质点力学 理论力学幻灯片.ppt

质点力学 理论力学第1页，共86页，编辑于2022年，星期三2一、基本概念一、基本概念n质点质点 有质量的几何点有质量的几何点 理想模型理想模型n参照系、坐标系参照系、坐标系 被选定的参考物体被选定的参考物体 在参照系上建立坐标系在参照系上建立坐标系 常用坐标系：直角坐标系、平面极坐标系、自常用坐标系：直角坐标系、平面极坐标系、自然坐标系然坐标系 等等n位置矢量位置矢量第2页，共86页，编辑于2022年，星期三3位置矢量位置矢量极轴第3页，共86页，编辑于2022年，星期三4二、运动方程与轨道二、运动方程与轨道n运动方程运动方程 质点位置与时间的关系式质点位置与时间的关系式直角坐标极坐标n轨道方程轨道方程第4页，共86页，编辑于2022年，星期三5三、位移、速度、加速度三、位移、速度、加速度n位移位移注意：位移与路程的区别n速度速度注意注意：(1)速度矢量(2)速率第5页，共86页，编辑于2022年，星期三6加速度加速度n速度和加速度的定义都是矢量求导，计算速度和加速度的定义都是矢量求导，计算困难困难.n解决方法：建立坐标系，把矢量导数的计解决方法：建立坐标系，把矢量导数的计算化为标量计算算化为标量计算.n根据实际问题运动特点，需采用适当的坐根据实际问题运动特点，需采用适当的坐标系，可化简计算标系，可化简计算.第6页，共86页，编辑于2022年，星期三71.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式一、直角坐标系一、直角坐标系 已知 初始条件第7页，共86页，编辑于2022年，星期三8二、极坐标系二、极坐标系 推导 推导第8页，共86页，编辑于2022年，星期三9注意注意n1.n 2.单位矢量求导单位矢量求导第9页，共86页，编辑于2022年，星期三10推广推广长度恒定的矢量转动时，对时间的变化率长度恒定的矢量转动时，对时间的变化率以 转动第10页，共86页，编辑于2022年，星期三11三、自然坐标系三、自然坐标系随质点一起运动，建立在随质点一起运动，建立在 轨道曲线上的动系轨道曲线上的动系.基矢：切向、主法向、负法线基矢：切向、主法向、负法线 从轨道上选取一个原点从轨道上选取一个原点o，用沿轨道曲线的弧长，用沿轨道曲线的弧长 s描述质点的位置描述质点的位置推导第11页，共86页，编辑于2022年，星期三12图 i j k第12页，共86页，编辑于2022年，星期三13例题1 例题例题1：椭圆规尺：椭圆规尺AB的两端分别沿相互的两端分别沿相互垂直的直线槽垂直的直线槽ox及及oy滑动，已知滑动，已知B端以匀端以匀速速c运动运动.求：规尺上求：规尺上M点的点的 轨道方程，轨道方程，速度，加速度。速度，加速度。第13页，共86页，编辑于2022年，星期三14例题例题2已知：运动方程已知：运动方程b、c是常数求：速度、加速度求：速度、加速度例题例题3已知：质点的轨道方程已知：质点的轨道方程 为切线与水平线夹角，为切线与水平线夹角，s弧长弧长.圆滚线方程圆滚线方程证明：若证明：若为常数，加速度也为一常数为常数，加速度也为一常数.第14页，共86页，编辑于2022年，星期三15例题例题4证明质点在平面运动中其速度的大小可用下式表示证明质点在平面运动中其速度的大小可用下式表示 曲率半径曲率半径，为速度与水平线夹角为速度与水平线夹角第15页，共86页，编辑于2022年，星期三16一质点沿抛物线一质点沿抛物线 运动，速率为常量运动，速率为常量c.运动过程运动过程中质点的纵坐标中质点的纵坐标y不断变小不断变小.试求出质点的速度和加速度试求出质点的速度和加速度.例题5第16页，共86页，编辑于2022年，星期三17 1.3 平动参照系平动参照系两参照系作平动的情况两参照系作平动的情况S系：oxy 静系S系：oxy 动系 任一质点 P：绝对速度相对速度牵连速度绝对速度相对速度牵连速度绝对加速度相对加速度牵连加速度绝对加速度相对加速度牵连加速度特别：特别：S相对S作匀速直线运动第17页，共86页，编辑于2022年，星期三18例题例题1已知：小船已知：小船M看成质点，被水冲走，用绳拉回看成质点，被水冲走，用绳拉回A点。点。设水流速度设水流速度c1，拉回速度，拉回速度c2。求：小船的轨迹求：小船的轨迹第18页，共86页，编辑于2022年，星期三191.4 质点运动定理质点运动定理一、牛顿运动定律一、牛顿运动定律 1.牛顿第一定律牛顿第一定律 任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保任何物体如果没有受到其它物体的作用，都将保持静止状态或匀速直线运动状态持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律惯性定律 2.牛顿第二定律牛顿第二定律3.牛顿第三定律牛顿第三定律第19页，共86页，编辑于2022年，星期三20二、相对性原理二、相对性原理n内容：一切惯性系中力学规律是相同的内容：一切惯性系中力学规律是相同的n理解：理解：（1）什么是惯性系？）什么是惯性系？（2）非惯性系）非惯性系 （3）相对惯性系作匀速直线运动的）相对惯性系作匀速直线运动的 参照系都是惯性系参照系都是惯性系n可知：（可知：（1）惯性系有许多，知道一个惯性）惯性系有许多，知道一个惯性 系中的物理定律，就可知其它系中的物理定律，就可知其它 惯性系中的物理定律惯性系中的物理定律.（2）是用来判断学者们提出的物理学说）是用来判断学者们提出的物理学说 正确与否的依据正确与否的依据.第20页，共86页，编辑于2022年，星期三21例如例如证明证明 牛顿第二定律满足相对性原理牛顿第二定律满足相对性原理 S系：相对地球静止，惯性系系：相对地球静止，惯性系 S系与系与S系中牛顿第二定律形式相同，符合相对性原理系中牛顿第二定律形式相同，符合相对性原理S系：作匀速直线运动，惯性系系：作匀速直线运动，惯性系.第21页，共86页，编辑于2022年，星期三221.5 质点运动微分方程质点运动微分方程本章宗旨本章宗旨：解微分方程：解微分方程：（1）受力分析）受力分析 万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等摩擦力、介质阻力等.一、建立运动微分方程一、建立运动微分方程 1.自由质点自由质点第22页，共86页，编辑于2022年，星期三23（2）化为标量方程）化为标量方程直角坐标系直角坐标系平面极坐标平面极坐标自然坐标自然坐标第23页，共86页，编辑于2022年，星期三24（3）初始条件初始条件（4）求解求解 运动方程运动方程非线性非线性 混沌混沌第24页，共86页，编辑于2022年，星期三252.非自由质点非自由质点n解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替解决方法：去掉约束，用约束反作用力代替 运动微分方程运动微分方程 解方程与自由质点一样解方程与自由质点一样 注意（注意（1）一般未知，加约束方程一般未知，加约束方程 （2）用自然坐标系很方便）用自然坐标系很方便第25页，共86页，编辑于2022年，星期三26例题例题1 力仅是时间的函数力仅是时间的函数自由电子在沿自由电子在沿x轴的振荡电场中运动：轴的振荡电场中运动：电子受力：电子受力：第26页，共86页，编辑于2022年，星期三27例题例题2 力是速度的函数力是速度的函数 研究在有阻力研究在有阻力 的媒质中运动的的媒质中运动的抛射体。抛射体。若若 求抛射体的轨道方程求抛射体的轨道方程 第27页，共86页，编辑于2022年，星期三28例题例题3 力是坐标的函数力是坐标的函数原子在晶体点阵中的运动原子在晶体点阵中的运动第28页，共86页，编辑于2022年，星期三29利萨如图形利萨如图形第29页，共86页，编辑于2022年，星期三30受迫振动受迫振动LRC电路电路第30页，共86页，编辑于2022年，星期三31例题例题4 质量为质量为m的质点，在有阻力的空气的质点，在有阻力的空气中无初速地自离地面为中无初速地自离地面为h的地方竖的地方竖直下落，如阻力与速度成正比直下落，如阻力与速度成正比（mkv），试求运动方程。），试求运动方程。第31页，共86页，编辑于2022年，星期三32例题例题5 小环的质量为小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为钢索的方程式为 .试求小环自试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。环在此时所受到的约束反作用力。第32页，共86页，编辑于2022年，星期三33质点动力学问题解题总结质点动力学问题解题总结n受力分析受力分析n写出运动微分方程矢量式写出运动微分方程矢量式n建立适当的坐标系分解标量方程建立适当的坐标系分解标量方程n解微分方程解微分方程n讨论讨论第33页，共86页，编辑于2022年，星期三341.6 非惯性系动力学（非惯性系动力学（1）一、加速平动参照系中运动微分方程一、加速平动参照系中运动微分方程 S系：系：oxy 静系静系物理意义物理意义S系：系：oxy 动系动系第34页，共86页，编辑于2022年，星期三35二、惯性力二、惯性力n惯性力反映参照系不是惯性系惯性力反映参照系不是惯性系n惯性力不是物体间的相互作用，没有惯性力不是物体间的相互作用，没有施力者，也不存在反作用力施力者，也不存在反作用力第35页，共86页，编辑于2022年，星期三361.7 功与能功与能一、功与功率一、功与功率功：功：元功：元功：第36页，共86页，编辑于2022年，星期三37若功率：功率：第37页，共86页，编辑于2022年，星期三38二、能二、能n 物体处在某一状态所具有的能量物体处在某一状态所具有的能量n 能是状态量，功是过程量，是能量变能是状态量，功是过程量，是能量变化的量度化的量度 物体相对位置发生变化物体相对位置发生变化 V机械能机械能第38页，共86页，编辑于2022年，星期三39三、保守力、非保守力与耗散力三、保守力、非保守力与耗散力力场力仅是坐标的函数力仅是坐标的函数 保守力和非保守力保守力和非保守力耗散力耗散力做功与路径无关保守力做功与路径无关保守力第39页，共86页，编辑于2022年，星期三40四、势能四、势能1.定义：在保守力场中处的势能质点由势能的减少等于保守力所做的功是质点在第40页，共86页，编辑于2022年，星期三412.保守力的充要条件则为保守力即第41页，共86页，编辑于2022年，星期三42例题例题1设作用在质点上的力是设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线求此质点沿螺旋线运行自运行自时，力对质点所做的功时，力对质点所做的功.第42页，共86页，编辑于2022年，星期三43例题例题2 接上题条件接上题条件若可以证明可以证明做功与路径有关做功与路径有关不存在势函数不存在势函数第43页，共86页，编辑于2022年，星期三441.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律质点动力学的基本定理与基本守恒律一、动量定理与动量守恒一、动量定理与动量守恒1.动量动量适用范围更广，相对论中仍是此形式适用范围更广，相对论中仍是此形式.2.动量定理动量定理第44页，共86页，编辑于2022年，星期三453.冲量冲量力对时间的积累则但分量形式：分量形式：若意义：质点不受外力作用时，动量保持不变意义：质点不受外力作用时，动量保持不变.则若若意义：质点动量的变化等于外力在这段时间内给予该质意义：质点动量的变化等于外力在这段时间内给予该质 点的冲量点的冲量.动量定理的积分形式动量定理的积分形式.4.动量守恒定律动量守恒定律第45页，共86页，编辑于2022年，星期三46二、动量矩定理与动量矩守恒律二、动量矩定理与动量矩守恒律 对点的力矩对点的力矩对轴的力矩：对轴的力矩：对点的力矩再投影到轴上的大小右手螺旋的方向对A点的力矩1.力矩力矩第46页，共86页，编辑于2022年，星期三47轴的力矩对对x轴的力矩轴的力矩对对y轴的力矩轴的力矩对对z轴的力矩轴的力矩第47页，共86页，编辑于2022年，星期三482.动量矩动量矩定义第48页，共86页，编辑于2022年，星期三493.动量矩定理动量矩定理分量形式分量形式意义：质点动量矩的变化等于外力在该时间内给予意义：质点动量矩的变化等于外力在该时间内给予 该质点的冲量矩该质点的冲量矩.积分形式积分形式 证明第49页，共86页，编辑于2022年，星期三504.动量矩守恒动量矩守恒 角动量守恒角动量守恒常量恒矢量第50页，共86页，编辑于2022年，星期三51例题例题 质点受力恒通过某一个定点，质点受力恒通过某一个定点，试证明质点必在某一平面上运动。试证明质点必在某一平面上运动。证明：建极坐标系，证明：建极坐标系，O为坐标原点为坐标原点 则则 r 与与 F 共线，共线，得平面运动方程：角动量守恒：J 为恒矢量第51页，共86页，编辑于2022年，星期三52三、动能定理与机械能守恒三、动能定理与机械能守恒1.定理定理力是保守力2.机械能守恒机械能守恒积分形式证明意义：力对空间积累第52页，共86页，编辑于2022年，星期三53第一积分或初积分第一积分或初积分 如果方程如果方程 对时间的一次微商就是对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或牛顿运动微分方程，就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分初积分.数学上：二阶微分方程降为一阶数学上：二阶微分方程降为一阶物理上：力学量物理上：力学量 G 是一个守恒量是一个守恒量 物理意义明显的初积分：物理意义明显的初积分：动量守恒、动量矩守恒、能量守恒动量守恒、动量矩守恒、能量守恒由初积分出发，问题的求解简化了一步由初积分出发，问题的求解简化了一步 优先使用守恒律优先使用守恒律第53页，共86页，编辑于2022年，星期三54例题1重锤重锤 轻杠轻杠 固定固定 o 点点 在竖直平面内在竖直平面内圆周运动圆周运动 自由落下自由落下用两种方法，求最低点的速度用两种方法，求最低点的速度.第54页，共86页，编辑于2022年，星期三55势能曲线势能曲线势垒势阱隧道效应第55页，共86页，编辑于2022年，星期三56一质量为一质量为m的质点，在保守力作用下作直线运动，其势能函数的质点，在保守力作用下作直线运动，其势能函数为：为：例题2a、c 为常数试求：试求：1）质点的稳定平衡点的位置）质点的稳定平衡点的位置 2）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的）质点在稳定平衡位置附近作微小振动时的 振动周期振动周期 第56页，共86页，编辑于2022年，星期三57图第57页，共86页，编辑于2022年，星期三58总结总结运动微分方程的初积分或第一积分运动微分方程的初积分或第一积分三个守恒律三个守恒律第58页，共86页，编辑于2022年，星期三591.9 有心力有心力 方向：质点在运动中受力的方向总通过某方向：质点在运动中受力的方向总通过某 固定点固定点o力心力心 大小：矢径大小：矢径 r 的函数的函数 用两个坐标表示用两个坐标表示一、有心力的基本性质一、有心力的基本性质2.质点始终在一平面内运动质点始终在一平面内运动1.有心力定义有心力定义第59页，共86页，编辑于2022年，星期三603.基本方程基本方程分量形式分量形式第60页，共86页，编辑于2022年，星期三61方程（方程（2）物理意义）物理意义动量矩守恒动量矩守恒（2）式：4.质点在有心力作用下，动量矩守恒质点在有心力作用下，动量矩守恒5.有心力是保守力有心力是保守力证明 机械能守恒机械能守恒第61页，共86页，编辑于2022年，星期三62已知可证明：由方程二、轨道微分方程（比耐公式）二、轨道微分方程（比耐公式）第62页，共86页，编辑于2022年，星期三63例题例题证明：质点受有心力作用做圆证明：质点受有心力作用做圆解：根据的运动，则的运动，则第63页，共86页，编辑于2022年，星期三64三、平方反比引力行星的运动三、平方反比引力行星的运动 1.用比耐公式求行星的轨道方程用比耐公式求行星的轨道方程 已知已知 由初始条件定方程解方程解：由比耐公式由比耐公式：太阳（太阳（M）与行星）与行星(m)间的万有引力间的万有引力：第64页，共86页，编辑于2022年，星期三65轨道方程轨道方程适当选取坐标原点可使适当选取坐标原点可使双曲线抛物线椭圆讨论：圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程第65页，共86页，编辑于2022年，星期三662.用能量守恒求轨道用能量守恒求轨道引力势能引力势能解：角动量守恒角动量守恒机械能守恒机械能守恒第66页，共86页，编辑于2022年，星期三67两种方法结果比较两种方法结果比较e的物理于意义初始能量决定说明：轨道的形状由总能量说明：轨道的形状由总能量E决定决定，而E守恒，所以双曲线抛物线椭圆第67页，共86页，编辑于2022年，星期三68四、开普勒定律四、开普勒定律第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的第一定律：行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上一个焦点上.第二定律：行星和太阳之间的联线第二定律：行星和太阳之间的联线（矢径），在相（矢径），在相等时间所扫过面积相等等时间所扫过面积相等.第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立第三定律：行星公转的周期的平方和轨道半长轴的立方成正比方成正比.后来，牛顿发表了万有引力定律。后来，牛顿发表了万有引力定律。从开普勒定律推出万有引力定律从开普勒定律推出万有引力定律第68页，共86页，编辑于2022年，星期三691.由开普勒第二定律得出行星受有心力作用由开普勒第二定律得出行星受有心力作用开普勒第二定律开普勒第二定律：所以：所以：r必与必与F共线，行星必受有心力作用，太阳是力心共线，行星必受有心力作用，太阳是力心行星有加速度行星有加速度，第69页，共86页，编辑于2022年，星期三702.由开普勒第一定律求行星受力量值由开普勒第一定律求行星受力量值第一定律：说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是万有引力，因说明：行星受力是平方反比引力，但不能说就是万有引力，因 h、p与行星有关，而万有引力中与行星有关，而万有引力中 与行星无关与行星无关.第70页，共86页，编辑于2022年，星期三713.由开普勒第三定律说明由开普勒第三定律说明 的意义的意义扫过面积扫过面积与行星无关与行星无关.结论：结论：h、p虽与行星有关，但虽与行星有关，但开普勒第三定律开普勒第三定律：有由设行星运行周期设行星运行周期第71页，共86页，编辑于2022年，星期三724.与万有引力比较与万有引力比较n行星运动周期行星运动周期第72页，共86页，编辑于2022年，星期三73五、宇宙速度与宇宙航行五、宇宙速度与宇宙航行人造卫星运动轨道人造卫星运动轨道第73页，共86页，编辑于2022年，星期三74讨论讨论1.当第二宇宙速度第二宇宙速度沿抛物线轨道飞出，脱离地球第一宇宙速度第一宇宙速度圆形轨道圆形轨道2.第74页，共86页，编辑于2022年，星期三753.当当仿照地球仿照地球：双曲线双曲线脱离太阳脱离太阳地球相对太阳的速度：地球相对太阳的速度：行星脱离太阳的速度行星脱离太阳的速度：还需克服地球引力还需克服地球引力：第三宇宙速度第三宇宙速度：第75页，共86页，编辑于2022年，星期三76六、六、粒子散射粒子散射n1911年，一个重要的年，一个重要的实验，说明原子具有实验，说明原子具有核式结构核式结构l新西兰科学家新西兰科学家 E.卢卢瑟福和他的学生进瑟福和他的学生进行的行的原子核的发现原子核的发现第76页，共86页，编辑于2022年，星期三77卢瑟福散射实验卢瑟福散射实验1911理论计算与实验事实相符理论计算与实验事实相符1909年，指导学生盖革等，用年，指导学生盖革等，用 粒子轰粒子轰击原子，发现惊奇现象击原子，发现惊奇现象。1908年获诺贝尔化学奖年获诺贝尔化学奖用镭源所放出的用镭源所放出的 粒子，去轰击各种原子，粒子，去轰击各种原子，研究研究 粒子与物质的相互作用粒子与物质的相互作用第77页，共86页，编辑于2022年，星期三78散射实验散射实验 粒子：两个质子两个中子，氦核，粒子：两个质子两个中子，氦核，2e电荷电荷r：粒子与核间距，粒子与核间距，：散射角，：散射角，：瞄准距离：瞄准距离r第78页，共86页，编辑于2022年，星期三79轨道是双曲线的一支轨道是双曲线的一支2.实验结果：实验结果：1.分析轨道特征分析轨道特征 与与Ze间是斥力间是斥力第79页，共86页，编辑于2022年，星期三80实验原理图实验原理图第80页，共86页，编辑于2022年，星期三813.找出找出 与与 的关系的关系由初始条件可确定由初始条件可确定A、B，得，得：由比耐公式由比耐公式：通解通解：第81页，共86页，编辑于2022年，星期三82 与与 的关系的关系：角动量守恒角动量守恒第82页，共86页，编辑于2022年，星期三83与实验结果比较与实验结果比较定义：定义：n 入射粒子束单位时间内通过入射粒子束单位时间内通过 垂直于粒子束的单位截面积垂直于粒子束的单位截面积 的粒子数。的粒子数。dN 单位时间内在单位时间内在 d 内散射的内散射的 粒子数粒子数散射截面散射截面第83页，共86页，编辑于2022年，星期三84卢瑟福公式卢瑟福公式 1911年，由卢瑟福首先导出，年，由卢瑟福首先导出，1913年由盖革年由盖革马士登验验证，马士登验验证，与量子力学推出的结果一致。与量子力学推出的结果一致。第84页，共86页，编辑于2022年，星期三85实验装置实验装置R：装在铅盒中的放射源：装在铅盒中的放射源F：金属箔：金属箔S：荧光屏：荧光屏M：显微镜：显微镜B：真空室：真空室T：管道：管道C：套轴：套轴第85页，共86页，编辑于2022年，星期三86 粒子散射实验装置粒子散射实验装置第86页，共86页，编辑于2022年，星期三