2020版高中数学第四章定积分4.1.1定积分的背景__面积和路程问题课件北师大版选修2_2.ppt

第四章定积分1定积分的概念1.1定积分的背景面积和路程问题1.1.曲边梯形曲边梯形如图如图.由直线由直线x=ax=a，x=b(ab)x=b(ab)，y=0y=0和和曲线曲线y=f(x)y=f(x)所围所围成的图形成的图形(图中阴影所示图中阴影所示).).【思考思考】求曲边梯形的面积运用了什么思想？求曲边梯形的面积运用了什么思想？提示：提示：利用无限逼近的思想，利用无限逼近的思想，“以直代曲以直代曲”将曲边梯将曲边梯形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似看作直边求面形分成很多个小曲边梯形，将曲边近似看作直边求面积，再相加积，再相加.2.2.误差估计误差估计(1)(1)过剩估计值：以小曲边梯形的较长的边为高的矩形过剩估计值：以小曲边梯形的较长的边为高的矩形面积之和面积之和S.S.(2)(2)不足估计值：以小曲边梯形的较短的边为高的矩形不足估计值：以小曲边梯形的较短的边为高的矩形面积之和面积之和s.s.过剩估计值与不足估计值之差：过剩估计值与不足估计值之差：S-s.S-s.【思考思考】图中阴影部分是由抛物线图中阴影部分是由抛物线y=xy=x2 2，直线，直线x=1x=1以及以及x x轴所围轴所围成的平面图形，能否简述求阴影部分面积成的平面图形，能否简述求阴影部分面积S S的过程？的过程？提示：提示：(1)(1)分割：分割：在区间在区间0,10,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1n-1个点，个点，将区间将区间0,10,1等分成等分成n n个小区间：进而得个小区间：进而得到到n n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：个小曲边梯形，它们的面积分别记作：SS1 1，SS2 2，SSn n显然，显然，S=S=(2)(2)近似代替：近似代替：从图形上看，就是用平行于从图形上看，就是用平行于x x轴的直线段近似代替小曲轴的直线段近似代替小曲边梯形的曲边边梯形的曲边(如图如图).).用小矩形的面积用小矩形的面积SSi i近似代替近似代替SSi i，即在局部范围内，即在局部范围内“以直代曲以直代曲”.(3)(3)求和：求和：SSSSn n=SSi i.(4)(4)取极限：取极限：S=S=【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)由直线由直线x=1x=1，x=2x=2，和曲线，和曲线f(x)=-xf(x)=-x2 2所围成的图形面所围成的图形面积为负值积为负值.()(2)(2)求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估求曲边梯形的面积时，不足估计值小于等于过剩估计值计值.()(3)(3)若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计若曲边梯形的面积可求，则不足估计值与过剩估计值的极限相等值的极限相等.()提示：提示：(1)(1).面积只能大于等于面积只能大于等于0 0，为非负值，为非负值.(2).(2).由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确由不足估计值与过剩估计值的概念可知正确.(3).(3).曲边梯形的面积可求，则曲边梯形的面积可求，则S=SS=Sn n=S Si i可为不足估计值，也可为过剩估计值，可为不足估计值，也可为过剩估计值，所以不足估计值与过剩估计值的极限相等所以不足估计值与过剩估计值的极限相等.2.2.物体运动的速度和时间的函数关系式为物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)=2tv(t)=2t，估，估计在区间计在区间22，88内物体运动的路程时，把区间内物体运动的路程时，把区间6 6等分，等分，则过剩估计值为则过剩估计值为()A.54A.54B.60B.60C.57C.57D.66D.66【解析解析】选选D.D.要求运动的路程的近似值，需明确路程要求运动的路程的近似值，需明确路程与小矩形的关系；与小矩形的关系；把区间把区间6 6等分，取每个小区间右端点处的函数值作为该等分，取每个小区间右端点处的函数值作为该区间的平均速度，则矩形的面积可近似地看作运动的区间的平均速度，则矩形的面积可近似地看作运动的路程；根据以上分析求出矩形面积为路程；根据以上分析求出矩形面积为(2(23+23+24+24+25+25+26+26+27+27+28)8)1=66.1=66.3.3.做直线运动的物体的速度做直线运动的物体的速度v=2t(m/s)v=2t(m/s)，则物体在，则物体在前前3 s3 s内行驶的路程为内行驶的路程为_._.【解析解析】由于做直线运动的物体的速度为由于做直线运动的物体的速度为v=2t(m/s)v=2t(m/s)，则物体在前则物体在前3 s3 s内行驶的路程为直线内行驶的路程为直线t=0t=0，t=3t=3和和v=2tv=2t围成的三角形的面积：围成的三角形的面积：S=S=3 32 23=9.3=9.答案：答案：9 m9 m类型一求曲边梯形面积的方法类型一求曲边梯形面积的方法【典例典例】1.1.由直线由直线x=0 x=0，x=1x=1，y=0y=0和曲线和曲线y=xy=x2 2所围成的所围成的曲边梯形，当把区间曲边梯形，当把区间00，11等分为等分为1010个小区间时，曲个小区间时，曲边梯形的面积的不足估计值为边梯形的面积的不足估计值为_._.2.2.求直线求直线x=0 x=0，x=3x=3，y=0y=0与二次函数曲线与二次函数曲线f(x)=xf(x)=x2 2+1+1所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差.(.(将区间将区间1010等分等分)【思维思维引引】先将区间先将区间1010等分，再确定每个区间的长度，然后求面等分，再确定每个区间的长度，然后求面积的不足估计值、过剩估计值，求估计误差积的不足估计值、过剩估计值，求估计误差.【解析解析】1.1.所求曲边梯形的面积的不足估计值为所求曲边梯形的面积的不足估计值为0.10.1(0.1(0.12 2+0.2+0.22 2+0.9+0.92 2)=0.285.)=0.285.答案：答案：0.2850.2852.2.将区间将区间00，310310等分，则每个小区间的长度为等分，则每个小区间的长度为0.3.0.3.分别以每个小区间左、右端点的纵坐标为小矩形的分别以每个小区间左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值高，得此平面图形面积的不足估计值s s和过剩估计值和过剩估计值S.S.s=(s=(0 02 2+1+1+0.30.32 2+1+1+0.60.62 2+1+1+2.72.72 2+1)+1)0.36.850.36.85，S=(S=(0.30.32 2+1+1+0.60.62 2+1+1+3 32 2+1)+1)0.30.38.20.8.20.估计误差不会超过估计误差不会超过S-s=8.20-6.85=1.35.S-s=8.20-6.85=1.35.【内化内化悟悟】求曲边梯形的不足估计值时，一定是选取每个小区间求曲边梯形的不足估计值时，一定是选取每个小区间左端点处的函数值吗？左端点处的函数值吗？提示：提示：不是不是.应该选取小曲边梯形较短边，即函数值较应该选取小曲边梯形较短边，即函数值较小的端点处的函数值小的端点处的函数值.【类题类题通通】求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法曲曲边边梯形梯形的面的面积积思想思想以直代曲以直代曲步步骤骤分割，求和，近似估分割，求和，近似估计计，估，估计误计误差差关关键键近似估近似估计计结结果果分割越分割越细细，结结果越准确果越准确提醒：求曲边梯形面积的关键是看估计值的趋势提醒：求曲边梯形面积的关键是看估计值的趋势.【习练习练破破】在计算由曲线在计算由曲线y=-xy=-x2 2以及直线以及直线x=-1x=-1，x=1x=1，y=0y=0所围成的所围成的图形面积时，若将区间图形面积时，若将区间-1-1，1n1n等分，则每个小区间等分，则每个小区间的长度为的长度为_._.【解析解析】每个小区间长度为每个小区间长度为 答案：答案：【加练加练固固】求由直线求由直线x=1x=1，x=2x=2和和y=0y=0及曲线及曲线y=xy=x3 3所围成图形的所围成图形的面积的估计值，并写出估计误差面积的估计值，并写出估计误差.(.(将区间将区间5 5等分等分)【解析解析】把区间把区间11，2525等分，以每一个小区间的左端等分，以每一个小区间的左端点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不点的纵坐标为小矩形的高，所有小矩形面积之和为不足估计值足估计值s s，s=(1s=(13 3+1.2+1.23 3+1.4+1.43 3+1.6+1.63 3+1.8+1.83 3)0.2=3.08.)0.2=3.08.以小区间的右端点的纵坐标为高，所有小矩形面积之以小区间的右端点的纵坐标为高，所有小矩形面积之和为过剩估计值和为过剩估计值S S，S=(1.2S=(1.23 3+1.4+1.43 3+1.6+1.63 3+1.8+1.83 3+2+23 3)0.2=4.48.0.2=4.48.估计误差不会超过估计误差不会超过S-s=4.48-3.08=1.4.S-s=4.48-3.08=1.4.类型二变速直线运动路程的求法类型二变速直线运动路程的求法【典例典例】1.1.变速运动的物体的速度和时间之间的函数变速运动的物体的速度和时间之间的函数关系式为关系式为v(t)=t+2v(t)=t+2，估计该物体在区间，估计该物体在区间00，22内运动内运动的路程时，若将区间的路程时，若将区间1010等分，则其不足估计值为等分，则其不足估计值为_._.2.2.汽车做变速直线运动，在时刻汽车做变速直线运动，在时刻t t的速度为的速度为v(t)=v(t)=-t-t2 2+2+2，(单位：单位：km/h)km/h)，那么它在，那么它在0t1(0t1(单位：单位：h)h)这段时间内行驶的路程这段时间内行驶的路程s s是多少？是多少？(将行驶的时间将行驶的时间1 h1 h平均分成平均分成1010份份)【思维思维引引】确定每个区间的长度，求面积的不足估计值、过剩估确定每个区间的长度，求面积的不足估计值、过剩估计值，求估计误差计值，求估计误差.【解析解析】1.1.把区间把区间00，210210等分，取小区间的左端点等分，取小区间的左端点的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值为：的函数值作为小区间的平均速度，可得不足估计值为：s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)s=(2+2.2+2.4+2.6+2.8+3.0+3.2+3.4+3.6+3.8)0.20.2=5.8.=5.8.答案：答案：5.85.82.2.分别用分别用v(0)v(0)，v(0.1)v(0.1)，v(0.2)v(0.2)，v(0.9)v(0.9)近似替近似替代汽车在代汽车在0 00.1 h0.1 h，0.10.10.2 h0.2 h，0.80.80.9 h0.9 h，0.90.91 h1 h的平均速度，求出汽车在的平均速度，求出汽车在1 h1 h内行驶的路程的内行驶的路程的过剩估计值过剩估计值S S1 1，S S1 1=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+=v(0)+v(0.1)+v(0.2)+v(0.9)+v(0.9)0.10.1=1.715(km).=1.715(km).分别用分别用v(0.1)v(0.1)，v(0.2)v(0.2)，v(0.3)v(0.3)，v(1)v(1)近似替代近似替代汽车在汽车在0 00.1 h0.1 h，0.10.10.2 h0.2 h，0.80.80.9 h0.9 h，0.90.91 h1 h的平均速度，求出汽车在的平均速度，求出汽车在1 h1 h时行驶的路程的不时行驶的路程的不足估计值足估计值S S2 2，S S2 2=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+=v(0.1)+v(0.2)+v(0.3)+v(1)+v(1)0.10.1=1.615(km)=1.615(km)，无论用无论用S S1 1还是还是 S S2 2 估计汽车行驶的路程估计汽车行驶的路程s s，估计误差都，估计误差都不会超过不会超过1.715-1.615=0.1(km).1.715-1.615=0.1(km).【内化内化悟悟】如何求估计误差？如何求估计误差？提示：提示：先求不足估计值与过剩估计值，再用过剩先求不足估计值与过剩估计值，再用过剩估计值减去不足估计值估计值减去不足估计值.或或 S=(fS=(fx)x)=(|f(x=(|f(x1 1)-f(x)-f(x2 2)|)|x).x).【类题类题通通】变速运动路程问题求解的四个步骤变速运动路程问题求解的四个步骤第一步：求出速度关于时间的函数第一步：求出速度关于时间的函数.第二步：确定时间区间第二步：确定时间区间.第三步：按照求曲边梯形面积的方法、步骤求出路程第三步：按照求曲边梯形面积的方法、步骤求出路程的不足估计值和过剩估计值的不足估计值和过剩估计值.第四步：估计误差第四步：估计误差.【习练习练破破】已知汽车行驶的速度已知汽车行驶的速度v v与时间与时间t t2 2成正比，且当成正比，且当t=2t=2时，时，v=4v=4，求汽车在，求汽车在0t10t1这段时间内行驶的路程的不足这段时间内行驶的路程的不足估计值估计值.(.(将区间将区间5 5等分等分)【解析解析】设设v=ktv=kt2 2，因为当，因为当t=2t=2时，时，v=4v=4，所以所以4=k4=k2 22 2，所以，所以k=1k=1，所以，所以v=tv=t2 2.把区间把区间00，1515等分，以小区间左端点的函数值为小矩等分，以小区间左端点的函数值为小矩形的高，则汽车在这段时间内行驶的路程的不足估计形的高，则汽车在这段时间内行驶的路程的不足估计值为值为(0(02 2+0.2+0.22 2+0.4+0.42 2+0.6+0.62 2+0.8+0.82 2)0.2=0.24.0.2=0.24.【加练加练固固】汽车以汽车以v=3t+2v=3t+2做变速直线运动时，试估计汽车在做变速直线运动时，试估计汽车在第第1 1秒至第秒至第2 2秒间秒间1 s1 s内经过的路程内经过的路程.(.(将区间将区间1010等分等分)【解析解析】将行驶时间将行驶时间1 s1 s平均分为平均分为1010份，则汽车在份，则汽车在1 s1 s内行驶的路程的不足估计值内行驶的路程的不足估计值s s与过剩估计值与过剩估计值S S分别是：分别是：s=3s=3(1+1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+1.7+1.8+1.9)(1+1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+1.7+1.8+1.9)0.1+20.1+210100.1=6.350.1=6.35，S=3S=3(1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+1.7+1.8+1.9+2)(1.1+1.2+1.3+1.4+1.5+1.6+1.7+1.8+1.9+2)0.1+20.1+210100.1=6.650.1=6.65，无论是用不足估计值还是过剩估计值估计汽车行驶无论是用不足估计值还是过剩估计值估计汽车行驶的路程，误差都不会超过的路程，误差都不会超过S-s=6.65-6.35=0.3.S-s=6.65-6.35=0.3.