北师大版高中数学必修三1.8-最小二乘估计ppt课件.ppt

1.8 最小二乘估计第一章 统计 在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量在上节课的讨论中，我们知道，人体脂肪含量和年龄之间近似存在着线性关系，这种和年龄之间近似存在着线性关系，这种线性关系可线性关系可以有以有多种方法来进行刻画多种方法来进行刻画.但是这些方法都缺少数学但是这些方法都缺少数学思想依据思想依据.问题问题1 1.用什么样的线性关系刻画会更好一些？用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：想法：保证这条直线与所有点都接近（也就是距离保证这条直线与所有点都接近（也就是距离最小）最小）.最小二乘法就是基于这种想法最小二乘法就是基于这种想法.本节课我们来进行本节课我们来进行详细学习！详细学习！1.1.了解最小二乘法的思想了解最小二乘法的思想.2.2.能根据给出的线性回归方程系数公式建能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程立线性回归方程.(重点重点)3.3.会用线性回归方程对总体进行估计会用线性回归方程对总体进行估计.(难点）难点）思考思考1.用什么样的方法刻画点与直线的距离会用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效？设直线方程为更方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点，样本点A（xi，yi）方法一方法一:点到直线的距离公式点到直线的距离公式方法二方法二:A A0 0显然方法二能有效地表示点显然方法二能有效地表示点A与直线与直线y=a+bx的的距离，而且比方法一计算更方便，所以我们用距离，而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者之间的接近程度它来表示二者之间的接近程度.思考思考2.2.怎样刻画多个点与直线的接近程度怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有例如有5个样本点，其坐标分别为（个样本点，其坐标分别为（x1，y1），），（x2，y2），（），（x3，y3），（），（x4，y4），（），（x5，y5），），与直线与直线y=a+bx的接近程度：的接近程度：提示：提示：若有若有n n个样本点：（个样本点：（x x1 1，y y1 1）,（x xn n，y yn n），可），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线以用下面的表达式来刻画这些点与直线y ya+bxa+bx的的接近程度接近程度:使上式达到最小值的直线使上式达到最小值的直线y=a+bxy=a+bx就是所要求就是所要求的直线，这种方法称为的直线，这种方法称为最小二乘法最小二乘法.先来讨论先来讨论3 3个样本点的情况个样本点的情况思考思考3 3：怎样使怎样使达到最小值？达到最小值？利用配方法可得利用配方法可得同样使用配方法可以得到，当同样使用配方法可以得到，当从而得到直线从而得到直线y=+bx的系数的系数，b，且称直线，且称直线y=+bx为这为这3个样本点的线性回归方程个样本点的线性回归方程.用同样的方法我们可以推导出用同样的方法我们可以推导出n n个点的线性个点的线性回归方程的系数：回归方程的系数：牢记公牢记公式式特别提醒：特别提醒：在回归直线方程中，在回归直线方程中，b是回归直是回归直线方程的斜率，线方程的斜率，a是截距；是截距；b的含义容易理的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表解成增加的单位数，而实际上，它代表x每每增加一个单位，增加一个单位，y的平均增加单位数的平均增加单位数.一般地一般地说，当回归系数说，当回归系数b0时，说明两个变量呈时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当正相关关系，它的意义是：当x每增加一个每增加一个单位时，单位时，y就增加就增加b个单位；当个单位；当b0时，说时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当当x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y就减少就减少b个单位个单位.例例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部小卖部6天卖出热茶的杯数（天卖出热茶的杯数（y）与当天气温）与当天气温（x）之间是线性相关的）之间是线性相关的.数据如下表数据如下表:(1)(1)试用最小二乘法求出线性回归方程试用最小二乘法求出线性回归方程.(2)(2)如果某天的气温是如果某天的气温是33，请预测这天可能，请预测这天可能会卖出热茶多少杯会卖出热茶多少杯.解解：（1 1）由散点图可以看出，两个变量）由散点图可以看出，两个变量是线性相关的是线性相关的.（2 2）由上面的最小二乘法估计得出的线性回）由上面的最小二乘法估计得出的线性回归方程知，当某天的气温是归方程知，当某天的气温是33时，卖出热时，卖出热茶的杯数估计为：茶的杯数估计为：57.557-1.648(-3)63(57.557-1.648(-3)63(杯）杯）.1.1.利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散利用最小二乘法估计时，首先要作出数据的散点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系点图，利用散点图观察数据是否具有线性关系.2.2.散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公散点图呈现线性关系时，利用最小二乘法公式求出方程式求出方程.3.3.直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其直线拟合只是拟合的方式之一，散点图呈现其他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟他的规律时，我们也可以利用其他的曲线进行拟合合.【说明说明】例例2 2 下面是两个变量的一组数据：下面是两个变量的一组数据：请用最小二乘法求出这两个变量之间的请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程线性回归方程.解解根据上表数据，可以计算出：根据上表数据，可以计算出：其他数据如下表其他数据如下表，思考：哪一个对呢思考：哪一个对呢？y=-y=-15+9x.15+9x.所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散所以，利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图点图.如果散点图呈现一定的规律性如果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这我们再根据这个规律性进行拟合个规律性进行拟合.如果散点图呈现出线性关系如果散点图呈现出线性关系,我我们可以用最小二乘法估计出线性回归方程们可以用最小二乘法估计出线性回归方程;如果散如果散点图呈现出其他的曲线关系点图呈现出其他的曲线关系,我们就要利用其他的我们就要利用其他的工具进行拟合工具进行拟合.D D1.已知已知x，y之间的一组数据如下表，则之间的一组数据如下表，则y与与x的线性回归方程的线性回归方程y=a+bx必经过点必经过点()A.（2，2）B.（1.5，0）C.（1，2）D.（1.5，4）AA4.4.某连锁经营公司所属某连锁经营公司所属5 5个零售店某月的销售额和个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：利润额资料如下表：（1 1）画出销售额和利润额的散点图）画出销售额和利润额的散点图.（2 2）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额额y y对销售额对销售额x x的线性回归方程的线性回归方程.（2 2）数据如下表：）数据如下表：可以求得可以求得b=0.5b=0.5,a=0.4a=0.4线性回归方程为：线性回归方程为：/千万元千万元解：解：（1 1）/百万元百万元（1 1）散点图如图）散点图如图所示：所示：2.2.线性回归方程的系数：线性回归方程的系数：1.1.最小二乘法的思想最小二乘法的思想.一切澎湃于心，让我们真正能够在心里有所酝酿的东西，都值得我们去努力.