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数学数学5 第二章第二章 数列数列2.3 等差数列等差数列 的前的前n项和项和(一一)复习回顾复习回顾等差数列通项公式等差数列通项公式:1.1.若若，则，则等差数列的定义：等差数列的定义：等差数列性质等差数列性质:1+2+3+100=？能不能迅速算出呢？能不能迅速算出呢？高斯的故事高斯的故事问题问题:高高 斯斯 的的 故故 事事数学王子高斯，德国著名数学家、数学王子高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学物理学家、天文学家、大地测量学家。家。高斯上小学时，有一次数学老高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出师给同学们出了一道了一道 题：计算从题：计算从1到到100的自然数之和。那个的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，老师，我做完了。我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上写着写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他。鼓励他，老师买了一本数学书送给他。高斯的算法实际上解决了求等差数列高斯的算法实际上解决了求等差数列 1 ,2 ,3 ,n ,前前100项和的问题项和的问题.探究发现探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？借助几何图形之直观性，熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。探究发现问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？123212120191获得算法：如如何何快速计算快速计算 1 12 23 3n=n=？(1)将不同数求和化归为相同数求和将不同数求和化归为相同数求和记记:S=1+2 +3 +(n-1)+n S=n+(n-1)+(n-2)+2 +1上述求解过程带给我们什么启示？上述求解过程带给我们什么启示？(2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示所求的和可以用首项、末项及项数来表示问题问题:1.等差数列前等差数列前n项和的概念项和的概念探探究究高斯的算法妙处在哪里高斯的算法妙处在哪里?这种方法能够推这种方法能够推广到一般等差数列的前广到一般等差数列的前n项和吗项和吗?一、等差数列前一、等差数列前n项和公式项和公式我们把我们把 a1a2 a3 an 叫做叫做数列数列 an 的前的前n项和，记作项和，记作Sn即即:Sn=a1a2 a3 an(2)注注:(1)求和方法:倒序求和法倒序求和法公式记忆 对于这个公式，我们知道：只要已知等差数列首项、对于这个公式，我们知道：只要已知等差数列首项、末项和项数就可以求等差数列的前末项和项数就可以求等差数列的前n项和了项和了.除此之外，等差数列还有其他的方法：除此之外，等差数列还有其他的方法：注意：对于这两个公式分别有四个未知数，如果已知其中的任注意：对于这两个公式分别有四个未知数，如果已知其中的任何三个可以求另外一个。何三个可以求另外一个。第一个公式反映了等差数列的任意的第第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第项与倒数第k项的和项的和等于首项与末项的和这个内在性质等于首项与末项的和这个内在性质第二个公式反映了等差数列的前第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于的关系，而且是关于n的的“二次函数二次函数”，可以与二次函数进行，可以与二次函数进行比较。比较。这两个公式的共同点都是知道这两个公式的共同点都是知道 和和n，不同点是第一个公式还，不同点是第一个公式还需知道需知道 ，而第二个公式是要知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。条件决定选用哪个公式。例例例例1 1等差数列前等差数列前n项和的有关计算：项和的有关计算：2000年年11月月14日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学实关于在中小学实施施“校校通校校通”工程的通知工程的通知.某市据此提出了实施某市据此提出了实施“校校校通校通”工程的总目标：从工程的总目标：从2001年起用年起用10年时间，在全年时间，在全市中市中小学建成不同标准的校园网小学建成不同标准的校园网.据测算，据测算，2001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经费为工程的经费为500万元万元.为了保证工程的顺为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元万元.那么从那么从2001年起的未来年起的未来10年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工工程中的总投入是多少？程中的总投入是多少？例例例例2 21.先先认真认真阅读题目；阅读题目；2.提取有用信息，构提取有用信息，构建建等差数列模型；等差数列模型；3.写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项项和公式进行求解。和公式进行求解。例例例例3 3思考思考思考思考D四川省德阳东电中学四川省德阳东电中学 邓海波邓海波
