专升本高等数学课件-第二章ppt.ppt

在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第一节第一节 导数与微分导数与微分一、问题的提出一、问题的提出二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义与物理意义三、导数的几何意义与物理意义四、可导与连续的关系四、可导与连续的关系五、小结五、小结 思考题思考题一元函数一元函数微积分学微积分学在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、问题的提出1.【自由落体运动的瞬时速度问题】【自由落体运动的瞬时速度问题】如图如图,取极限得取极限得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么切线的一般定义切线的一般定义:如图如图 设有曲线设有曲线C及及C上一点上一点M，在在M点外任取点外任取C上一点上一点N，作割线作割线MN，当点当点N沿曲线沿曲线C趋向点趋向点M时，如果割线时，如果割线MN趋向于它的极限位置趋向于它的极限位置MT，则称直线则称直线MT为曲线为曲线C在点在点M处的切线处的切线.TMxy0NCN2.【切线问题】【切线问题】割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么LMxyoTN在点在点求曲线求曲线L：处切线的斜率。处切线的斜率。割线割线 MN 的斜率为：的斜率为：2.【切线问题】【切线问题】割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置切线切线MT 的斜率为：的斜率为：在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【两个问题的共性】瞬时速度瞬时速度切线斜率切线斜率所求量为所求量为函数增量函数增量与与自变量增量自变量增量之比的极限之比的极限.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么则称函数则称函数二、导数的定义“点导数”定义1.【定义】【定义】设函数设函数在点在点存在存在,并称此极限是函数并称此极限是函数记作记作:即即若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义,在点在点处处可导可导,在点在点的的导数导数.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么“点导数点导数”定定义式义式常见常见形式形式【注】【注】函数函数 在在 处处可导可导，也说，也说 在在 具有导具有导数数或或导数存在导数存在.若上述极限不存在，则说此点若上述极限不存在，则说此点不可不可导导或或导数不存在导数不存在.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么“点导数点导数”是因变量在是因变量在x0处的变化率处的变化率,它反映了它反映了x0处因处因变变 量随自变量的变化而变化的快慢程度量随自变量的变化而变化的快慢程度.【关于导数的说明】【关于导数的说明】如果函数如果函数 y=f(x)在开区间在开区间I内的每点处都可导内的每点处都可导,就称就称函函 数在开区间数在开区间I 内可导内可导.为方便见为方便见,往往说函数往往说函数 f(x)在点在点x0处的处的导数为导数为,即具有即具有无穷导数无穷导数.若若 在在 不可导不可导是由于是由于 时时 所至所至;f(x)的导函数记作的导函数记作在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【注意】【注意】导函数导函数定义式定义式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【步骤】【步骤】【例【例1】【解】【解】即即2.【求导举例】【求导举例】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例2】【解】【解】更一般地更一般地例如例如常用公式常用公式即即 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例3】【解】【解】即即类似可得类似可得正减余在先正减余在先 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例4】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例5】【解】【解】即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例6】证明函数在在 x=0 不可导不可导.【证】【证】不存在不存在,由本例引出以下概念由本例引出以下概念在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)右导数右导数:3.【单侧导数】单侧导数】(1)左导数左导数:(3)可导的充要条件可导的充要条件【定理】【定理】【注】【注】分段函数在分界点处的导数分段函数在分界点处的导数一般一般要用该定理判定要用该定理判定.【例如】例【例如】例6中中在在 x=0 处有处有(4)闭区间可导闭区间可导在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(5)分段函数可导性分段函数可导性 (重点重点 难点难点)试求试求f (x).步骤：步骤：1.先在开区间内求导先在开区间内求导.2.再用导数定义求分界点的导数再用导数定义求分界点的导数.【补例【补例】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、导数的几何意义1.1.【几何意义】【几何意义】曲线曲线在点在点的切线斜率为的切线斜率为若若切线与切线与 x 轴平行轴平行,称为称为驻点驻点;处的处的曲线在点曲线在点切线方程切线方程:法线方程法线方程:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【注】【注】若若即即此示此示:曲线在该点有垂直于曲线在该点有垂直于x 轴的切线轴的切线【例【例7】【解】【解】由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、可导与连续的关系【定理】凡可导函数都是连续函数【定理】凡可导函数都是连续函数.【证【证】即：可导必连续即：可导必连续.【证【证】【注意】【注意】逆命题不成立，即逆命题不成立，即连续不一定可导连续不一定可导.【反例】【反例】在在 x=0 处连续处连续,但不可导但不可导.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数.五、小结1.导数的实质导数的实质:增量比的极限增量比的极限;（三种定义形式三种定义形式）3.几何意义几何意义:导数导数切线的斜率切线的斜率;4.可导一定连续，但连续不一定可导可导一定连续，但连续不一定可导（两者关系）（两者关系）（可导充要条件）（可导充要条件）已学求导公式已学求导公式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第二节 函数的求导法则一、一、和、差、积、商的求导法则和、差、积、商的求导法则二、二、例题分析例题分析三三、反函数的求导法则、反函数的求导法则四四、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则五、基本求导法则与导数公式五、基本求导法则与导数公式六、小结在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么本节内容本节内容【思路】(构造性定义构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了证明中利用了两个重要极限两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、和、差、积、商的求导法则【定理】【定理】【证】【证】略略在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【推论】【推论】有限项有限项有限项有限项在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、例题分析【例【例1】【解】【解】【例【例2】【解】【解】注意注意在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例3】【解】【解】同理可得同理可得即即【例【例4】【解】【解】同理可得同理可得即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【注意】【注意】练习练习四则运算求导法则的练习四则运算求导法则的练习在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、反函数的求导法则【定理】【定理】【结论【结论】(直接直接)反函数的导数等于直接函数导数的反函数的导数等于直接函数导数的 倒数倒数.【证【证】(自阅自阅)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例1】【解】【解】1)则则类似可求得类似可求得利用利用,则则在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例2】【解】【解】特别地特别地即即小结小结:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、复合函数的求导法则对于对于等复合函数，等复合函数，存在两个问题：存在两个问题：(1)它们是否可导？它们是否可导？(2)若可导，如何求导？若可导，如何求导？以下法则回答了这两个问题以下法则回答了这两个问题.【定理】【定理】即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例如例如【推广】此法则可推广到多个中间变量的情形.【例【例3】【解】【解】【关键】【关键】搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内由外向内逐层求导逐层求导.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例4】【解】【解】【例【例5】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例6】【解】【解】【例【例7】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例8】设求求【解】【解】【证】【证】(1)【例【例9】求下列导数(设 x 0):在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么五、基本求导法则与导数公式1.【常数和基本初等函数的导数公式】【常数和基本初等函数的导数公式】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.【函数的和、差、积、商的求导法则】函数的和、差、积、商的求导法则】设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv =)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.【反函数的求导法则】反函数的求导法则】4.【复合函数的求导法则】复合函数的求导法则】充分性充分性利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【补例【补例】【解】【解】求求先化简再求导先化简再求导在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么六、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.【关键】正确分解初等函数的复合结构【关键】正确分解初等函数的复合结构.至此，初等函数的求导问题全部解决至此，初等函数的求导问题全部解决.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第三节第三节 高阶导数高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例三、小结三、小结 思考题思考题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、高阶导数的定义【问题】变速直线运动的加速度【问题】变速直线运动的加速度.【定义】【定义】或或记作记作在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么或或类似地类似地,二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数,或或依次类推依次类推,分别记作分别记作二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导函数二阶导函数:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、高阶导数求法举例【例【例1 1】【解】【解】1 1.【直接法】直接法】由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.又称逐阶求导法又称逐阶求导法证明证明在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例2】【解】【解】2.【利用归纳法】【利用归纳法】特别有特别有:设求求【解】【解】【例【例3】设设求求一般地一般地,类似可证类似可证:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 利用归纳法求利用归纳法求n阶阶导数时导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不不要急于合并要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(.(数学数学归纳法证明归纳法证明,可省略可省略)【注意】【注意】【解解】规定规定 0!=1【例例4】设设求求在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例5】【解】【解】设设求求依次类推依次类推,思考思考设设问问可得可得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、内容小结(1)直接法直接法(又称又称逐阶求导法逐阶求导法)(2)利用归纳法利用归纳法高阶导数的求法高阶导数的求法在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数四四、小结、小结在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、隐函数的导数【定义】【定义】隐函数的显化隐函数的显化【问题】【问题】隐函数隐函数不易不易显化或显化或不能不能显化如何求导显化如何求导?【隐函数求导方法】【隐函数求导方法】用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.如如能够显化能够显化.确定隐函数，但确定隐函数，但不能显化不能显化.两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 的方程的方程)(注意注意 y=y(x)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例1】【解】【解】解得解得【注意】【注意】求隐函数的导求隐函数的导数，结果中允许含有因数，结果中允许含有因变量变量 y.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例2】【解】【解】解得解得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例3】自己分析解题思路自己分析解题思路【解】【解】所求切线斜率所求切线斜率解得解得从而从而于是切线方程为于是切线方程为即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、对数求导法观察函数观察函数 ,如何求导如何求导?【对数】【对数】能够能够化乘、除为加、减化乘、除为加、减(和差和差)；而和、差的导数；而和、差的导数 等于导数的和、差等于导数的和、差,使求导运算简单使求导运算简单.【方法】【方法】先在方程两边取对数先在方程两边取对数,化为由化为由加减项加减项组成的组成的隐函隐函数数，然后利用隐函数的求导方法求出导数，然后利用隐函数的求导方法求出导数.-对数求导法对数求导法【适用范围】【适用范围】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例4】设】设【解】【解】等式两边取对数得等式两边取对数得在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例5】【解】【解】两边取对数两边取对数,化为隐式化为隐式两边对两边对 x 求导求导在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、由参数方程所确定的函数的导数【例如】【例如】消去参数消去参数【问题】【问题】消参消参困难困难或或无法消参无法消参如何求导如何求导?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么参数方程参数方程求导公式求导公式.【例【例6】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例7】【解】【解】【解】【解】先求切点坐标先求切点坐标再求切线的斜率再求切线的斜率代入点斜式，得切线的方程代入点斜式，得切线的方程即即在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么参数方程求导法练习参数方程求导法练习习题习题 2-4 P111-112 5、6、7本节作业题本节作业题习题习题 2-4 P111-112 1(2)(4)、4(1)(3)、5(1)、6、7(1).在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、小结【隐函数求导法则】【隐函数求导法则】直接对方程两边求导直接对方程两边求导;【对数求导法】【对数求导法】【参数方程求导】【参数方程求导】适用于适用于幂指幂指函数及某些用连乘、函数及某些用连乘、连除、乘方、开方表示的函数连除、乘方、开方表示的函数.参数方程参数方程求导公式求导公式.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第五节第五节 函数的微分函数的微分一、问题的提出一、问题的提出二、微分的定义二、微分的定义三、可微的条件三、可微的条件四、微分的几何意义四、微分的几何意义五、微分公式与微分法则五、微分公式与微分法则六、小结六、小结 思考题思考题在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、问题的提出【实例】【实例】正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.【问题】【问题】这个线性函数这个线性函数(改变量的改变量的主要部分主要部分)是否所有函数是否所有函数 的改变量都有这个特点的改变量都有这个特点?它是什么它是什么?如何求如何求?在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、微分的定义【定义】【定义】(微分的实质微分的实质)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、可微的条件（充要性）【定理】【定理】【证】【证】(1)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例1】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、微分的几何意义MNT）【几何意义】【几何意义】(如图如图)P Q Qydy在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么五、微分公式与微分法则【求法】【求法】计算函数的导数计算函数的导数,再乘以自变量的微分再乘以自变量的微分.1.【基本初等函数的微分公式】【基本初等函数的微分公式】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.【函数和、差、积、商的微分法则】【函数和、差、积、商的微分法则】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例2】【解】【解】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【结论】【结论】微分形式的不变性微分形式的不变性3.【复合函数的微分法则】【复合函数的微分法则】（微分形式的不变性）（微分形式的不变性）对谁求导乘以谁的微分对谁求导乘以谁的微分在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么【例【例3】【解】【解】【解】【解】【例【例4】在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立使等式成立.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么六、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第六节第六节 洛必达法则洛必达法则三、小结三、小结 思考题思考题二、二、0,-,-,00,1,0 型未定式解法型未定式解法在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 洛必达法则洛必达法则 存在存在(或为或为 )定理定理(洛必达法则洛必达法则)在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么推论1 定理定理 1 中中换为下列过程之一换为下列过程之一:推论推论 2 若若必达法则条件必达法则条件,则则条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理仍然成立定理仍然成立.洛必达法则洛必达法则注注（证明略）（证明略）在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例例1 解解 例例2 解解 例题部分例题部分注意注意 1.不是未定式不是未定式不能用不能用洛必达法则洛必达法则!2.由此可见，在使用洛必达法则时应由此可见，在使用洛必达法则时应步步整理、步步判别步步整理、步步判别。如果如果不是未定式不是未定式就就坚决不能用坚决不能用洛洛必达法则。必达法则。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例例3 解解 例例4 解解 或或等价无穷小等价无穷小代换更简单代换更简单在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例例5 解解 例例6 解解(1)相继应用相继应用洛洛必达法则必达法则n次，得次，得 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么(2)两例实际为两例实际为无穷大的比较无穷大的比较，高阶无穷大高阶无穷大,说明说明(1)上两例表明上两例表明时时,后者比前者趋于后者比前者趋于更快更快.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 说明说明 洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但与其它求极限方法但与其它求极限方法结合使用结合使用，效果更好，效果更好.课本课本例例10 解解 或或 上式上式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、0,00,1,0 型未定式解法 补补例例 解解 关键关键 将以上类型未定式化为洛必达法则可解决将以上类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型的类型 解法解法 注：以下写法仅是记号注：以下写法仅是记号1.0型型转化转化在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 课本课本例例8 解解 解法解法2.型型转化转化 补充练习补充练习 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么3.00,1,0 型型幂指函数类幂指函数类以下举例说明以下举例说明 例例9 解解 在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第七节 函数的单调性 与曲线的凹凸性一、单调性的判别法一、单调性的判别法二、单调区间求法二、单调区间求法三、单调性小结三、单调性小结四、曲线凹凸的定义四、曲线凹凸的定义五、曲线凹凸的判定五、曲线凹凸的判定六、曲线的拐点及其求法六、曲线的拐点及其求法七、凹凸性小结七、凹凸性小结在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么一、单调性的判别法定理定理1在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么证证（1）应用拉氏定理应用拉氏定理,得得(2)同理可证。同理可证。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例题部分例题部分 单调性应用单调性应用 注注 定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立定理中区间换成其它有限或无限区间，结论仍成立.应用应用1:判断函数的单调性判断函数的单调性(或求函数的单调区间或求函数的单调区间)例例1 判定函数判定函数 y=x sinx 在在 0,2 上的单调性上的单调性.解解 因为因为 在在(0,2)内内.故由定理故由定理1立得立得函数函数 y=x sinx 在在 0,2 上的单调增加上的单调增加.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例例2 解解 注意注意 函数的单调性是一个函数的单调性是一个区间上区间上的性质，要用导数在的性质，要用导数在这一这一区间上区间上的的符号符号来判定，而不能用来判定，而不能用一点一点处的导数符号处的导数符号来判别一个区间上的单调性来判别一个区间上的单调性在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么说明 1.单调区间的单调区间的分界点分界点除除驻点驻点外外,也可是也可是导数不存在导数不存在的点的点.例例32.如果函数在某如果函数在某驻点驻点两边导数两边导数同号同号,则则不改变不改变函数的函数的单调性单调性.例例5 3.熟记熟记单调区间的单调区间的可能可能分界点分界点(1)驻点驻点;(2)不可导点不可导点x=0不可导点不可导点在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么二、单调区间求法 方法方法 小结小结：单调区间的求法步骤：单调区间的求法步骤求定义域求定义域求驻点、不可导点求驻点、不可导点(可能的分界点可能的分界点)确定单调区间确定单调区间列表考察列表考察 f (x)在各个区间内的符号在各个区间内的符号在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么课本例4确定函数的单调区间的单调区间.解解令令得得故故的的单调增单调增区间为区间为的的单调减单调减区间为区间为在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例6 证明当x 1时,证证应用应用2:利用函数的单调性证明不等式利用函数的单调性证明不等式在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么三、单调性小结2.可导函数单调性判别可导函数单调性判别 (充分性充分性)在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减1.函数单调区间的函数单调区间的可能可能分界点分界点(1)驻点驻点;(2)不可导点不可导点3.单调性应用单调性应用:(1)求函数的单调区间求函数的单调区间;(2)利用单调性证明不等式利用单调性证明不等式.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么四、曲线凹凸的定义 问题问题 单调性不能反映曲线的单调性不能反映曲线的弯曲弯曲方方 向；如何研究曲线的向；如何研究曲线的弯曲弯曲方向方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定义定义 设函数设函数在区间在区间 I 上连续上连续,(1)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凹凹的的;(2)若恒有若恒有则称则称图形是图形是凸凸的的.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么五、曲线凹凸与拐点的判定【观察】【观察】在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么定理2(凹凸判定法)(1)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是内图形是凹凹的的;(2)在在 I 内内则则 在在 I 内图形是内图形是凸凸的的.设函数设函数在区间在区间I 上二阶可导上二阶可导 注注 定理中区间定理中区间I 可以可以为为闭区间闭区间也可为也可为非闭区间非闭区间.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么 例例8 解解 注意注意 这样的点称为曲线的这样的点称为曲线的拐点拐点，定义定义连续连续曲线上曲线上凹凸凹凸的的分界点分界点(x0，f(x0)称为称为拐点拐点.内点内点在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么六、曲线的拐点及其求法1.可能可能(可疑可疑)拐点的求法拐点的求法 分析分析 所以要寻求拐点所以要寻求拐点,只要找出使只要找出使f (x)正负正负号发生变化的分号发生变化的分界点即可界点即可.如果如果f (x)连续连续,则则f (x)的的值在值在由负变正由负变正或或由正变负由正变负的过程中的过程中,必在必在分界点分界点处的值为零处的值为零.即即此外此外,f (x)不存在的点也不存在的点也可能可能是拐点（如下图）是拐点（如下图）可能可能的拐点的拐点总结总结在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么2.判定拐点的步骤判定拐点的步骤由此可得求由此可得求拐点的拐点的步骤步骤如下如下:若在其两侧若在其两侧二阶导数变号二阶导数变号,则点则点(x0 ,f(x0)是是拐点；拐点；若在其两侧若在其两侧二阶导数不变号二阶导数不变号,则点则点(x0,f(x0)不是不是拐点；拐点；可能可能的拐点的拐点在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么例11判断曲线的凹凸性及其拐点的凹凸性及其拐点.解解故曲线故曲线在在上是凹的上是凹的.结论结论1)由由 例例8和例和例11可知可知：二阶导数为零的点：二阶导数为零的点可能是可能是拐点拐点,2)也也可能不是可能不是拐点。拐点。在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么课本例12 求曲线的拐点的拐点.解解不存在不存在因此点因此点(0,0)为曲线为曲线的拐点的拐点.凹凹凸凸结论结论2)此例说明了此例说明了 不存在不存在的点的点 也也可能可能 是是曲线的曲线的拐点拐点.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么课本例10求曲线的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解1)求求2)求可能的拐点坐标求可能的拐点坐标令令得得对应对应3)列表判别列表判别故该曲线在故该曲线在及及上是凹的上是凹的,是凸的是凸的,点点(0,1)及及均为拐点均为拐点.在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么函数的凹凸性拐点函数的凹凸性拐点练习题练习题习题习题 3-4 P153 8(1)(3)、9(1)(2)、12函数的凹凸性拐点函数的凹凸性拐点作业题作业题习题习题 3-4 P153 8(1)、9(1)、12在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么七、曲线的凹凸性小结3.拐点的求法：拐点的求法：1.找出可能拐点；找出可能拐点；2.判别判别.一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸可能可能拐点拐点 1.f(x)=0的点的点 2.f(x)不不 存在的点存在的点.1.曲线凹凸的判别曲线凹凸的判别2.拐点拐点 连续曲线上的凹凸分界连续曲线上的凹凸分界（内点）（内点）点点在日常生活中，随处都可以看到浪费粮食的现象。也许你并未意识到自己在浪费，也许你认为浪费这一点点算不了什么第七节第七节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值一、函数极值的定义一、函数极值的定义二、函数极值的求法二、函数极值的求法三、极值小结三、极值小结 思考题思考题四、最值的求法四