一阶线性微分方程ppt课件.ppt
经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、一一、一阶线阶线性微分方程性微分方程二、二、齐齐次次线线性方程的解法性方程的解法三、非三、非齐齐次次线线性方程的解法性方程的解法 第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 第七章第七章 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程一一阶阶线线性性微分方程微分方程标标准形式准形式:若若 Q(x)0,称称为为非非齐齐次方程次方程.若若 Q(x)0,称称为为齐齐次方程次方程;例如例如线线性的性的;非非线线性的性的.经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(1)是是齐齐次次线线性方程性方程.是非是非齐齐次次线线性方程性方程 y 3x2 5x(2)3x2 5x 5y 0 是非是非齐齐次次线线性方程性方程 (3)y ycos x e sin x 考察下列方程是否是考察下列方程是否是(或能否化或能否化为为)线线性方程？性方程？(4)不是不是线线性方程性方程 (5)或或不是不是线线性方程性方程 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用分离分离变变量量:两两边积边积分得分得:故通解故通解为为:二、二、齐齐次次线线性方程的解法性方程的解法 (使用分离使用分离变变量法量法)齐齐次方程次方程是是变变量可分离方程量可分离方程(一一阶线阶线性微分方程性微分方程)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例1求方程求方程的通解的通解.解解1：解解2：这是齐次线性方程：这是齐次线性方程：由通解公式得原方程的通解为：由通解公式得原方程的通解为：ln|y|ln|x 2|lnC 原方程可变为原方程可变为 两边积分得两边积分得 方程的通解为方程的通解为 y C(x 2)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用三、非齐次线性方程三、非齐次线性方程 的解法的解法 两边积分两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用对应齐次对应齐次方程通解方程通解积分得积分得一阶线性一阶线性非齐次非齐次微分方程的微分方程的通解通解为为:非齐次方程特解非齐次方程特解经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用即：即：是非是非齐齐次方程一个特解次方程一个特解.验证验证 是非是非齐齐次次线线性方程的性方程的一个特解：一个特解：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用常数变易法：常数变易法：把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.齐次线性方程的通解齐次线性方程的通解非齐次线性方程：非齐次线性方程：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用解解:例例2经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例3 解方程解方程 解解:先解先解即即积积分得分得即即用用常数常数变变易法易法求特解求特解.则则代入非代入非齐齐次方程得次方程得解得解得故原方程通解故原方程通解为为令令经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例4 求方程求方程的通解的通解.解：解：方程方程变为变为把把 y 看成是看成是 x 的函数：的函数：不便求解不便求解 但若写成：但若写成：则为则为一一阶线阶线性微分方程性微分方程 于是于是对应齐对应齐次方程：次方程：分离分离变变量，并量，并积积分得分得 常数常数变变易法易法 代入原方程代入原方程 故原方程的通解故原方程的通解为为经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用例例5：解方程解方程法法1.取取 y 作自变量作自变量:线性方程线性方程.法法2.作变换作变换 则则 代入原方程得代入原方程得 可分离变量方程可分离变量方程两端积分得两端积分得 以以u x y代入上式：代入上式：经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用内容小结内容小结1.一一阶线阶线性方程性方程方法方法1 先解先解齐齐次方程次方程,再用常数再用常数变变易法易法.方法方法2 用通解公式用通解公式化化为线为线性方程求解性方程求解.2.伯努利方程伯努利方程作业：作业：P315 1(1),(3),(7);2(2),(4);7(1),(3)经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用思考与练习思考与练习1、判、判别别下列方程下列方程类类型型:提示提示:可分离可分离变变量方程量方程齐齐次型方程次型方程线线性方程性方程线线性方程性方程伯努利方程伯努利方程经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用2、求下列方程的通解、求下列方程的通解:经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用3.求一求一连续连续可可导导函数函数使其使其满满足下列方程足下列方程:提示提示:令令则则有有利用公式可求出利用公式可求出经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用(雅各布第一雅各布第一 伯努利伯努利)书书中中给给出的伯努利数在很多地方有用出的伯努利数在很多地方有用,伯努利伯努利(1654 1705)瑞士数学家瑞士数学家,位数学家位数学家.标标和极坐和极坐标标下的曲率半径公式下的曲率半径公式,1695年年 版了他的巨著版了他的巨著猜度猜度术术,上的一件大事上的一件大事,而伯努利定理而伯努利定理则则是大数定律的最早形式是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程年提出了著名的伯努利方程,他家祖他家祖孙孙三代出三代出过过十多十多 1694年他首次年他首次给给出了直角坐出了直角坐 1713年出年出 这这是是组组合数学与概率合数学与概率论论史史此外此外,他他对对双双纽线纽线,悬链线悬链线和和对对数螺数螺线线都有深入的研究都有深入的研究.
