山东省青岛市部分学校2022-2023学年高三上学期1月期末考试数学试题含答案.pdf
高三数学试题第 1 页（共 6 页）2022-2023 学年度第一学期期末考试高三数学试题本试题卷共 6 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1复数i12i的虚部为Ai23B23C32D122若34()()axax的展开式中含有2x项的系数为18，则a A2B23C23或2D23或23已知集合22()|20()|(1)Ax yxyxBx yyk x，若AB ，则A3333kB33kC33k 或33k D3k 或3k 4“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美 如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角正切值为A22B1C2D2 2山东省青岛市部分学校高三数学试题第 2 页（共 6 页）5“1m”是“函数mmxfxx22)(为奇函数”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知函数()2sin()(0)f xx的部分图象如下图所示，将()f x的图象向左平移12个单位后得到函数()yg x的图象，则函数()()2xyg xg的最小值为A4B94C74D07为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是A甲班众数小于乙班众数B乙班成绩的75百分位数为79C甲班的中位数为74D甲班平均数大于乙班平均数估计值8已知定义域为0 1，的“类康托尔函数”()f x满足：1201xx，12()()f xf x；()2()3xf xf；()(1)1f xfx则1()2023fA132B164C1128D1256xOy3131220.030234579050 60 70 80 90 1000.005频率组距分数0.0250.02005758 59 67 68 691频数分数87 88 89 9867甲班物理成绩乙班物理成绩高三数学试题第 3 页（共 6 页）二二、多项选择题多项选择题：本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分。在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，有多项有多项符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分。分。9通过长期调查知，人类汗液中A指标的值X服从正态分布2(10 2.5)N，则A估计100人中汗液A指标的值超过10的人数约为50B估计100人中汗液A指标的值超过12.5的人数约为16C估计100人中汗液A指标的值不超过15的人数约为95D随机抽检5人中汗液A指标的值恰有2人超过10的概率为516参考数据：参考数据：若若2()XN，则，则()0.6827PX；(22)0.9545PX10已知对任意平面向量()ABx y，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量AP (cossinsincos)xyxy，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P 已知平面内点(2 1)A，点(21)Btt，|2 2AB ，0AB OA ，点B绕点A沿逆时针方向旋转3角得到点P，则A|2 2BP B(2 2)AB ，CB的坐标为(41)，DP的坐标为(333)，11已知O为坐标原点，离心率为63的椭圆2222:1(00)xyCabab，的左，右焦点分别为12FF，C与曲线cosyx恰有三个交点，则A椭圆C的长轴长为3BC的内接正方形面积等于3C点W在C上，12WFWF，则12WFF的面积等于1D曲线C与曲线24ln2ln2 1yxx没有交点12已知数列na和 nb满足1111331 21024214nnnnnnbabbaaab，则A22122abB数列2 nnab是等比数列C数列2 nnab是等差数列D1nnaa高三数学试题第 4 页（共 6 页）三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13已知sinsin1 coscos2，则cos()14将8块完全相同的巧克力分配给A B C D，四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有种（用数字作答）（用数字作答）15已知O为坐标原点，抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，过F的直线交C于A B，两点，A B，中点D在x轴上方且其横坐标为1，|3AB，则直线AB的斜率为16已知球O的半径为2，圆锥W的顶点和底面圆周上的点均在球O上，记球心O到圆锥W底面的距离为h，圆锥W的底面半径为r则（1）h r 的最大值为；（2）圆锥W体积的最大值为（本题第一空（本题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分）分）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10 分）分）在ABC中，sinsincosBCA2sinsincos3sinsincosACBABC，内角A B C，的对边分别记为a b c，（1）求2222abc的值；（2）求cosC的最小值18（12分）分）如图1所示，在ABC中，点E F，在线段AB上，点D在线段BC上，1AEEFFB，21CEDF，CEAB将ACE，BDF分别沿CE DF，折起至点A B，重合为点G，形成如图2所示的几何体W，在几何体W中作答下面的问题（1）证明：平面EFG 平面CEFD；（2）求点D到平面CFG的距离B图 1ACEDFGCEDF图 2高三数学试题第 5 页（共 6 页）19.（12 分）分）记数列na的前n项和为nS，11a，给出下列两个条件：条件：数列na和数列1nSa均为等比数列；条件：1121222nnnnaaana试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（1）求数列na的通项公式；（2）记正项数列nb的前n项和为nT，122314nnnbabaTbb，求211(1)niiiibb注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20（12 分）分）由mn个小正方形构成长方形网格有m行和n列每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮每次放白球的概率为p，放红球的概率为q，1pq（1）若2m，12pq，记y表示100轮放球实验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如下：n12345y7656423026求y关于n的回归方程ln ybna，并预测10n 时，y的值（精确到精确到1）；（2）若2m，2n，13p，23q，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；（3）求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：(1)(1)1mnnmpq附附：经验回归方程系数经验回归方程系数：1221iiiiikkxkxyybxkx，aybx；51ln53,ln3.8iiinyy高三数学试题第 6 页（共 6 页）21（12分）分）已知O为坐标原点，动直线:(0)l ykxm km与双曲线222:1(0)yC xbb的渐近线交于A B，两点，与椭圆22:12xDy交于E F，两点 当210k 时，2()3()OAOBOEOF（1）求双曲线C的方程；（2）若动直线l与C相切，证明：OAB的面积为定值22（12分）分）已知函数1()lnef xxx的最小值和()ln(1)g xxax的最大值相等（1）求a；（2）证明：2lneexxx；（3）已知m是正整数，证明：112211e2(1)mmm m高三数学答案第 1页（共 5页）一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分。分。1-8：B C ADAB D C二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。9ABD10ACD11BCD12BCD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。1312；1419；152；16（1）2；（2）25681四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（10 分）分）解解：（1）由正弦定理得：cos2cos3cosbcAacBabC 2 分由余弦定理得：222222222()2()3()222bcaacbabcbcacabbcacab4 分所以222222222()2()3()bcaacbabc化简得22223abc，所以22223abc 5 分(2)由余弦定理：22222221(2)3cos22abababcCabab 6 分2221332abab1 2()6abba 7 分1226a bba23 9 分当仅当2ba（即:3:6:5a b c）时取等号所以cosC的最小值为23 10 分18.（12 分）分）解解：（1）由题知：因为,CEEG CEEF EGEFE，所以CE 平面EFG3 分又因为CE 平面CEFD，平面EFG 平面CEFD 4 分（2）在平面EFG内过点F做EF的垂线FH，因为平面EFG 平面CEFD，所以FH 平面CEFD5 分如图，以F为坐标原点，直线FE，FH，FD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系6 分则13(0,0,0),(1,0,2),(,0),(0,0,1)22FCGD 7 分所以0,0,1FD uuu r，13(,0),(1,0,2)22FGFC 8 分yHGCEDFxz高三数学答案第 2页（共 5页）设平面CFG的法向量为(,)na b c，因为00FCn FGn ，即302220abac，取2b，从而(2 3,2,3)n 11 分所以D到平面CFG的距离为|3571919|nhnFD 12 分19.（12 分）分）解解：（1）方案一：选条件因为数列1nSa为等比数列所以2211131()()()SaSaSa，即2121123(2)2(2)aaaaaa 2 分设等比数列na的公比为q，因为11a 所以22(2)2(2)qqq，解得2q 或0q（舍）5 分所以1112nnnaa q*(N)n 6 分方案二：（1）选条件当2n时，因为1121222nnnnaaana*(N)n所以12121222(1)nnnnaaana所以121212222(1)nnnnaaana 3 分得122(1)nnnanana，即+1=2nnaa(2)n 4 分当1n 时，122aa，21=2aa适合上式5 分所以数列na是首项为1，公比为2的等比数列所以1112nnnaa q*(N)n 6 分（2）由题知：11124,4nnnnnnTbbTbb两式做差得：11214()nnnnnnTTbbbb所以1124()nnnnbbbb，得24nnbb8 分所以2kb*(N)k为首项24b，公差等于4的等差数列，所以24(1)44kbkk同理：21kb*(N)k为首项12b，公差等于4的等差数列，所以212(1)442kbkk所以2nbn所以22111(1)4(1)(1)nniiiiiibbi i所以2214(1)(1)4(26)(1220)4 88niii innn 12 分高三数学答案第 3页（共 5页）20.（12 分）分）解：解：（1）由题知：51221ln5ln53 5 3.8 340.455 45105iiiniinynybnn 1分所以3.80.4 35a，2分所以线性回归方程为：ln0.45yn 3分所以，估计10n 时，3ye4分（2）由题知：X的取值可能为0,1,2 5分记“含红球的行数为k”为事件(0,1,2)kA k，记“每列都有白球”为事件B，所以4002 2()1(0)(|)=()125P A BpP XP ABP Bq6分1312214212 2()16(1)(|)=()125P ABC p qC p qP XP A BP Bq 7分122222 2()()8(2)(|)=()125P A BCpqP XP ABP Bq 8分所以X的分布列为：X012()P Xk1251625825所以数学期望为13832()01225252525E X 10分（3）证明：因为每一列至少一个红球的概率为(1)mnp记“不是每一列都至少一个红球”为事件A，所以()1(1)mnP Ap 11分记“每一行都至少一个白球”为事件B，所以()(1)nmP Bq显然，AB，所以()()P AP B，所以(1)(1)1mnnmpq12分21.（12 分）分）解解:（1）设11223344(,),(,),(,),(,)A x yB xyE xyF xy因为2()3()OAOBOEOF，所以12343()2xxxx1 分由ykxmybx，得1mxbk；同理可得2 mxbk3 分所以12222kmxxbk 4 分由2212ykxmxy，得222(12)4220kxkmxm，所以342412 kmxxk 5 分高三数学答案第 4页（共 5页）所以2222612 kmkmbkk，即2223312 kbk，解得3b所以双曲线C的方程为2213yx 6 分（2）由（1）得3(,)33mmAkk，3(,)33mmBkk所以2242|(3)3mmOAkk，2242|(3)3mmOBkk 8 分1|sin2OABSOAOBAOB22221433|2323mmkk9 分由2213ykxmyx，得222(3)230kxkmxm10 分因为直线l与双曲线C相切，所以222244(3)(3)0k mkm 即2230mk11 分所以223|33OABmSk为定值12 分22.（12 分）分）解解:（1）由题知：)(xf的定义域为),0(，()g x的定义域为(1,)1 分因为()ln1fxx2 分所以，当1(0,)ex时，()0fx，)(xf在1(0,)e上单调递减；当1(,)ex时，()0fx，)(xf在1(,)e上单调递增；所以1()()0ef xf3 分又因为1()1gxax，若0a，则()0g x，()g x在(1,+)上无最大值；4 分若0a，1()01g xax，解得11xa；所以，当1(1,1)xa 时，()0g x，()g x在1(1,1)a上单调递增；当1(1,)xa时，()0g x，()g x在1(1,)a上单调递减；所以，1()(1)ln10g xgaaa 高三数学答案第 5页（共 5页）令()ln1(0)h aaaa，则1()1h aa 所以，()h x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；所以()(1)0h ah综上，1a 5 分（2）要证明：2lneexxx；只需证11lneeexxxx7 分由（1）知：()0f x，当仅当1ex 时取等号；只需证：1e0exx（等号不同取）8 分设1()eexp xx，则()(1)exp xx，所以，()p x在(0,1)上单调递增，()p x在(1,)上单调递减；所以，()(1)0p xp，当仅当1x 时取等号综上，命题得证9 分（3）要证明：112211e2(1)mmm m；只需证11(1)ln12(1)2(1)mm mm即证211ln12(1)2(1)m mm 10 分设()ln(1)1mxxxm，11(0,)2(1)xm mm；所以111()011111mxxmxm11 分所以()x在1(0,)m上单调递增，()(0)0 x所以，2111()ln(1)02(1)2(1)2(1)m mm mm综上，112211e2(1)mmm m成立 12 分
