电力系统分析(2004-12).ppt

现代电力系统分析现代电力系统分析（下册）（下册）任课教师：葛少云研究生学位课：第二节 电磁暂态过程数值计算的基本方法 对于电力系统中的并联电抗器、并联和串联电容器等集中参数元件，或可以近似处理成集中参数的元件(如变压器和短线路)，总可以列出描述其暂态过程中电压和电流间关系的常微分方程(纯电阻参数元件则为代数方程)，然后应用数值方法进行求解。由于隐式梯形积分法比较简单而且具有相当的精度和良好的数值稳定性，并能较好地适应刚性微分方程组，因此在EMTP和其它一些电磁暂态程序中大多采用这种积分方法。上述常微分方程在采用隐式梯形积分法时，在一个积分步长t内(例如由t-t到t)将被转换成相应的差分方程。它描述了t 时刻的电压、电流与 t-t 时刻的电压、电流之间的相互关系，而t-t 时刻的电压和电流是前一个步长的计算结果，对于本步长来说是已知量。进而，这些差分方程可以用一种由纯电阻和电流源构成的电路来代替，以反映 t 时刻未知电压和电流之间的关系，其中的电阻决定于元件的参数和积分步长，而电流源则决定于t-t 时刻的电压和电流值。这种电路称为暂态等值计算电路。在暂态过程中，对于长线等分布参数元件，其电压和电流之间的关系应由偏微分方程来描述。在单根导线并且不计损耗的情况下，t 时刻线路两端电压、电流之间的关系，可以由偏微分方程的解析解转换成用纯电阻和电流源构成的暂态等值计算电路，其中的电阻决定于线路参数，电流源的取值则决定于t-时刻(t t 为线路上电磁波的传播时间)的电压、电流。对于有损线路，在作适当近似处理后仍可沿用类似的暂态等值计算电路。这样，根据各元件之间的实际接线方式，将它们的暂态等值计算电路进行相应的连接，便可组成一个带有已知电流源的纯电阻网络。对这一网络进行求解，即可以得出 t 时刻各个元件的电压和电流。依次对各个步长进行递推计算，便可求得整个暂态过程的数值解。上述方法仅限于元件参数为常数的情况，对于饱和电抗器、避雷器等非线性元件，还需作特殊处理。以上便是本节所要介绍的电磁暂态过程数值计算的基本原理。在介绍具体方法以前，先引出隐式梯形积分公式，以便应用。对于常微分方程，即 在t-t到t积分步长内的隐式梯形积分公式(以下简称梯形积分公式)为 一、集中参数元件的暂态等值计算电路 1电感元件 对于图2-1(a)所示的电感电路，可以列出其微分方程，即 应用梯形积分公式，可将它化为下列差分方程 很明显，式(2-2)中t 时刻的电压、电流关系可以用图2-1(b)所示的等值电路代替，并称之为暂态等值计算电路。其中，RL是积分计算中反映电感L的等值电阻、当步长t固定时它为定值；IL(t-t)是t 时刻的等值电流源，由t-t时刻的电流和电压按式(2-4)计算而得。对于积分的第一个时段，t=t，t-t0，式(2-4)右端的电流和电压将是它们的初始值ijk(0)，uj(0)和uk(0)，而对于其它时段则是前一个时段的计算结果。在实际计算中，为了省去对电感支路电流 ijk(t-t)的计算，可应用对应于t-t时刻的电流、电压关系式(2-2)，将式(2-4)改写成下列递推形式 (2-5)并用式(2-5)进行电流源的递推计算，当然，在起步时仍需应用式(2-4)来计算相应的电流源。2电容元件 仿照电感元件的方法，可以导出图2-2(a)所示电容电路的暂态等值计算电路见图 2-2(b)。相应的计算公式为电流源的递推计算式为 3电阻元件 图2-3所示的电阻元件电路，其电压、电流的关系为代数方程，即 (2-10)它直接描述了t 时刻的电压和电流之间的关系，因此，图2-3中的电路本身就是它的暂态等值计算电路。以上给出了单个L、C、R元件的暂态等值计算电路。当一集中参数元件同时含有几个参数(例如R、L串联)时，可以分别作出它们的暂态等值计算电路，然后进行相应的连接。对于并联电抗器和并联电容器等接地元件，可以在暂态等值计算电路中令其接地端电压为零。暂态等值计算电路又称等值计算电路。后面在不引起混淆的情况下，将它简称为等值电路。二、单根分布参数线路的贝瑞隆(Bergeron)等值计算电路 在电磁暂态过程分析中，输电线路分布参数的影响可以用两种方法处理：一种是将线路适当地分成若干段，每段用型或T型集中参数电路代替，再将其中的各个参数用前面介绍的等值计算电路表示；另一种方法是直接导出并采用线路的暂态等值计算电路。(一)单根无损线路的暂态等值计算电路 对于图2-5(a)所示的单根无损线路，设单位长度的电感L0和电容C0均为常数，则可以列出下列偏微分方程 （2-11）可将式(211)改写为二阶波动方程，即 （2-12）式中：为沿线电磁波的传播速度。式(2-12)的通解为：（2-13）在式中，与f1(x-vt)有关的项反映速度为v的前行波，与 f2(x+vt)有关的项反映速度为v的反行波，为线路的波阻抗。将式(2-13)的第二式两端乘以ZC，再与其第一式分别相加和相减后，得 （2-14）（2-15）贝瑞隆应用此两式所表示的任一点电压、电流线性关系，在已知边界条件和起始条件下计算了线路上的电压、电流。我们并不直接应用贝瑞隆法，而是用式(2-14)和式(2-15)推导线路两端的等值计算电路。在式(2-14)中，分别令 x0 和 x=l,则由图2-5(a)知u(0,t)uj(t)，i(0,t)ijk(t)，u(l,t)uk(t)，i(l,t)-ikj(t)。于是得 (2-16)(2-17)在式(2-16)中，将 t 换成t-(=l/v，为电磁波由线路一端到达另一端所需的时间），于是式（2-16）变为：（2-18）将式(2-18)与式(2-17)进行比较，可以导出 （2-19）式(2-17)、(2-18)和式(2-19)的物理意义为：t-时刻在j端的前行波，在t 时刻到达 k 端。式(2-19)可改写为 (2-20)(2-21)采用相同的方法，由式(2-15)可以导出 (2-22)(2-23)式(2-22)、(2-23)的物理意义为：t-时刻在 k 端的反行波，在 t 时刻到达 j 端。式(2-20)(2-23)给出了t 时刻线路一端电流、电压与t-时刻另一端电流、电压之件的关系。不难看出，这组关系可以用图2-5(b)所示的暂态等值计算电路（又称贝瑞隆等值计算电路)来反映。它将分布参数线路的波过程转化为仅含电阻和电流源的集中参数电路，线路两端间的电磁联系由反映t-时刻两端电压、电流的等值电流源来实现，而无直接拓扑联系。这样，在已知 t-时刻线路两端电压和电流值的情况下，可以分别应用式(2-21)和式(2-23)求出两端的等值电流源，然后，应用式(2-20)和式(2-22)或图2-5(b)中的等值计算电路，便可分别得出 t 时刻两端电流和电压的关系式，从而将它们用于全网在 t 时刻的数值计算。必须指出，由于式(2-20)(2-23)是由式(2-12)波动方程的解析解经严格推导而得出的，因此它与所采用的积分步长 t 无关。等值电流源经过适当推导可以改写为下列递推形式 (二)线路损耗的近似处理 在一般情况下，线路绝缘的漏电损耗很小，常忽略不计。至于电晕所引起的损耗则屑于专门研究课题，已超出本书范围。因此，这里限于考虑线路电阻的影响。当计及线路分布电阻时，就不能象无损线路那样导出其简单的等值计算电路，而在工程计算中往往采用近似的处理方法。例如，在EMTP中，将整个线路适当地分成几段，每段视为无损线路，而将各段的总电阻进行等分后分别集中在该段无损线路的两端。显然，分段数愈多，则愈接近于分布电阻情况。但根据计算经验，在一般线路长度下，分为两段便可以满足工程计算的精度要求。图2-6(a)所示为线路被等分为两段 为了避免新增节点，将图2-6(b)等值简化为图2-6(c)三、暂态等值计算网络的形成及求解 前面介绍的各种元件，在时刻t 的等值计算电路都由等值电阻和电流源组成。当电力网由这些元件构成时，将各元件的等值计算电路按照电网的实际接线情况进行相应的连接后，便形成一个由纯电阻和电流源组成的网络。显然，这一网络反映了t 时刻各元件本身及其相互之间的电压、电流关系，因此称它为t 时刻的暂态等值计算网络，或简称等值计算网络。在t 时刻外施电源和各等值电流源都已知的情况下，将可以对等值计算网络进行求解，从而得出该时刻各元件的电压和电流。然后，用所得结果即可求出t+t 时刻各电流源的取值，再求解相应的等值计算网络，便可得出t+t 时刻各元件的电压和电流。这样，从t=0 时刻开始，网络电磁暂态过程的计算，实际上便转化为在各个离散时刻对等值计算网络的求解。在计算过程中将涉及到等值计算网络的求解方法、等值电流源的计算和外施电源的处理等问题，现依次介绍如下。(一)等值计算网络的节点方程 在电磁暂态过程计算中，等值计算网络常用节点方程，即 Gui (2-28)来表示。对于时刻t,节点方程中的u为由该时刻各节点电压所组成的列向量；i 为由各节点注入电流组成的列向量(每一节点的注入电流为t 时刻等值计算网络中与该节点相连的各等值电流源以及外施电流源的代数和)；G为等值计算网络的节点电导矩阵(它由各元件的等值电阻构成，其形成方法与潮流计算中形成网络节点导纳矩阵Y相仿)。不难看出，当网络中分布参数线路用等值计算电路表示时，由于线路两端无直接联系，矩阵G 将比Y 更为稀疏。因此，式 (2-28)常用稀疏技巧求解。(二)等值电流源的计算计算过程中需求出各个时段各元件等值计算电路中的电流源。涉及的问题主要是初始时刻电流源取值的计算，电感、电容和分布参数线路有不同的处理办法，不一而论。之后采用前面推导的递推公式计算即可。(三)外施电源的处理外施电源可能是已知的电流源或电压源。对于已知的电流源，只需简单地将它计入相应的节点注入电流。对于已知电压源，如果有一电阻元件直接与它串联，则可以将电压源和电阻转化为等值电流源。一般的方法是将式(2-28)按已知和未知电压节点进行分块，使之变为 （2-29）式中：uA,iA 和uB,iB 分别为未知和已知电压节点的电压、电流向量。显然uB，iA为已知量，故由式(2-29)可以导出 GAAuA=iA-GABUB (2-30)用上式来求解各未知电压节点的电压uA。(四)暂态过程计算的主要流程 考虑具有外施电压源并应用节点方程式(2-30)进行计算的情况。显然，矩阵GAA是对称的稀疏矩阵，因此，式(2-30)可以用稀疏三角分解进行前代和回代运算而求解。这样，综合以上所介绍的情况，可以得出图2-8所示的电磁暂态过程计算流程。GAAuA=iA-GABUB第三章 电力系统暂态稳定性分析 第一节 概 述电力系统暂态稳定性是指系统突然经受大扰动后，各个同步电机能否继续保持同步运行的能力。通常所考虑的扰动包括发生各种短路故障、切除大容量发电机或输电设备以及某些负荷的突然变化等。一般的机电暂态过程描述如下：1)系统遭受扰动后，除了在系统中出现电磁暂态过程以外，特别地，由于扰动引起系统结构或参数的变化，使系统潮流和各发电机的输出功率也随之发生变化，从而破坏了原动机和发电机之间的功率平衡，在机组轴上产生不平衡转矩，使它们开始加速或减速。2)在一般情况下，扰动后各发电机输出功率的变化并不相同，因此它们的转速变化情况各不相同。这样，各发电机转子之间将因转速不等而产生相对运动，结果使转子之间的相对角度发生变化，而相对角度的改变又反过来影响各发电机的输出功率，从而使各个发电机的功率、转速和转子间的相对角度继续发生变化。3)与此同时：1.由于发电机端电压和定子电流的变化，将引起转子绕组电流的变化和励磁调节系统的调节过程；2.由于机组转速的变化，将引起调速系统的调节过程和原动机功率的变化，3.而由于电网中各节点电压的变化，将引起负荷吸收功率的变化，等等。它们在不同程度上直接或间接地影响发电机和原动机功率的变化。4)上述各种变化过程相互联系又相互影响，形成了一个以各发电机转子机械运动和电磁功率随时间变化为主体的机电暂态过程。扰动后的暂态过程可能有两种不同的结局。一种是各发电机转子间相对角度随时间的变化呈摇摆状态，如右图(a)所示，且振荡幅值逐渐衰减。各机组之间的相对转速最终衰减为零，使系统回到扰动前的稳态运行情况，或者过渡到一个新的稳态运行情况。在此运行情况下，所有发电机仍然保持同步运行。对于这种结局，称电力系统是暂态稳定的。另一种结局是暂态过程中某些发电机转子之间的相对角度随时间不断增大，如图(b)所示，它们之间始终存在着相对转速，使这些发电机之间失去 同步。对于这种结局，称电力系统是暂态不稳定的，或称电力系统失去暂态稳定。发电机间失去同步后，将在系统中产生功率和电压的强烈振荡，结果使一些发电机和负荷被迫切除。在严重的情况下，甚至导致系统的解列或瓦解。电力系统的暂态稳定性不但决定于扰动的性质及其发生的地点，而且与扰动前系统的运行情况有关。因此，通常需要针对不同的稳态运行情况以及各种不同的扰动分别进行暂态稳定性分析。然而，如果要求系统在所有可能的运行情况下，遭受各种可能发生的扰动后，都能保持暂态稳定，则不但没有必要而且也不经济。为此，各国对于暂态稳定性的要求都有自己的标准。为了保证电力系统运行的安全性，在系统规划、设计和运行过程中都需要进行暂态稳定分析。当稳定性不满足规定要求，或者需要进一步提高系统的传输能力时，还需要研究和采取相应的提高稳定措施。另外，在系统发生稳定性破坏事故以后，往往需要进行事故分析，找出破坏稳定的原因，并研究相应的对策。由于扰动后系统的暂态过程实际上非常复杂，因此，在电力系统暂态稳定性分析中大都采用以下简化：(1)忽略发电机定子绕组和电力网中电磁暂态过程的影响，只考虑交流系统中基波分量电压、电流和功率以及发电机转子绕组中非周期性分量的变化。这样，交流电力网中各元件的数学模型将可以简单地用它们的基波等值阻抗电路来描述。(2)在不对称故障或非全相运行期间，略去发电机定子回路基波负序分量电压、电流对电磁转矩的影响。(3)此外，根据对计算结果精度的不同要求，以及由于分析方法本身的限制，还将对元件的数学模型采取各种不同程度的简化，有时甚至对一部分发电机或系统中的某些部分进行动态等值的简化处理。目前暂态稳定分析的基本方法可以分为两类。一类是数值解法，在列出描述系统暂态过程的微分方程和代数方程组后，应用各种数值积分方法进行求解，然后根据发电机转子间相对角度的变化情况来判断稳定性。另一类是直接法，其中有些方法是对李雅普诺夫直接法进行近似处理后发展而成的实用方法，有的则是将简单系统中的稳定判别方法推广应用于多机电力系统。数值解法是目前广泛应用的分析方法，已发展得比较成熟，并基本上能满足电力系统规划、设计和运行过程中所进行的离线暂态稳定分析对计算速度和精度的要求。直接法由于所采用的数学模型比较粗略，其计算结果的精度尚不令人满意。暂态稳定分析的一个重要方面是对电力系统进行在线动态安全评价。即在运行过程中，针对当时的系统运行方式，对某些预想事故或扰动下的暂态稳定性作出判断，以评价系统运行的安全性。与离线暂态稳定分析相比，在线动态安全评价要求有更快的计算速度。目前国外已有几个系统试用或准备试用不同的直接法，以进行动态安全评价，但其计算速度和精度都还不够理想。此外，还有动态安全域和模式识别法进行在线动态安全评价的方法，但它们离实际应用还有一定距离。近年来，应用专家系统和人工神经网络于动态安全评价的研究工作正在兴起。第二节 暂态稳定分析的数值解法 一、全系统数学模型的组成 实际系统的运行经验表明，在一般情况下失去暂态稳定的过程发展比较迅速，通常根据扰动后1秒左右(即第一个摇摆周期)或几秒钟(开始几个摇摆周期)内发电机转子间相对角度的变化情况，便可以判断系统是否稳定。因此，从50年代中期开始，大量研究工作主要针对如何计算扰动后这段短时间内系统的机电暂态过程，包括元件所采用的数学模型、网络求解和数值积分方法的研究。到70年代中期，这类数值解法已经相当成熟，并已开发出不少适合于工程应用的计算程序。由于所计算的暂态过程持续时间较短，因而对于交流系统，通常只考虑发电机及其励磁系统、原动机及其调速系统以及负荷特性等对暂态稳定性的影响。这些元件在机电暂态过程中的相互关系如图所示。为简单起见，图中只画出具有代表性的一个发电机组和两个采用不同数学模型的负荷。在忽略发电机定子绕组和电网中电磁暂态过程影响的情况下，由第一章中所介绍的各元件数学模型和上页图3-2所示各元件间的相互关系，可列出描述全系统暂态过程的微分方程和代数方程组，一般形式为：px=f(x,y)g(x,y)=0 微分方程由下列各部分组成：(1)各发电机暂态和次暂态电势变化的微分方程 (2)各发电机的转子运动方程式。(3)各发电机励磁系统暂态过程的微分方程。(由传递函数框图决定。)(4)各原动机及调速系统暂态过程的微分方程。(由传递函数框图决定。）(5)负荷中感应电动机的暂态过程方程式。(转子运动及暂态电势变化方程。)微分方程式的状态向量x中包括：各发电机的 各励磁系统与传递函数框图相对应的微分方程中的有关状态变量；各原动机的Pm、m m 和调速系统与传递函数框图相对应的微分方程中的有关状态变量；各感应电动机的s和 。代数方程包括：(1)网络方程式。用以描述在同步旋转坐标参考轴x、y下，各节点电压、电流之间的关系。(2)各发电机定子绕组电压平衡方程式。(3)对于用静态特性模拟的负荷，其功率与节点电压之间的关系式(1-137)；对于综合负荷中的感应电动机，计算电磁转矩、机械转矩、等值阻抗或者定子电流的方程式。总之：微分方程式的组成与所考虑的元件种类和元件数学模型的精确程度有关。代数方程式有时仅为网络方程式，其它代数方程则通过直接计算或者在形成微分方程式时加以适当处理。在暂态稳定计算中，对于微分方程和代数方程需特别指出以下几点：（1）微分方程和代数方程的组成及其中的函数关系式在整个暂态过程中可能发生变化。例如，在切除输电设备、发生短路故障、故障元件的清除、线路自动重合、串联电容的强行补偿以及制动电阻的投入或退出等情况下，由于网络的结构或参数发生变化，使网络方程发生相应的变化。又如，当切除发电机、投入强励或灭磁以及进行汽门快速控制时，有关发电机和调节系统的结构或参数将发生变化，从而使微分方程发生相应的变化。上述各种情况统称为“故障或操作”，其中某些情况在暂态过程中可能相继发生。在暂态稳定计算中，对于微分方程和代数方程需特别指出以下几点：（1）微分方程和代数方程的组成及其中的函数关系式在整个暂态过程中可能发生变化。例如，在切除输电设备、发生短路故障、故障元件的清除、线路自动重合、串联电容的强行补偿以及制动电阻的投入或退出等情况下，由于网络的结构或参数发生变化，使网络方程发生相应的变化。又如，当切除发电机、投入强励或灭磁以及进行汽门快速控制时，有关发电机和调节系统的结构或参数将发生变化，从而使微分方程发生相应的变化。上述各种情况统称为“故障或操作”，其中某些情况在暂态过程中可能相继发生。另外，由于在调节系统中存在各种限制环节，在计算过程中当有关变量超出下界或上界时，它们将被限制在其下界或上界处，直至变量重新回到其上、下界范围以内为止。上述各种因素将造成暂态过程计算中微分方程和代数方程的不连续性，在计算方法和程序中应加以考虑和处理。（2）由于忽略网络中的电磁暂态过程，各节点的电压、电流以及发电机和负荷的功率，在网络故障或操作瞬间将发生突变，但状态变量 x 则是连续变化的。为此，在发生故障或操作后，需要根据故障或操作瞬间 x 的取值重新求解网络方程或整个代数方程式。（3）各发电机和负荷只通过网络相互影响，它们之间无直接联系。因此，微分方程式在各个发电机和各个负荷感应电动机之间没有直接耦合关系。二、微分方程和代数方程组的求解方法 应用数值解法计算暂态稳定时，在每一个积分步长内必须同时求解微分方程和代数方程，这就需要在一般单纯求解微分方程组的数值积分方法基础上加以扩展。为此有两种不同的方法：交替求解法和联立求解法。(一)交替求解法 当微分方程的数值解采用显式积分方法时，交替求解法的原理和过程比较简单。以显式欧拉法为例，对于时刻t 到t+t 的积分步长来说，在t时刻的x(t)和y(t)是已知量，这样，计算步骤为：(1)对微分方程式(3-1)应用欧拉公式计算x(t+t)，即 x(t+t)=x(t)+t.fx(t),y(t)(2)应用x(t+t)求解代数方程式(3-2)，即求解 gx(t+t),y(t+t)=0 从而得出y(t+t)这样便求出了t+t 时刻的x(t+t)和y(t+t)，它们将用于下一个积分步长的计算。当采用隐式积分方法求解微分方程式时，交替求解法的计算过程要复杂得多。以梯形积分法为例，上述步长内的积分公式为：(3-5)显然式(3-5)中的x(t)和y(t)已知，但y(t+t)未知，它通过代数方程式g(x,y)=0依赖于x(t+t)，从而使上式不能单独求解。一种可行的方法是应用迭代法对式(3-5)和式(3-2)进行交替迭代求解，其步骤为：(1)给定y(t+t)的初始估计值y(0)(t+t)，应用式(3-5)求解x(t+t)的估计值x(0)(t+t)，即求解方程 (2)用所得出的x(0)(t+t)求解代数方程式(3-2)，即 求解 gx(0)(t+t),y(1)(t+t)=0 得出y(t+t)新的估计值y(1)(t+t)。(3)以y(1)(t+t)代替初始估计值y(0)(t+t)，返回第(1)步，并反复迭代，直至收敛。这样便可得出 t+t 时刻的x(t+t)和y(t+t)，它同时满足梯形积分式(3-5)和代数方程式(3-2)。交替求解法是目前暂态稳定分析所采用的主要方法，其中微分方程的数值积分方法和代数方程的求解方法原则上可以分别进行选择。数值积分方法的选取主要应考虑方法的计算速度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的适应性。已经研究和使用过的方法很多，包括显式欧拉法、改进欧拉法、显式龙格库塔法、隐式梯形积分法、预测校正法和隐式多步法等，它们各自有不同的特点。目前一般认为隐式梯形积分法对于计算速度、精度、数值稳定性和对刚性微分方程组的适应性等要求都较为满意，并且在发生不连续时无需重新起步。代数方程式的求解主要是解网络方程，所使用过的方法有直接解法、高斯塞德尔迭代法、阻抗矩阵迭代法、导纳矩阵迭代法和牛顿迭代法。由于矩阵稀疏三角分解技巧的发展，导纳矩阵迭代法目前应用比较广泛。