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高代复习大纲高代复习大纲2012春认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目题型题型选择题选择题填空题填空题小计算题小计算题大计算题大计算题证明题证明题认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目主要内容主要内容1二次型二次型2线性空间线性空间3线性变换线性变换4-矩阵矩阵5欧几里得空间欧几里得空间认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1二次型二次型合同变换化标准形合同变换化标准形正惯性指数、负惯性指数、符号差正惯性指数、负惯性指数、符号差实二次型、复二次型的合同的等价条件实二次型、复二次型的合同的等价条件定理：定理：数域数域P上任一对称矩阵上任一对称矩阵合同合同于一于一 个对角矩阵个对角矩阵.实实对称矩阵对称矩阵A、B合同合同 的正惯性的正惯性且二次型且二次型指数相等指数相等.复复对称矩阵对称矩阵A A、B B合同合同认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目1实二次型实二次型正定性正定性定义定义正定矩阵正定矩阵2)2)实对称矩阵实对称矩阵A正定正定 存在存在可逆可逆矩阵矩阵C C，使，使.正定矩阵是可正定矩阵是可逆矩阵逆矩阵.A的的顺序主子式顺序主子式 Pk 全大于零全大于零.正定正定实二次型实二次型 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例用合同变换求下面二次型的标准形r r1 1+r+r2 2 c c1 1+c+c2 2解：解：的矩阵为的矩阵为认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目r3+r1r2r1c3+c1c2c12r22c2c3+2c2r3+2r2认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目作非退化作非退化线线性替性替换换X=CY,则则二次型化二次型化为标为标准形准形 令令则则认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例、判定下面二次型是否正定判定下面二次型是否正定.其顺序主子式其顺序主子式 正定正定.解：解：的矩阵的矩阵认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：的矩阵的矩阵 A的第的第k阶顺序主子式阶顺序主子式P Pk（习题（习题7）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目正定正定.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例5 5、证明：证明：为半正定二次型为半正定二次型.（习题（习题1515）证法一证法一：对任意一组不全为对任意一组不全为0的数的数,有有 故，故，f 半正定半正定.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目证法二证法二：考虑二次型考虑二次型则则则对则对认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2线性空间线性空间线性空间线性空间定义定义基、坐标基、坐标过渡矩阵过渡矩阵扩基定理扩基定理直和直和个等价条件个等价条件同构同构定义定义数域数域P上的两个上的两个有限维有限维线性空间线性空间 同构同构认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例（1）证明证明：线性空间：线性空间Pxn是是n 维的，且维的，且（2）证明证明：1，xa，(xa)2，(xa)n11，x，x2，xn-1 为为 Pxn 的一组基的一组基 也为也为Pxn的一组基的一组基认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目证证:（1 1）首先首先，1，x，x2，xn1是线性无关的是线性无关的 1，x，x2，xn-1为为Pxn的一组基，的一组基，从而，从而，Pxn是是n维的维的.其次其次，可经可经 1，x，x2，xn-1线性表出线性表出 注：注：在基在基1，x，x2，xn-1下的下的坐标坐标就是就是此时，此时，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目（2）1，x-a，(x-a)2，(x-a)n-1是线性无关的是线性无关的 又对又对，按，按泰勒展开泰勒展开公式有公式有 即即,f(x)可经可经1，x-a，(x-a)2，(x-a)n-1线性表出线性表出.1，x-a，(x-a)2，(x-a)n-1为为Pxn的一组基的一组基 在基在基1，x-a，(x-a)2，(x-a)n1下的下的坐标坐标是是 注：注：此时，此时，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目下的下的坐标坐标，其中，其中 解：设解：设，则有线性方程组，则有线性方程组解之得，解之得，在基在基 下的坐标为下的坐标为 例例5 5在线性空间在线性空间 中中求求向量向量 在基在基 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1在在Pn中，求由基中，求由基 到基到基 过渡矩阵过渡矩阵其中其中 的的过渡矩阵过渡矩阵及由基及由基 到基到基 的的并求向量并求向量 在基在基 下的坐标下的坐标.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目而，而，解：解：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目到基到基 由基由基的过渡矩阵为的过渡矩阵为 故，由基故，由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目在基下的在基下的坐标坐标就是就是设在基下的坐标为，则设在基下的坐标为，则所以在基下的坐标为所以在基下的坐标为认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2在在P4中，求由基中，求由基 到基到基 的过渡矩阵，其中的过渡矩阵，其中 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：设解：设 则有则有 或或，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目从而有从而有 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目由基由基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目它扩充为它扩充为P4的一组基，其中的一组基，其中例例7 7 求求 的维数与一组基，并把的维数与一组基，并把解：对以为列向量的矩阵解：对以为列向量的矩阵A作作初等行变换初等行变换认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目由由B知，为知，为 的一个极大的一个极大故，维故，维 3 3，就是就是 的一组基的一组基.无关组无关组.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目则则 线性无关，从而为线性无关，从而为P4的一组基的一组基.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2、把复数域看成实数域把复数域看成实数域R上的线性空间，上的线性空间，证：证维数相等证：证维数相等.证明证明：首先首先，可表成可表成 其次其次，若，若 则则 所以，所以，1，i为为C的一组基，的一组基，又，又，所以，所以，故，故，认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3线性变换线性变换线性变换线性变换定义定义线性变换的矩阵线性变换的矩阵相似矩阵相似矩阵特征值、特征向量特征值、特征向量可对角化可对角化定义定义哈密尔顿哈密尔顿-凯莱凯莱（Hamilton-Caylay）定理定理定理定理设设 为为 维线性空间维线性空间V V的一个线性变换，的一个线性变换，则则 可对角化可对角化 有有 个线性个线性无关无关的特征向量的特征向量.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目3线性变换线性变换值域与核值域与核定义定义若当标准形若当标准形认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1.设线设线性空性空间间 的的线线性性变换变换为为 求在标准基下的矩阵求在标准基下的矩阵.解：解：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3.设设 为线性空间为线性空间V一组基，一组基，线性变换在线性变换在这组基下的矩阵为这组基下的矩阵为 为为V的另一组基，且的另一组基，且（1）求）求 在在 下的矩阵下的矩阵B.（2）求）求认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：（1）由定理）由定理4，在基下的矩阵，在基下的矩阵（2）由有）由有于是于是认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：A的特征多项式的特征多项式 例例2.设线设线性性变换变换在基在基 下的矩阵是下的矩阵是求的特征值与特征向量求的特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）故的特征值为：（二重）认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 即即 它的一个基础解系为它的一个基础解系为：因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为不全为零不全为零 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目因此，属于因此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 解得它的一个基础解系为：解得它的一个基础解系为：而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3.设求设求解：解：A的特征多项式的特征多项式用去用去除除得得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目练习练习1：已知为已知为A的一个特征值，则的一个特征值，则（1）必有一个特征值为必有一个特征值为;（2）必有一个特征值为必有一个特征值为;（3）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为;（4）A可逆时，必有一个特征值为可逆时，必有一个特征值为.（5）则则 必有一个特征值为必有一个特征值为.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2.问问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使，使为对角矩阵为对角矩阵.这里这里得得A的特征值是的特征值是2、2、-4.解解:A的特征多项式为的特征多项式为 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目对于特征值对于特征值2，求出齐次线性方程组，求出齐次线性方程组 对于特征值对于特征值4，求出齐次方程组，求出齐次方程组 的一个基础解系的一个基础解系:（2、1、0），（），（1、0、1）的一个基础解系的一个基础解系:认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目令令 则则 所以所以A可对角化可对角化.线性变换在此基下的矩阵为线性变换在此基下的矩阵为 1)求求 及及 2)在在 中选一组基，把它扩充为中选一组基，把它扩充为V的一组基，的一组基，并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵.并求并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵.3)在在 中选一组基，把它中选一组基，把它扩充扩充为为V的一组基，的一组基，例例3、设是线性空间设是线性空间V的一组基，已知的一组基，已知解解：1）先求先求 设设 它在它在下的坐标为下的坐标为故故由于由于 有有 在在 下的下的坐标坐标为为 解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：解此齐次线性方程组，得它的一个基础解系：由于由于 的零度为的零度为2，所以，所以 的秩为的秩为2，又由矩阵又由矩阵A，有，有即即 为为2维的维的.再求再求从而从而 是是 的一组基的一组基.2）因为）因为 从而有从而有所以，线性无关，所以，线性无关，就是就是 的一组基的一组基.而而 可逆可逆.从而从而，线性无关，即为线性无关，即为V的一组基的一组基.在基在基 下的矩阵为下的矩阵为 3）因为）因为 可逆可逆.而而从而从而 线性无关，即为线性无关，即为V的一组基的一组基.在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目4-矩阵矩阵初等变换化标准形初等变换化标准形三大因子三大因子行列式因子行列式因子不变因子不变因子初等因子初等因子矩阵相似矩阵相似定理定理数字矩阵数字矩阵 相似相似 与等价与等价.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例 用初等变换化用初等变换化 矩阵为标准形矩阵为标准形.解：解：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目即为即为 的标准形的标准形.认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例、求、求 矩阵的不变因子矩阵的不变因子 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目的非零二级子式为的非零二级子式为:解：解：1）的非零的非零1级子式为级子式为:认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目又又 所以，所以，的不变因子为的不变因子为：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目2）又又 而而 的不变因子为的不变因子为 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目练习：求练习：求 的不变因子的不变因子答案答案:认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1.证明：下列三个矩阵彼此都证明：下列三个矩阵彼此都不相似不相似.证：证：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：的不变因子是：故故 的不变因子各不相同，因此不相似。的不变因子各不相同，因此不相似。认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例2、求矩阵、求矩阵A的初等因子的初等因子解：对解：对 作初等变换作初等变换认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目 A的初等因子为的初等因子为:认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目练习求初等因子：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1、求矩阵、求矩阵A的若当标准形的若当标准形.解：解：认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目的初等因子为的初等因子为 故故 A的若当标准形为的若当标准形为 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目5欧氏空间欧氏空间欧氏空间欧氏空间定义定义正交正交度量矩阵度量矩阵标准正交基标准正交基定义定义施密特施密特(Schmidt)正交化正交化正交矩阵正交矩阵正交变换正交变换定义定义分类：旋转、镜面反射分类：旋转、镜面反射实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目5欧氏空间欧氏空间正交相似合同正交相似合同最小二乘法最小二乘法(定理定理7 7)对对 总有总有正交矩阵正交矩阵T，使，使认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例3、已知、已知 在通常的内积定义下，求在通常的内积定义下，求解：解：又又 通常称为与的距离，记作通常称为与的距离，记作认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1.把把 变成变成单位单位正交正交的向量组的向量组.解：令解：令正交化正交化认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目再单位化再单位化即为所求即为所求认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目例例1设设 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角形成对角形认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目解：解：先求先求A的的特征值特征值A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目其次其次求属于求属于 的的特征向量特征向量，即求解方程组，即求解方程组得其基础解系得其基础解系认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目把它把它正交化正交化，得，得 再再单位化单位化，得，得认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目这是特征值这是特征值 (三重三重)的三个单位正交特征向量，的三个单位正交特征向量，也即是特征子空间也即是特征子空间 的一组标准正交基的一组标准正交基认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目再求再求属于属于 的特征向量，即解方程组的特征向量，即解方程组得其基础解系得其基础解系 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目再再单位化单位化得得 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们都是都是A的特征向量，正交矩阵的特征向量，正交矩阵 认识到了贫困户贫困的根本原因，才能开始对症下药，然后药到病除。近年来国家对扶贫工作高度重视，已经展开了“精准扶贫”项目使得使得
