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    数学分析第十七章ppt课件隐函数存在性定理.ppt

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    数学分析第十七章ppt课件隐函数存在性定理.ppt

    第十七章第十七章 隐函数存在定理隐函数存在定理 前面关于隐函数(组)的微分法都假定:隐函数存在,且它们的导数或偏导数也存在。本章:存在性问题及连续性、可微性。1优秀课件,精彩无限!1 单个方程的情况曲面与面的交线唯一确定隐函数曲面必须与相交 (1)连续 (1)连续曲线存在,使(2)可微(2)存在切线 交线2优秀课件,精彩无限!曲面 在点有切平面且切平面的法线不平行于轴(即切平面不是平面)切平面的法向量为与不共线(即 不能同时为零)交线 存在切线 ,意味着一元函数的可微性,也要求3优秀课件,精彩无限!定理17.1:设满足下列条件:在 D:,上连续(3)(1)(2)4优秀课件,精彩无限!则则使得在点的某一邻域内,方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函数,定义在内满足,且(2)在上连续在有连续的导数,且(3)(1)存在5优秀课件,精彩无限!条件(1)在D连续条件(3)不妨设对每个关于严格单调上升,特别固定严格单调上升又,所以要证(1):有任意 使在D(不妨设),证明:证明:6优秀课件,精彩无限!取故对任意 ,关于连续且 唯一7优秀课件,精彩无限!则则:(1)存在使得在点的某一邻域内,方程唯一地确定一个定义在区间内的隐函数,定义在内满足 且(2)在上连续(证明略)在有连续的导数,且(3)(证明略)可将条件(3)改为,结论应改为?8优秀课件,精彩无限!例例1 1方程能否在原点的某邻域内确定隐函数或?9优秀课件,精彩无限!解:令则,他们都在全平面上连续,而故方程在点的邻域内可唯一地确定可微的隐函数它定义在,使得,但由于,据此无法断定是否在点的某邻域内存在。,。有隐函数10优秀课件,精彩无限!例例2。由知,当,确定可微的隐函数上任何在这个邻域内可唯一11优秀课件,精彩无限!定理定理17.217.2满足下列条件:,(ii);(iii)则则(i)偏导数设函数.12优秀课件,精彩无限!1.存在的一个邻域,使得在点的某邻域内,方程唯一地确定了一个定义在的元隐函数,满足。换句话说,存在函数,使得当时;且;13优秀课件,精彩无限!(2)内连续;内有连续的偏导数,且,.(3)14优秀课件,精彩无限!例例3 3 设,问方程是否在原点地确定可微函数,其中属于某个领域,使得.如可能,求的某邻域唯一点的解:令.显然的偏导数,且 ,由,知,存在,使得在有唯一的可微函数,满足:在全平面有连续15优秀课件,精彩无限!,.且16优秀课件,精彩无限!第第2 2节节 方程组的情况方程组的情况问题:由 能否唯一确定17优秀课件,精彩无限!定理定理17.317.3的某个领域元有一阶连续偏导数;(初始条件);则则(ii)(i)在点(iii)设函数满足:内F,G对各变.18优秀课件,精彩无限!(1)在点的某个邻域内,方程组唯一地确定一组函数,它们定义在的某邻域D内,当满足,且 ;(1),19优秀课件,精彩无限!(2)(3),且,20优秀课件,精彩无限!注:条件(iii)在定理中的地位和作用与定理定理17.117.1中的条件的地位和作用相当,它对于隐函数组的存在性、连续性和可微性都是重要的。另外,结论(3)中公式的推导方法就是我们在第十六章第2节中介绍的隐函数组求导法,因此公式不必死2记硬背,重要的是掌握求导方法。21优秀课件,精彩无限!例例1.1.设有方程组讨论在的某邻域能否确定隐函数组.又问在点的某邻域能否确定函对确定的函数组求其偏导数。数组22优秀课件,精彩无限!解解:显然F,G在全平面上有连续的偏导数。又,23优秀课件,精彩无限!因此在,但在点的附近难言是否可唯一确定.求函数点的某邻域方程组可以唯一地确定一组可微函数函数组和数,在方程组两边对的偏导求偏导数,得:.在方程组两边对求偏导数得:,解得24优秀课件,精彩无限!定理17.4 设函数组 (6)满足:的某邻域D内对有连续偏导数;,(iii).,解得:(i)在(ii);25优秀课件,精彩无限!则在的某邻域内存在唯一的一组反函数使得,且当 (1)有,.,其中.26优秀课件,精彩无限!推论推论1 1 在定理17.4的条件下有27优秀课件,精彩无限!例例2.2.极坐标与直角坐标的变换为因为所以除即坐标原点,外,变换的逆变换存在,即有28优秀课件,精彩无限!内容小结隐函数存在性定理 隐函数的连续性隐函数的可微性隐函数的求导方法29优秀课件,精彩无限!习题1、设函数在点(u,v)的某一邻域内有连续的偏导数,且在与点(u,v)对应的点唯一确定一组单值、连续且具有证明:函数组(x,y)的某一邻域内连续偏导数的反函数30优秀课件,精彩无限!解:,则有由定理可知结论 成立式两边对 x 求导,得2)求反函数的偏导数.31优秀课件,精彩无限!从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得32优秀课件,精彩无限!2 2、验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解:令则连续;由定理可知,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数33优秀课件,精彩无限!、试讨论方程组在点的附近能否确定形如的隐函数、求下列函数组的反函数组的偏导数;34优秀课件,精彩无限!补充题分别由下列两式确定:又函数有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得(2001考研考研)解得因此35优秀课件,精彩无限!2.设是由方程和所确定的函数,求解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得(99考研考研)36优秀课件,精彩无限!作业P231页,2,3,5P239页,3,6,7,8,1137优秀课件,精彩无限!

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