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2023年立体几何证明问题 第一篇：立体几何证明问题 证明问题 例1.如图，E、F分别是长方体边形 .-的棱A、C的中点，求证：四边形是平行四 例2.如下图，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD与E、F、G.求证：AESB.例3.如图，长方体求证： =90°. PQ -中，P、Q、R分别为棱、BC上的点，PQ/AB，连结，例4.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP=DQ，如下图.求证：PQ/平面 CBE.例5.如图直角三角形ABC平面外一点S，且SA=SB=SC，且点D为斜边AC的中点.1求证：SD平面ABC.2若AB=AC，求证BD平面 SAC.例6.如图，在正方体 -中，M、N、E、F分别是棱、的中点.求证：平面AMN/平面 EFDB.例7.如图1、2，矩形ABCD中，已知AB=2AD，E为AB的中点，将AED沿DE折起，使AB=AC.求证：平面ADE平面 BCDE. 其次篇：立体几何证明 立体几何证明 中学立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： .平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任始终线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 .垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任始终线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任始终线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另始终线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。 面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。 四个判定定理： 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 假如一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。 假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 从平面拓展到空间的角相等或互补的判定定理： 空间中，假如两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 四特性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。 两个平面平行，则随便一个平面与这两个平面相交所得的交线互相平行。 垂直于同一平面的两条直线平行。 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 标准只要求对于四特性质定理用综合几何的方法加以证明。对于其余的定理，在选修2的“空间向量与立体几何中利用向量的方法予以证明。 (2)立体几何初步这部分，我们盼望能使学生初步感受综合几何的证明。在处理证明时，要充分发挥几何直观的作用，而不是形式上的推导。例如，平行于同一平面的二直线平行的证明方法，有的老师就是接受了一种很 第三篇：立体几何证明 1、14分如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点1求证：EF平面CB1D1； 2求证：平面CAA1C1平面CB1D1 A 2.如图，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，侧棱 交B1C于点F，BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，1求证：A1C平面BDE； o D3(本小题总分12分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ÐACB=90，BC=AC=2，AA1=4，为棱CC 1上的一动点，M、N分别为DABD、DA1B1D的重心.1求证：MNBC； A B 4.如图，在三棱拄ABC-A1B1C1中，AB侧面BB1C1C1,Ð 1N 31 B1 求证：C1B平面ABC； p A11 试在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置,使得EAEB1；.A A1 B1 C E C15、如图，PABCD是正四棱锥，ABCD-A 1BC11D1是正方体，其中AB=2,PA= 1求证：PAB1D1； 6本小题总分12分 如图，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA平面ABCD，|PA|=1。1BC边上是否存在点Q，使得PQQD，并说明理由；2若BC边上存在唯一的点Q使得PQQD，指出点Q的位置，7、如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA面ABCD，PA=AB=1，BC=2求证：平面PDC平面PAD； 8.正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面AB'D'/平面C'BD。 9.14分如下图，在斜边为AB的RtABC中，过A作PA平面ABC，AMPB于M，ANPC于N.1求证：BC面PAC； P2求证：PB面AMN.M A10、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、点，且 求证：EHBD.(12分) 11、已知DABC中ÐACB=90，SA面ABC，ADSC，求证：AD面S分) 12、已知正方体ABCD-A1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：C1OP面AB1D1；2AC面AB1D1(14分) 1o CD、DA上的A HD SBC(1 2A F C BC DAD BC 1C 1以下命题正确的选项是 B A三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面 C四边形确定一个平面D两条相交直线确定一个平面 2若直线a不平行于平面a，且aËa，则以下结论成立的是Aa内的全部直线与a异面Ba内不存在与a平行的直线 Ca内存在唯一的直线与a平行Da内的直线与a都相交 3平行于同一平面的两条直线的位置关系A平行B相交C异面D平行、相交或异面 4正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB的中点为M，DD'的中点为N，异面直线B'M与CN所成的角 A0oB45oC60oD90o 5平面a与平面b平行的条件可以是 Aa内有无穷多条直线都与b平行C直线aÌa，直线bÌb且a/b，b/a B直线a/a,a/b且直线a不在a内，也不在b内Da内的任何直线都与b平行 6已知两个平面垂直，以下命题 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的随便一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的多数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内随便一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是A3B2C1D0 7以下命题中错误的选项是A 假如平面ab，那么平面a内全部直线都垂直于平面b B 假如平面ab，那么平面a确定存在直线平行于平面b C假如平面a不垂直于平面b，那么平面a内确定不存在直线垂直于平面b D假如平面ag，bg，aÇb=l，那么lg 8直线a/平面a，PÎa，那么过点P且平行于a的直线A 只有一条，不在平面a内B有多数条，不愿定在a内C只有一条，且在平面a内D有多数条，确定在a内 9如图是正方体的平面绽开图，则在这个正方体中 BM与ED平行CN与BE异面CN与BM成60o DM与BN垂直 以上四个命题中，正确命题的序号是 ABCD 1.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是_ 3.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是_ 4.已知直线a,b和平面a,且ab,aa,则b与a的位置关系是_ 第四篇：立体几何的平行与证明问题 立体几何 1学问网络 一、经典例题剖析 考点一 点线面的位置关系 1、设l是直线,a,是两个不同的平面 A若la,l,则a B若la,l,则a C若a,la,则l D若a, la,则l 2、以下命题正确的选项是 A若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 3、已知空间三条直线l、m、n.若l与m异面,且l与n异面,则 Am与n异面.Bm与n相交.Cm与n平行.Dm与n异面、相交、平行均有可能.4、2023年高考江西卷文15如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且AB/CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 _.D 1CB 考点二证明平行关系 5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，D C BDE。求证： AC1/平面 6、2023年高考陕西卷文如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O 为底面中心, A1O平面ABCD, AB=AA1= A ()证明: A1BD /平面CD1B1;()求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.考点三证明垂直问题 7、2023年高考辽宁卷文 如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(I)求证:BC平面PAC； (II)设Q为PA的中点，G为DAOC的重心，求证：QG/平面PBC.8、已知正方体ABCD-A1BC11D1，O是底ABCD对角线的交点.D1AD BBC 1求证：()C1O面AB1D1；(2)AC面AB1D11 C 综合练习： 9、2023年高考广东卷文如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC 边上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将DABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥A-BCF,其中BC= .(1)证明:DE/平面BCF;(2)证明:CF平面ABF; 图 410、如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=证明：PQ平面DCQ； PD 2AC平面B'D'DB；BD' 平面ACB'.11、正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：12 第五篇：立体几何证明格式示范 教材P58练习2答案：留意规范格式 证明：连接B1D1 üüM,N分别是A1B1和A1D1中点ÞMN是DA1B1D1中位线ÞMN/B1D1üÞMN/EFïýïE,F分别是B1C1和C1D1中点ÞEF是DB1C1D1中位线ÞEF/B1D1þïïïMNË面EFDBýÞMN/面EFDBïïïEFÌ面EFDBïïïïïþ MNÌ面AMNïïï面AMN/ANÌ面AMNýÞ面EFDBANIMN=NïïïNE/A1B1üüïýÞNE/ABÞABEN是ÞAN/BEïAB/A1B1þïïïANË面EFDBýÞAN/面EFDBïïïBEÌ面EFDBïïïïïþþ 留意：以上假如一行写不下，也可以分行写如下:证明：连接B1D1 üM,N分别是A1B1和A1D1的中点ÞMN是DA1B1D1的中位线ÞMN/B1D1üýÞMN/EFïE,F分别是B1C1和C1D1的中点ÞEF是DB1C1D1的中位线ÞEF/B1D1þïïMNË面EFDBýÞMN/面EFDB； EFÌ面EFDBïïïþ NE/A1B1üüýÞNE/ABÞABEN是ÞAN/BEïAB/A1B1þïïANË面EFDBýÞAN/面EFDB； BEÌ面EFDBïïïþ MN/面EFDBü AN/面EFDBïïïMNÌ面AMNýÞ面AMN/面EFDB ANÌ面AMNïïANIMN=Nïþ 教材P62习题2.2A组答案：留意规范格式 第5题证明：连接CD AB/aüüÞAB/CDýï面ABCDIa=CDþýÞABCD是平行四边形ÞAC=BD AC/BDïþ 第8题证明： AO=A¢OüüïïÐAOB=ÐA¢OB¢ýÞDAOBDA¢OB¢ÞÐBAO=ÐB¢A¢OÞAB/A¢B¢ï BO=B¢Oïþ 同理可证A¢C¢/面ABC,因此 A¢B¢/面ABCü A¢C¢/面ABCï A¢B¢Ì面A¢B¢C¢ïïýÞ面ABC/面A¢B¢C¢.A¢C¢Ì面A¢B¢C¢ï A¢B¢IA¢C¢=A¢ïïþïABÌ面ABCïýÞA¢B¢/面ABCA¢B¢Ë面ABCïïïïþ