《韦达定理讲解》PPT课件.ppt
韦达定理执教者：虞申君执教者：虞申君一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式：X1,2=（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-2一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2 ,那么X1+x2=,X1x2=-（韦达定理）注：能用韦达定理的前提条件为0韦达（韦达（15401603）韦达定理的证明：X1+x2=+=-X1x2=如果方程x2+px+q=0的两根是X1 ，X2，那么X1+X2=,X1X2=Pq说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2 =4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2=-例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 ,x2 。求：(1)(2)x12+x22解：由题意可知x1+x2=-,x1 x2=-3(1)=(2)(x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-)2-2(-3)6例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k=-2由韦达定理，得x123k即2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解二：设方程的另一个根为x1.由韦达定理，得x1 2=k+1x1 2=3k解这方程组，得x1=3 k=2答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p和q的值:(1)x1=1,x2=2(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-由韦达定理，得解：x1+x2=-,x1 x2=p=-3(x1+x2)q=3 x1 x2 (1)p=-9 q=6 (2)p=9 q=-54 (3)p=0 q=-21 (4)p=12 q=-3 1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16 解：由韦达定理，得x1+x2=-2,x1 x2=(x1+1)(x2+1)=x1 x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时，注意两个隐含条件：（1）二次项系数a0（2）根的判别式 01、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3。2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。解：由方程有两个实数根，得即-8k+40由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2 X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4，得2k2-8k+44解得k1=0 ,k2=4经检验，k2=4不合题意，舍去。k=0
