇形的周长为2R+·R=2+4=6(cm).6C 设扇形的圆心角为,弧长为cm,由题意知， 当时，扇形的面积最大；这个最大值为.应选C.7A 试题分析：，=.考点：诱导公式.8 试题分析：.又因为，所以为三象限的角，.选B.考点：三角函数的基本计算.9 试题分析：点即，该点到原点的距离为，依题意，根据随便角的三角函数的定义可知.考点：随便角的三角函数.10四 由题意，得tan0且cos0，所以角的终边在第四象限 11四 由sin<0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan<0，可知的终边可能位于其次象限或第四象限，可知的终边只能位于第四象限 12-3 13 试题分析：因为是锐角 所以sin()sin 考点：同角三角函数关系，诱导公式.14 试题分析：，又，则原式=.考点：三角函数的诱导公式.1545 试题分析：已知条件为正切值，所求分式为弦的齐次式，所以运用弦化切，即将分子分母同除以得.考点：弦化切 16证明： (1) (2)sin2sincos (1)原式可以分子分母同除以cosx,到达弦化切的目的.然后将tanx=2代入求值即可.2把1用替换后，然后分母也除以一个1，再分子分母同除以,到达弦化切的目的.证明：由已知tan(1) (2)sin2sincos 171;2;3. 试题分析：1因为已知分子分母为齐次式，所以可以干脆同除以转化为只含的式子即可求得；2用诱导公式将已知化简即可求得；3有，得，再利用同角关系，又因为是第三象限角，所以； 试题解析： 2分 3分 9分 10分 解法1：由，得，又，故，即，12分 因为是第三象限角，所以 14分 解法2：，12分 因为是第三象限角，所以 14分 考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系.18 sin(3)2cos(4)，sin(3)2cos(4)，sin2cos，且cos0.原式 三角函数的诱导公式1 一、选择题 1假如|cosx|=cosx+，则x的取值集合是 A+2kx+2k B+2kx+2k C +2kx+2k D2k+1x2k+1以上kZ 2sin的值是 A B C D 3以下三角函数： sinn+；cos2n+；sin2n+；cos2n+1； sin2n+1nZ 其中函数值与sin的值相同的是 A B C D 4若cos+=，且，0，则tan+的值为 A B C D 5设A、B、C是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是 AcosA+B=cosC BsinA+B=sinC CtanA+B=tanC Dsin=sin 6函数fx=cosxZ的值域为 A1，0，1 B1，1 C1，0，1 D1，1 二、填空题 7若是第三象限角，则=_ 8sin21°+sin22°+sin23°+sin289°=_ 三、解答题 9求值：sin660°cos420°tan330°cot690° 10证明： 11已知cos=，cos+=1，求证：cos2+= 12化简： 13、求证：=tan 14求证：1sin=cos； 2cos+=sin 参考答案1 一、选择题 1C 2A 3C 4B 5B 6B 二、填空题 7sincos 8三、解答题 9+1 10证明：左边= =，右边=，左边=右边，原等式成立 11证明：cos+=1，+=2k cos2+=cos+=cos+2k=cos= 12解： = = = =1 13证明：左边=tan=右边，原等式成立 14证明：1sin=sin+=sin=cos 2cos+=cos+=cos+=sin 三角函数的诱导公式2 一、选择题： 1已知sin(+)=，则sin(-)值为 A.B. C.D. 2cos(+)= ，<<,sin(-) 值为 A.B.C.D. 3化简：得 A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D.± (cos2-sin2) 4已知和的终边关于x轴对称，则以下各式中正确的选项是 A.sin=sin B.sin(-) =sin C.cos=cos D.cos(-) =-cos 5设tan=-2,<<0，那么sin+cos(-)的值等于，A.4+ B.4- C.4± D.-4 二、填空题： 6cos(-x)=，x-，则x的值为 7tan=m，则 8|sin|=sin-+，则的取值范围是 三、解答题： 9 10已知：sinx+=，求sin+cos2-x的值 11求以下三角函数值： 1sin；2cos；3tan； 12求以下三角函数值： 1sin·cos·tan； 2sin2n+1.13设f=，求f的值.参考答案2 1C 2A 3C 4C 5A 6± 78 9原式= sin 1011解：1sin=sin2+=sin=.2cos=cos4+=cos=.3tan=cos4+=cos=.4sin765°=sin360°×245°=sin45°=sin45°=.注：利用公式1、公式2可以将随便角的三角函数转化为终边在第一象限和其次象限的角的三角函数，从而求值.12解：1sin·cos·tan=sin+·cos4+·tan+ =sin·cos·tan=··1=.2sin2n+1=sin=sin=.13解：f= = = = = = cos1，f=cos1=1=.三角函数公式 1同角三角函数基本关系式 sin2cos2=1 =tan tancot=1 2诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) 一sin()sin sin(+)-sin cos()-cos cos(+)-cos tan()-tan tan(+)tan sin(2)-sin sin(2+)sin cos(2)cos cos(2+)cos tan(2)-tan tan(2+)tan 二sin()cos sin(+)cos cos()sin cos(+)- sin tan()cot tan(+)-cot sin()-cos sin(+)-cos cos()-sin cos(+)sin tan()cot tan(+)-cot sin()sin cos()=cos tan()=tan 3两角和与差的三角函数 cos(+)=coscossinsin cos()=coscossinsin sin (+)=sincoscossin sin ()=sincoscossin tan(+)= tan()= 4二倍角公式 sin2=2sincos cos2=cos2sin22 cos2112 sin2 tan2= 5公式的变形 1 升幂公式：1cos22cos2 1cos22sin2 2 降幂公式：cos2 sin2 3 正切公式变形：tan+tantan(+)1tantan tantantan()1tantan) 4 万能公式用tan表示其他三角函数值 sin2 cos2 tan2 6插入帮助角公式 asinxbcosx=sin(x+) (tan=) 特殊地：sinx±cosxsin(x±) 7熟识形式的变形如何变形 1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanxcotx 若A、B是锐角，A+B，则1tanA(1+tanB)=2 8在三角形中的结论 若：ABC=,=则有 tanAtanBtanC=tanAtanBtanC tantantantantantan1 第四篇：三角函数诱导公式-教学反思 我的教学反思 三角函数的诱导公式(一)讲课老师:詹启发 根据学校教务处和数学教研组的教学工作支配,我于12月22日在高一(8)班讲授了一节三角函数的诱导公式公开课。现将本节课做得好与不好的地方总结如下: 本人自己感到满足之处有: 1.教学目标明确,符合新教材的教学要求和学生的认知水平及认知心理,目标设计表达了学科素养。 2.教学内容的设计上抓住了主干学问,把握了重点,突破了难点,留意了教学的条理性。情境导入方面,通过三个设问,激发学生的学习爱好,激励和引导学生主动参与诱导公式的探究觉察过程。演板题目设计典型,难度适中,有确定的效度。 3.运用课件讲授诱导公式,做到图文并茂,让学生能轻松地认知诱导公式,基本到达了预期的教学效果。 4.运用一般话教学,语言精练精确,不说废话。 5.学生学习爱好深厚,答题踊跃,自主、合作、探究学习的看法得以表达,获得了主动的情感体验。 但在教学过程中仍存在一些缺憾:上课时因为惊慌没有在黑板上书写课题;教学中一下微小环节打磨不够,强调不够;板书较少;对做得好的学生缺少表扬等 通过参与这次讲课,使我得到了熬炼,尤其是听课老师中肯的评课,让我收获颇多,将受益终生。盼望今后有机会多参加这样的活动。 第五篇：高一数学三角函数的诱导公式 诱导公式3 一、学习目标 1.能运用诱导公式进行三角函数式的求值、化简以及简洁三角恒等式的证明 2.能综合运用诱导公式和同角三角函数基本关系式解决求值问题 二、重点与难点 重点:驾驭诱导公式的特点，明确公式用处，娴熟运用公式解决问题 难点:诱导公式的综合应用 三、学问点导学 1.sin(360°k+a)=_;cos(360°k+a)=_;tan(360°k+a)=_;sin(180°+a)= _;cos(180°+a)=_;tan(180°+a)= _;sin(-a)=_;cos(-a)=_;tan(-a)=_;sin(pa)= _;cos(p a)=_;tan(pa)=_; sin(p-a)= _;p -a)=_; sin(pp 2+a)= _;2 +a)= _.2.诱导公式口诀:_.3.用诱导公式化简一个角的三角函数值的过程是_ 四、典型例题与练习 练习1:求以下函数值：(1)tan31p20 5,(2)cos580°,(3)sin(-3 p).练习2.化简： sin(q-5p)×p -q)×cos(8p-q1) cos(3p-q)×sin(q-3p)×sin(-q-4p) 2sin(-1200o)×cos1290o+cos(-1020o)×sin(-1050·)+tan945o.例1.已知sin(a+p)=45,且sinacosa<0,求2sin(a-p)+3tan(3p-a)4cos(a-3p)的值.练习1.已知cos(a-2p)=1p tan(-a-p)×sin(2p+a)3,-2 a0，求 cos(-a)×tana的值.练习2.已知p6-a)= 3,求5p6+a)-sin2(a-p 6),例2.已知tan(p+a)=3,求2cos(p-a)-3sin(p+a) 4cos(-a)+sin(2p-a)的值。 例3.已知sina,cosa是关于x的方程x2-ax+17p