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2023年均值不等式教案 第一篇：均值不等式教案 §3.2 均值不等式 1.理解均值不等式 2.能利用均值不等式求最值或证明不等式 驾驭均值不等式 利用均值不等式证明不等式或求函数的最值， 一、均值不等式： 均值定理：假如a,bÎR+,那么_(当且仅当_时取等号)证明： 定理说明： a+b1、称为正数a,b的_称ab为正数a,b的_因2此定理又表达为：_ 2、几种变形： a+b³2ab _ æa+bö ç÷³ab _ 2èø a2+b2³2ab _ 3、应用定理留意的问题： 应用定理的条件_ 定理留意_ 二、定理应用：证明简洁的不等式或求最值 ba例 1、已知abf0，求证：+³2 ab 1例 2、当xf0时,求x+的最值,并求取最值时x的值.x 21öæ1öæ变式： 1、已知a,bÎR+,求证:ça+÷çb+÷³4 aøèbøè 2、若xf3,函数y=x+ 13、若xp0,求x+的最值.x1,当x为何值时函数有最值,此时x是何值? x-3 -2x2+x-3(xf0)的最大值,以及此时x的值.例 3、求函数f(x)=x x2-2x+3(xf0)的最小值及取得最小值时x的值.变式：求函数f(x)=x 例 4、1一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ 2已知矩形的周长为36cm，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？ 结论：_ _ 变式：已知直角三角形的面积为50，问两直角边各为多少时，它们的和最小？这个最小值是多少？ 课堂小结： 课后练习：课本练习A、B 其次篇：均值不等式教案 32均值不等式 教案3 第三课时 教学目标： 了解均值不等式在证明不等式中的简洁应用 教学重点： 了解均值不等式在证明不等式中的简洁应用 教学过程 例 1、已知a、b、cR，求证： 不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题 a2b2c 2+³a+b+c 例 2、若a,b,cÎR，则bca+ 此题若用“求差法证明，计算量较大，难以获得胜利，留意到a , b , cR，从结论的特点动身，均值不等式，问题是不难获证的 例 3、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a+b+c>ab+bc+ca 证明：a+b>2abb+c>2bcc+a>2ca 以上三式相加：2(a+b+c)>2ab+2bc+2ca a+b+c>ab+bc+ca 例 4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(ab+cd)(ac+bd)³4abcd 22222222222222 2分析：此题要求学生留意与均值不等式定理的“形上发生联系，从而正确运用，同时证明：a,b,c,d都是正数，ab0，cd0，ac0，bd得 ab+cdac+bd³>0,³>0.22 由不等式的性质定理4的推论1，得 (ab+cd)(ac+bd)³abcd.4即(ab+cd)(ac+bd)³4abcd 小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 课堂练习：第77页练习A、B 课后作业：略 第三篇：均值不等式 均值不等式 定义 HnGnAnQn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。其中： 1、调和平均数： 2、几何平均数： 3、算术平均数： 4、平方平均数均方根： 一般形式 设函数当r不等于0时； 当r=0时特例可以留意到，HnGnAnQn仅是上述不等式的特殊情形。 特例 可以留意到，HnGnAnQn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术几何均值不等式AM-GM不等式： 当n=2时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 根据均值不等式的简化，有一个简洁结论，中学常用，即。 记忆 调几算方，即调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数。均值不等式的 变形 (1)对实数a,b，有a2+b22ab(当且仅当a=b时取“=号)，a2+b2>0>-2ab(2)对非负实数a,b，有a+b2(a*b)0，即(a+b)/2(a*b)0(3)对负实数a,b，有a+b0)证明：2x+1/x=x+x+1/x3*(1/3)=3 所以，2x3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b2(ab)，所以2(a+b)4(ab)=4p 周长最小值为4p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/22(ab)，所以abp2/16 面积最大值是p2/16 第四篇：均值不等式 课标分析 1课程标准要求： 课程标准对均值不等式要求探究并了解基本不等式的证明过程；会用 基本不等式解决简洁的最大小问题。2课程标准解读 这个要求可以分为两个层次：一是探究并了解基本不等式的证明过 程；二是会用基本不等式解决简洁的最大小问题。从第一个层次来 看，要到达“探究并了解，需要三个步骤：首先要给学生创建相关的问 题情景，启发学生的思维，获得感性相识。其次通过问题探究让学生步 步深化，剖析特点；最终利用不等式的性质将得出的结论，进行完好的 证明，并明确运用均值不等式的三个条件。其次个层次是应用层面，因 此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形 才可满意运用均值不等式的条件。 教材分析 本节是中学人教B版数学必修5第三章不等式其次节的内 容。本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。中学数学不等式是初中不等式学问的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用中学不等式与其他学问联系紧密，具有工具性功能中学数学课程标准加强了不等式学问与实际生活的联系，力求表达数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用均值不等式的 两个作用特殊重要：第一是证明不等式。其次个作用是求最值。用来求最值时三个条件缺一不行，这是学生驾驭的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。教学重点： 理解均值定理并运用其解题。教学难点： 均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解 决实际问题的易错点。难点突破方法： 多视察、勤类比、善归纳、重建构 题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点 学情分析 从学问方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习，以及学生在初中对一些不等式学问有确定的驾驭，相关技能和实力有了一 定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺当得出，但均值不等式 的运用，以及公式的变形运是对学生的一个新的要求。因此，还需要学生 有一个逐步熟识的过程。从学习情感方面看，大部分学生情愿主动学习对学习有着较浓的学习爱好。从实力上看，意料学生思维活跃、灵敏，却缺乏冷静、深刻，因此片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的实力。从学生的思维特点看，不等式的成立，简洁联系不等式的相关性质。不利因素是：本节课的重点讲均值不等式求最值，对等号是否成立，学生往往简洁忽视，尤其是在后面运用过程中更简洁出错。所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。从学生的不同层次来看 学优生在公式推导和运用方面驾驭的较好。因此组织了三次小组探讨，并且在当堂小测环节设置了A组和让不同层次的孩子都有所收获。效果分析 1从目标达成上看： 学生在课堂上学习气氛热情，爱好深厚，回答老师提问主动主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，老师在课堂巡察时，觉察除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成状况很好。学案例题 2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。班级43人2从重、难点突破上看： 均值不等式能运用好的关键是认准均值 不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，略微困难或定值不太明 显的题目，学生还是缺少确定的相识。这方面的练习要强化一些。因此 我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造学问形成过程的气氛，通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点同时，形成繁难的情境 激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的 教学埋下伏笔。通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作 探讨，比较顺当得区分出均值不等式的运用环境，轻松突破本节课的重、难点。 3从课堂视察量表上看： 观课中老师运用了课程视察量附件1共有10名数学老师进行观课，有1名老师给打了99分，6名老师给打了98分，3名老师给打了97分，平均得分为 97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。从课程视察量表各项得分上看，老师的课堂设计和课堂处理都到达了很好的评价，学生的参与度特殊高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。 4从课堂检测批改状况来看：课堂小测批改状况是：全班共43人，全 对的有38个同学，有4个同学错在B组练习。从这个结果可以看出，本节课学生基本驾驭了所学内容，完成了学习任务。从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一样，评略得当，重点突出，难点突破。在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间支配都把握的比较好，能够 引导学生主动主动地探究，使学生学习爱好深厚，自主高效地完成课堂学习。根据课堂检测和课后反馈练习的批改状况，可以看出学生对公式的运用特殊好，完好地实现了教学目标。 课后反思 本节课我对均值不等式的教学是接受引导提问式的教学方式进 行的，不是对学生进行学问的硬性灌输，而是通过问题的引入，问题的 探究进行按部就班式的引导式教学，让学生在探讨问题的过程中体会知 识的形成过程，在解决问题的过程中驾驭学问的内容与实际应用，真正 实现了以学生为主体的课堂教学。在教学设计上，也力求调动一切主动 因素，尽最大的可能激发学生的学习爱好。在老师的引导启发下，能使 学生的思维真正的围绕“探究步步深化，层层递进，能在最大限度上挖 掘学生的学习潜能，也能更充分的表达学生学习的学习主体性。我认为本节课能到达以下教学效果： 1、科学设置学习目标，教学目标是教学活动的动身点，也是教学 活动的归宿，在教学活动中处于核心地位。教学目标是课堂教学的指挥 棒，是全部教学行为的指路明灯，具有导向作用。本节课，我确定了三 个学习目标。学习目标的细化，使学生明确本节课要做什么，怎样做，做到什么程度，而且我把三个目标简化在黑板上，适时回扣目标，本节 课的三个学习目标全部达成。 2、生活情境激发学生学习的爱好，用赵爽弦图 引入课题，通过均值不等式的探究过程增加了学生的自信念，更能关心学生感受探讨方法 的思想渗透； 3、通过具体实例的探讨探讨，让学生通过动手操作，合作沟通，使学生能自己主动的觉察，理解并驾驭均值不等式。 4、细心设置问题串，教学中，我设计一个又一个带有启发性和思干脆的问题，创设问题情景，诱导学生思索，使他们阅历视察、试验、揣测、推理、沟通、反思等理性思维的基本过程，切实改良学生的学习方法。通过问题引领学生进行思索和剖析，培育学生分析问题,解决问题的实力,使学生充分体会自主探究获得学问的成就感。在教学过程中贯彻新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生品尝学问的形成过程。 5、均值不等式的的应用，尤其是例题和练习的具体感知更培育了学生分析、抽象、概括、规律推理的实力以及运用属性结合思想解决实际问题的实力；让学生自主探究，主动回答下列问题，班级 学习气氛深厚，但有的孩子由于种种缘由没有参与进来，有的孩子一节课表现了多次，没有把 机会让给其他孩子。后续 改良： 1、加强培育尖子生的带头作用，接着进展15人左右的答疑团队，让他们无论在课堂还 是课下，都发挥自己的数学优势，带着组上其他学生的进步。 2、加强基本功训练，提高语言的精炼与艺术性。 第五篇：均值不等式 均值不等式 百科名片 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2.an)(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+.+an)/n4、平方平均数：Qn=(a12+a22+.+an2)/n 这四种平均数满意HnGnAnQn 的式子即为均值不等式。 书目 均值不等式的简介 均值不等式的变形 均值不等式的证明 均值不等式的应用 其他不等式 重要不等式2.排序不等式 重要不等式5.均值不等式 重要不等式1.柯西不等式 柯西不等式的一般证法有以下几种： 1Cauchy不等式的形式化写法就是： 记两列数分别是ai, bi，则有(ai2)*(bi2)(ai * bi)2.我们令 f(x)= (ai + x * bi)2 =(bi2)* x2 + 2 *(ai * bi)* x +(ai2)则我们知道恒有 f(x) 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 = 4 *(ai * bi)22.排序不等式 排序不等式是中学数学竞赛大纲要求的基本不等式。 设有两组数 a 1 , a 2 , a n, b 1 , b 2 , b n 满意 a 1 a 2 a n, b 1 b 2 b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 + a n b1 a 1 b t + a 2 b t + a n b t a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n 式中t1，t2，tn是1，2，n的随便一个排列，当且仅当 a 1 = a 2 = a n 或 b 1 = b 2 = b n 时成立。以上排序不等式也可简记为： 反序和乱序和同序和.证明时可接受逐步调整法。 例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1，值变小，只需作差证明a 1-a 2*b 1-b 20，这由题知成立。 依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。 重要不等式4.琴生不等式 设f(x)为上凸函数，则f/n,称为琴生不等式幂平均。 加权形式为： fa1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn),其中ai>=0(i=1,2,n),且a1+a2+an=1.重要不等式6.完全的均值不等式 (a+b)/2 ab 2/(1/a+1/b) 二次幂平均算术平均几何平均调和平均 证明：证明过程引自他出 设a，b是两个正数，M2=，A=(a+b)/2，G=(ab)，H=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。 证明: M2AGH。 证明 在梯形ABCD中，ABCD，记AB=b，CD=a。EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。 假如E1F1分梯形为等积的两部分，那么E1F1=。假如E2F2为梯形的中位线，那么E2F2=(a+b)/2。 假如E3F3分梯形为两相像图形，那么E3F3=(ab)。 假如E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么E4F4=2/(1/a+1/b)。从图中直观地证明E1F1E2F2E3F3E4F4，当a=b时取等号。 重要不等式几何平均0次幂，二次平均2次幂 概念 1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an) 2、几何平均数：Gn=(a1a2.an)(1/n)=n次(a1*a2*a3*.*an) 3、算术平均数：An=(a1+a2+.+an)/n4、平方平均数：Qn= 这四种平均数满意HnGnAnQn a1、a2、anR +，当且仅当a1=a2= =an时取“=号 均值不等式的一般形式：设函数D(r)=(1/r)(当r不等于0时);(a1a2.an)(1/n)(当r=0时即D(0)=(a1a2.an)(1/n)则有：当r0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b2(a*b)0，即(a+b)/2(a*b)0 (3)对负实数a,b，有a+b<0<2(a*b) (4)对实数a,b(ab)，有a(a-b)b(a-b) (5)对非负数a,b，有a2+b22ab0 (6)对非负数a,b，有a2+b2 1/2*(a+b)2ab (7)对非负数a,b,c，有a2+b2+c21/3*(a+b+c)2 (8)对非负数a,b,c，有a2+b2+c2ab+bc+ac (9)对非负数a,b，有a2+ab+b23/4*(a+b)2 2/1/a+1/baba+b/2(a2+b2)/2