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第七章图与网络理论1第1页，本讲稿共84页第一节图的基本概念 所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V=v1,v2,vn，边的集合记为，边的集合记为E=e1,e2,em ，vi称为图的称为图的顶点，顶点，ej称为图的边，若边称为图的边，若边ej联结联结vs和和vt，则记为，则记为(vs,vt)，即，即ej=(vs,vt)。则图可以表示为：则图可以表示为：G=(V,E)，点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。图相同。2第2页，本讲稿共84页有些图的边带有方向，这样的图称为有向图。而边不带方向的图称为无向图。图7.7是一个无向图。图7.8是一个有向图。v1v5v2v3v4e1e2e3e4e6e5e7图7.7图7.83第3页，本讲稿共84页 在一个图中，若e=(u,v)，则称u,v是边e的端点并u,v称相邻称e是点u（v及点）的关联边。若边ei,ej有一个公共的端点u，称边ei,ej相邻。若边e的两个端点是同一顶点，则称此边为环。若两顶点之间有多于一条的边，则这些边称为多重边。如图7.7中，e7是环，e1,e2是多重边。一个不含环和多重边的图称为简单图。含有多重边的图称为多重图。我们这里所说的图，如不特别指明，都是简单图。4第4页，本讲稿共84页 以点v为端点的边的条数称为点v的度，记作d(v),如图7.7中d(v1)=3,d(v3)=1。度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。不难证明：在一个图中，顶点度数的总和等于边数的倍，奇顶点的个数必为偶数。链：链：由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列;如如:v0,e1,v1,e2,v2,e3,v3,vn-1,en,vn;v0,vn分别为链的起点和终点；分别为链的起点和终点；简单链：简单链：链中所含的边均不相同；链中所含的边均不相同；初等链：初等链：链中所含的点均不相同；链中所含的点均不相同；圈：圈：在链中，若在链中，若 v0=vn 则称该链为圈；则称该链为圈；连通图：连通图：图中任意两点之间均至少有一图中任意两点之间均至少有一 条链相连条链相连，5第5页，本讲稿共84页第二节树 树是一类结构简单而又十分有用的图。一个不含圈的连通图称为树。设图T=(V,E)，含有n个顶点，则下列命题是等价的。（1）T是树。（2）T的任意两顶点之间，有唯一的链相连。（3）T连通且有n1条边。（4）T无圈且有n1条边。（5）T无圈但添加一条边得唯一一圈。（6）T连通但去掉一条边则不连通。6第6页，本讲稿共84页 给定图给定图G=(V,E)，若，若V V,E E，并，并且且E中的边的端点都属于中的边的端点都属于V ，则称，则称G=(V,E)是是G的一个子图。特别地，若的一个子图。特别地，若V=V，则，则称称G为为G的支撑子图。的支撑子图。设设T是图是图G的一个支撑子图，若的一个支撑子图，若T是一树，是一树，则称则称T是是G的一个支撑树。的一个支撑树。给定图给定图G=(V,E),对于对于G的每一条边，可的每一条边，可赋以一个实数赋以一个实数w(e)，称为边，称为边e的权，图的权，图G连同连同它边上的权称为赋权图。赋权图在图论的应用它边上的权称为赋权图。赋权图在图论的应用中经常出现。根据实际问题的需要，权可以有中经常出现。根据实际问题的需要，权可以有不同的实际含义，它可以表示距离、流量、时不同的实际含义，它可以表示距离、流量、时间、费用等。间、费用等。7第7页，本讲稿共84页 给定图给定图G=(V,E),设设T=(V,E)是是G的一的一个支撑树，定义树个支撑树，定义树T的权为的权为即支撑树T上所有边的权的总和。图G的最小支撑树就是图G中权最小的支撑树。求图G的最小支撑树的方法是建立在求图G的支撑树基础上，只需在求图G的支撑树的算法再加适当限制。因此，求最小支撑树方法也有相应的破圈法；避圈法。8第8页，本讲稿共84页例2分别用破圈法，避圈法求图7.17的最小支撑树。图7.17v1v5v2v3v42v6v7v834346236645859第9页，本讲稿共84页v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585解破圈法10第10页，本讲稿共84页v1v5v2v3v42v6v7v83434623664585避圈法：11第11页，本讲稿共84页第三节最短路问题 最短路问题，一般来说就是从给定的赋权图中，寻找两点之间权最小的链（链的权即链中所有边的权之和）。许多优化问题都需要求图的最短路，如选址、管道铺设、设备更新、整数规划等问题。由于所求问题不同，需要使用不同的方法。下面我们介绍常用的算法。一、Dijkstra算法 Dijkstra算法是求赋权有向图中，某两点之间最短路的算法。实际上，它可以求某一点到其它各点的最短路。它是Dijkstra于1959年提出。目前被认为是求非负权最短路的最好的算法。12第12页，本讲稿共84页 Dijkstra算法的基本思想是基于以下原理：若算法的基本思想是基于以下原理：若vs,vl,vj是是vs到到vj的最短路，的最短路，vi是此路中某一点，则是此路中某一点，则vs,vl,vi必是从必是从vs到到vi的最短路。此算法的基本步的最短路。此算法的基本步骤是采用标号法，给图骤是采用标号法，给图G每一个顶点一个标号。标每一个顶点一个标号。标号分两种：一种是号分两种：一种是T标号，一种是标号，一种是P标号。标号。T标号也标号也称临时标号，它表示从称临时标号，它表示从vs到这一点的最短路长度的到这一点的最短路长度的一个上界，一个上界，P标号也称固定标号，它表示从标号也称固定标号，它表示从vs到这一到这一点的最短路的长度（这里最短路长度是指这条路上个点的最短路的长度（这里最短路长度是指这条路上个边权的和）。算法每一步都把某点的边权的和）。算法每一步都把某点的T标号改变为标号改变为P标标号。当终点得到号。当终点得到P标号，算法结束。若要求某点到其标号，算法结束。若要求某点到其它各点的最短路，则最多经过它各点的最短路，则最多经过n-1步算法结束。步算法结束。13第13页，本讲稿共84页设设lij表示表示边边(vi,vj)的的权权，则则Dijkstra算法步算法步骤骤如下：如下：（1）给给始点以始点以P标标号号P（0,0），），给给其它各点其它各点vj以以T标标号号T(dj,v1)，其中，其中，dj=l1j，（若，（若vj与与v1不相不相邻邻，则则令令l1j=+）。）。（2）在所有）在所有T标标号点中，若号点中，若vk的的T标标号最小，号最小，则则把把vk的的T标标号改号改为为P标标号号。若最小的若最小的T标标号不止一个，号不止一个，则则可任取一个改可任取一个改为为P标标号。号。（3）修改所有T标号T(dj,vt)；dj=min dj,dk+lk j,若dk+lk jdj vt=vk否则不变。（4）当终点或全部顶点都得到P标号，算法结束，否则返回（2）。14第14页，本讲稿共84页例3求图7.20中，v1到v8的最短路。图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v8983834256767109415第15页，本讲稿共84页图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解 P(0,0)T(9,v1)T(3,v1)T(8,v1)16第16页，本讲稿共84页图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解 P(0,0)T(9,v1)T(7,v3)T(3,v1)T(8,v1)P(3,v1)17第17页，本讲稿共84页图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解 P(0,0)T(9,v1)T(7,v3)T(8,v1)P(3,v1)P(7,v3)T(14,v6)T(16,v6)18第18页，本讲稿共84页图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解 P(0,0)T(9,v1)T(8,v1)P(3,v1)P(7,v3)T(14,v6)P(9,v1)P(8,v1)T(17,v2)T(16,v6)19第19页，本讲稿共84页图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解 P(0,0)P(3,v1)P(17,v2)P(7,v3)T(14,v6)P(9,v1)P(8,v1)T(17,v2)T(16,v6)P(14,v6)P(16,v6)20第20页，本讲稿共84页图 7.20v4v2v1v3v6v5v7v89838342567671094解 P(0,0)P(3,v1)P(17,v2)P(7,v3)P(9,v1)P(8,v1)P(14,v6)P(16,v6)21第21页，本讲稿共84页例4 求图7.22中，v1到其它各点的最短路。图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498Dijkstra算法同样可用于求无向图的最短路。22第22页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)T(3,v1)T(4,v1)T(2,v1)23第23页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)T(3,v1)T(4,v1)T(2,v1)P(2,v1)T(7,v4)T(3,v4)P(3,v1)T(8,v2)T(9,v2)24第24页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)T(3,v4)P(3,v1)T(8,v2)T(9,v2)P(3,v4)T(6,v3)25第25页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)P(3,v1)T(8,v2)P(3,v4)T(6,v3)P(6,v3)T(7,v6)T(15,v6)26第26页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)P(2,v1)T(7,v4)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)T(7,v6)P(7,v6)T(15,v6)T(11,v5)P(7,v4)27第27页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)P(2,v1)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)P(7,v6)T(11,v5)P(7,v4)P(11,v5)28第28页，本讲稿共84页图 7.22v4v2v1v3v6v5v7v8354263441517498解 P(0,0)P(2,v1)P(3,v1)P(3,v4)P(6,v3)P(7,v6)P(7,v4)P(11,v5)29第29页，本讲稿共84页二、逐次逼近法 前面介绍的Dijkstra 算法，只适用于权为非负的赋权图中求最短路问题。逐次逼近法可用于存在负权，但无负有向回路的赋权图的最短路问题。因为，如果dj是从v1到vj的最短路的长度，而这从条最短路的最后一条边为(vk,vj)，则从v1到vj的最短路中，从v1到vk这一段，必然也是从v1到vk的最短路。若其长度记为dk，lk j表示边(vk,vj)的权，那么dj，dk和lk j应满足下列方程：30第30页，本讲稿共84页 逐次逼近法就是用迭代方法解这个方程。第一次逼近是找点v1到点vj由一条边所组成的最短路，其长记为dj(1)；第二次逼近是求从v1到点vj不多于两条边组成的最短路，其长记为dj(2)；以此类推，第m次逼近是求从v1到vj不多于m条边组成的最短路，其长记为dj(m)。因为图中，不含负有向回路，所以从v1到vj的最短路上最多有n-1条边。从而可知，最多做n-1次逼近就可求出从v1到vj的最短路。31第31页，本讲稿共84页逐次逼近法步逐次逼近法步骤骤如下：如下：(1)首先令首先令dj(1)=l1j(j=1,2,n)，若，若v1 与与vj之之间间无无边时边时，lij=+，而，而ljj=0；(3)若若对对所有的所有的j，有，有dj(m)=dj(m-1)，则计则计算算结结束，束，dj(m)(j=1,2,n)即即为为v1到其它各点的到其它各点的最短路的最短路的长长度，否度，否则则返回（返回（2）。）。32第32页，本讲稿共84页例例4求下图中，求下图中，v1到其它各点的最短路。到其它各点的最短路。v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v233第33页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202634第34页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v2026035第35页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v20260236第36页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 2537第37页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 251038第38页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 2510939第39页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 2510940第40页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 251090251081041第41页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 2510902510810025108942第42页，本讲稿共84页 v1 1 3 9 5 3 83 6 2v6 v5 v3 v4 v202602 25109025108100251089025108943第43页，本讲稿共84页例例5求图求图7.24中，中，v1到其它各点的最短路。到其它各点的最短路。图7.24v1v2v3v4v5v6v7v834-14-22545-3-2-435444第44页，本讲稿共84页jilijdj(1)dj(2)dj(3)dj(4)dj(5)dj(6)v1v2v3v4v5v6v7v8v1034000000v20-1-24333333v305422222v4204511111v50-2375555v6045333v7-3-40597777v801087745第45页，本讲稿共84页第四节最大流问题 给定一个有向图G=(V,E)，每条边(vi,vj)给定一个非负数cij称为边(vi,vj)容量。假设G中只有一个入度为零的点vs称为发点，只有一个出度为零的点vt称为收点，其余点称为中间点，这样的有向图称为容量网络，记为G=(V,E,C)。46第46页，本讲稿共84页 例如图7.25就是一个容量网络。如果vs表示油田，vt表示炼油厂，图7.25表示从油田到炼油厂的输油管道网。边上的数字表示该管道的最大输油能力，中间点表示输油泵站。现在要问如何安排各管道输油量，才能使从vs到vt输油量最大？这就是本节所要介绍的最大流问题。图 7.25v1v2v3v4vsvt54142537847第47页，本讲稿共84页一、基本概念 给定一个容量网络G=(V,E,C)，所谓网络G上的流，是指每条边(vi,vj)上确定的一个数f(vi,vj)，简记为fij，称集合f=fij为网络G上的一个流。如果网络G表示一个输油管道网，则cij表示管道输油能力，而fij表示管道当前的实际流量，因此应有0fijcij，即管道中的流量不能超过该管道的最大通过能力（即管道的容量）。对网络G上的中间点表示一个转送泵站，因此对中间点运出的总量与运进的总量应当相等。而对于发点的净流出量和收点的净流入量必相等，并且就是该运输方案的总输送量。48第48页，本讲稿共84页容量网络G=(V,E,C)中的一个流f=fij满足下列条件，称f为可行流。（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj)，有 0fijcij。（2）平衡条件：对于中间点vi，有（即流出量流入量）。对于收点vt与发点vs，有（即从vs的净输出量与vt的净输入量相等）。W称为可行流f的流量。可行流总是存在的，当所有边的流量fij=0时，就得到一个可行流，它的流量W=0。最大流问题就是在容量网络中，寻找流量最大的可行流。49第49页，本讲稿共84页 对于容量网络G给定一个可行流f=fij，当fij=cij时，称边(vi,vj)为饱和边，当fij 0时，称边(vi,vj)为非零流边。设设是网是网络络G中一条中一条联结发联结发点点vs和收点和收点vt的的链链。我我们规们规定定的正方向从的正方向从vs到到vt，则链则链上的上的边边被分被分为为两两类类：一：一类类是是边边的方向与的方向与链链的正方向一致，的正方向一致，称它称它们为们为前向前向边边，上上前向上上前向边边的全体的全体记为记为+。另一另一类边类边与与链链的正方向相反，称它的正方向相反，称它们为们为后向后向边边，上后向上后向边边的全体的全体记为记为-。50第50页，本讲稿共84页v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图 7.26例如，在图7.26中，其边上的两个数字分别表示边的容量和流量，即(cij,fij)。(v2,v5)为饱和边，(vs,v1)为非饱和边，并且(v2,v5)，(vs,v1)均为非零流边，(v3,v5)是零流边。51第51页，本讲稿共84页例如例如图图7.26中，在中，在联结联结vs和和vt的的链链=vs,v1,v2,v5,vt中，中，(vs,v1)，(v2,v5)，(v5,vt)为为前向前向边边，(v1,v2)为为后向后向边边。即即+=(vs,v1)，(v2,v5)，(v5,vt)，-=(v1,v2)。v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图 7.2652第52页，本讲稿共84页设设f是网是网络络G上的一个可行流，上的一个可行流，是从是从vs到到vt的一条的一条链链，若，若对对上的任意一条上的任意一条边边(vi,vj)有有若若(vi,vj)+，则则0 fijcij，即，即+中每一中每一边边是非是非饱饱和和边边。若若(vi,vj)-，则则0fij cij，即，即-中每一中每一边边是非零流是非零流边边。则则称称是一条是一条增广增广链链。53第53页，本讲稿共84页例如例如图图7.26中，中，链链=vs,v1,v2,v3,v5,vt就是一条增广就是一条增广链链，因，因为为+=(vs,v1)，(v2,v3)，(v3,v5)，(v5,vt)中的中的边边均均为为非非饱饱和和边边，而，而-=(v1,v2)中的中的边为边为非零流非零流边边。v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图 7.2654第54页，本讲稿共84页对于给定的网络G=(V,E,C)，设S,TV，并且ST=V，ST=，vs S，vt T，以S中点为始点，以T中点为终点的边的集合，称为G的割集，记为(S,T)。割集(S,T)中所有边的容量之和称为割集(S,T)的容量，记为C(S,T)，即55第55页，本讲稿共84页例如图7.26中,设S1=vs，T 1=v1,v2,v3,v4,v5,vt，则(S1,T1)=(vs,v1)，(vs,v2)，其容量为C(S1,T1)=22。设S2=vs,v1，T 2=v2,v3,v4,v5,vt则(S2,T2)=(vs,v2)，(v1,v4)，其容量为C(S2,T2)=20。v1v2v3v4v5vsvt(13,7)(5,5)(9,9)(4,4)(6,6)(5,2)(5,0)(4,0)(5,5)(4,4)(9,7)(10,5)图 7.2656第56页，本讲稿共84页 如果从网络G中去掉割集(S,T)中的边，从vs就没有路可以到达vt。对于网络G，它有许多割集，我们可以找到容量最小割集。而网络G的最大流量一定不会超过容量最小割集的容量，称网络G中容量最小的割集为G的最小割集。如果把网络G看成各种粗细不同的管道网，而最小割集就相当于管道网中最细管道部分的总和。二、最大流最小割集定理 由上面例子可知，如果找到网络G的一个可行流，其流量等于网络G的最小割集容量，则该可行流一定是最大流。下面最大流最小割集定理就是要说明这一点。57第57页，本讲稿共84页定理定理1可行流可行流f*是最大流当且是最大流当且仅仅当当G中不存在关于中不存在关于f*的增广的增广链链。推推论论在任意一个容量网在任意一个容量网络络中，最大流的流量等于最小中，最大流的流量等于最小割集的容量。割集的容量。三、求最大流的标号算法三、求最大流的标号算法由上面定理由上面定理1可知可行流可知可行流f是否是最大流，关是否是最大流，关键键看网看网络络G中是否存在关于可行流中是否存在关于可行流f的增广的增广链链，定理，定理1的的证证明明过过程程为为我我们们提供了提供了寻寻找增广找增广链链的方法及改的方法及改进进可行流可行流f的方法。的方法。如果在网如果在网络络G中存在关于可行流中存在关于可行流f的增广的增广链链（从（从vs到到vt），），则则可按定理可按定理1证证明中所明中所给给的方法修改可行流的方法修改可行流f，得到一个，得到一个新的可行流新的可行流f，而，而f 的流量大于的流量大于f的流量。如果在的流量。如果在G中不中不存在关于可行流存在关于可行流f的增广的增广链链，则则可行流可行流f就是最大流。就是最大流。寻寻找关于可行流找关于可行流f的增广的增广链链可按下面介可按下面介绍绍的的标标号法来号法来实现实现。58第58页，本讲稿共84页求网求网络络G的最大流的的最大流的标标号法分号法分为为两步，第两步，第1步是步是标标号号过过程，通程，通过标过标号号寻寻找增广找增广链链；第；第2步是步是调调整整过过程，沿增广程，沿增广链链个性可行流个性可行流f的流量。的流量。设设f是网是网络络G上的可行流（初始可行流可取零流上的可行流（初始可行流可取零流f=fij=0）。）。1标标号号过过程程（1）首先）首先给发给发点点vs标标号号(0,+)。（2）选择选择一个已一个已标标号的号的顶顶点点vi，对对所有与所有与vi相相邻邻而而没有没有标标号的号的顶顶点点vj按下列按下列规则处规则处理。理。（a）若）若(vi,vj)E，并且，并且fij0，则给顶则给顶点点vj以以标标号号(i,j)，其中，其中j=mini,cij-fji。59第59页，本讲稿共84页重复重复过过程（程（2），可能出），可能出现现两种两种结结果，其一是果，其一是终终点点vt得到得到标标号，号，说说明存在一条增广明存在一条增广链链，则转则转到到调调整整过过程，其程，其二是二是终终点点vt不能不能获获得得标标号，号，说说明不存在增广明不存在增广链链，这时这时可可行流行流f即即为为最大流。最大流。2调调整整过过程程首先按首先按终终点点vt及其它及其它顶顶点的第一个点的第一个标标号，用反向追踪号，用反向追踪法在网法在网络络中找出增广中找出增广链链。例如。例如设终设终点点vt的第一个的第一个标标号号为为k，则则(vk,vt)是增广是增广链链上的上的边边，然后根据，然后根据vk的第一个的第一个标标号，找到下一个号，找到下一个顶顶点，即若点，即若vk的第一个的第一个标标号号为为j，则则(vj,vk)（或者（或者(vk,vj)）是增广）是增广链链上的上的边边，直到用此方法找，直到用此方法找到到vs为为止。止。这时这时就得到一条从就得到一条从vs到到vt的增广的增广链链。最。最后按下式修改可行流后按下式修改可行流f。60第60页，本讲稿共84页调整结束后，去掉所有标号，返回标号过程重新进行标号过程。令61第61页，本讲稿共84页例10用标号法求下图中从vs到vt的最大流。vsvt v4 v2 v3 v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)62第62页，本讲稿共84页解（I）标号过程（1）首先给发点）首先给发点vs标以标以(0,+).vsvt v4 v2 v3 v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+)63第63页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+)（2）检查检查与与vs相相邻邻的的顶顶点点v1，v2，因，因为为(vs,v1)E，并且，并且fs1=40，所以，所以v2可以获得标号可以获得标号(v1,2)，其中，其中2=min1,f21=min9,3=3。因因为为(v1,v4)E，并且，并且f14=0c14=4，所以，所以v4可以可以获获得得标标号号(v1,4)，其中，其中4=min9,4-0=4。因。因为为(v1,v3)E，但，但f13=c13，所以，所以v3不能不能标标号。号。(vs,11)(v1,3)(v1,4)65第65页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+)（4）检查检查与与v2相相邻邻且没有标号且没有标号的的顶顶点点v3，因为因为(v2,v3)E，并且并且f23=1c23=5，所以，所以v3可以可以获获得得标标号号(v2,3)，其中，其中3 min2,c23-f23=min3,5-1=3。(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)66第66页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)（5）由于与）由于与v3相相邻邻且没有且没有标标号的号的顶顶点点为为vt，并且，并且vt也与已也与已标标号的号的顶顶点点v4相相邻邻，所以，所以vt既可以以既可以以v3为为基基础获础获得得标标号号(v3,t)，也可以以，也可以以v4为为基基础获础获得得标标号号(v4,t)。但。但为为减少迭代次数，减少迭代次数，应选择应选择1与与t两者两者较较大的大的给给vt标标号。因号。因为为t=min3,c3t-f3t=min 3,3=3,t=min4,c4t-f4t=min 4,5=4，所以，所以vt的的标标号号应应取（取（v4,4）。）。(v4,4)67第67页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,4)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,5)(11,8)(4,0)(0,+)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)(v4,4)（II）调调整整过过程程由于由于vt的第一个的第一个标标号号为为v4，得到，得到顶顶点点v4，由，由v4的第一个的第一个标标号号为为v1，得到，得到顶顶点点v1，由，由v1的第一个的第一个标标号号为为vs，得到，得到顶顶点点vs，由此得到关于可行流，由此得到关于可行流f的增广的增广链链=vs,v1,v4,vt，其中，其中(vs,v1),(v1,v4),(v4,vt)为为前向前向边边。68第68页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)(v4,4)（II）调调整整过过程程由于由于t=4，所以，所以调调整量整量为为4，即增广，即增广链链上的前向上的前向边边流量加流量加4。69第69页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)重新开始标号过程，重新开始标号过程，（I）标号过程）标号过程（1）首先给发点）首先给发点vs标以标以(0,+).70第70页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)(vs,7)（2）检查检查与与vs相相邻邻的的顶顶点点v1，v2，因，因为为(vs,v1)E，并且，并且fs1=80，所以，所以v2可以获得标号可以获得标号(v1,2)，其中，其中2=min1,f21=min9,3=3。因因为为(v1,v3)E，但但f13=c13，所以，所以v3不能不能标标号。号。因因为为(v1,v4)E，并且，并且f14=c14，所以，所以v4不能不能标标号。号。72第72页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)(vs,11)(v1,3)(v2,1)(v2,3)（5）检查检查与与v2相相邻邻且没有标号且没有标号的的顶顶点点v3，v4，因为因为(v2,v3)E，并且并且f23=1c23=5，所以，所以v3可以获得标号可以获得标号(v2,3)，其中，其中3=min2,c23-f23=min3,4=3。因因为为(v2,v4)E，并且，并且f24=5c24=6，所以，所以v4可可以以获获得得标标号号(v2,4)，其中，其中4=min2,c23-f23=min3,6-5=1。73第73页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)(vs,7)(v1,3)(v2,1)(v2,3)(v3,3)（5）由于与）由于与v3相相邻邻且没有且没有标标号的号的顶顶点点为为vt，并且，并且vt也与已也与已标标号的号的顶顶点点v4相相邻邻，所以，所以vt既可以以既可以以v3为为基基础获础获得得标标号号(v3,t)，也可以以，也可以以v4为为基基础获础获得得标标号号(v4,t)。但。但为为减少迭代次数，减少迭代次数，应选择应选择1与与t两者两者较较大大的的给给vt标标号。因号。因为为t=min3,c3t-f3t=min 3,3=3,t=min4,c4t-f4t=min 1,1=1，所以，所以vt的的标标号号应应取（取（v3,3）。）。74第74页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)(vs,11)(v1,3)(v1,4)(v2,3)(v4,4)75第75页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,8)(9,9)(3,3)(5,1)(6,5)(7,7)(10,9)(11,8)(4,4)(0,+)(vs,7)(v1,3)(v2,1)(v2,3)(v3,3)（II）调调整整过过程程由于由于vt的第一个的第一个标标号号为为v3，得到，得到顶顶点点v3，由，由v3的第一个的第一个标标号号为为v2，得到得到顶顶点点v2，由，由v2的第一个的第一个标标号号为为v1，得到，得到顶顶点点v1，由，由v1的第一个的第一个标标号号为为vs，得到，得到顶顶点点vs，由此得到关于可行流，由此得到关于可行流f的增广的增广链链=vs,v1,v2,v3,vt，其中，其中(vs,v1),(v2,v3),(v3,vt)为为前向前向边边，(v2,v3)为为后向后向边边。76第76页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+)(vs,7)(v1,3)(v2,1)(v2,3)(v3,3)（II）调调整整过过程程由于由于t=3，所以，所以调调整量整量为为3，即增广，即增广链链上的前向上的前向边边流流量加量加3，后向，后向边边流量减流量减3。77第77页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+)重新开始标号过程，重新开始标号过程，（I）标号过程）标号过程（1）首先给发点）首先给发点vs标以标以(0,+).78第78页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+)(vs,4)（2）检查检查与与vs相相邻邻的的顶顶点点v1，v2，因，因为为(vs,v1)E，并且，并且fs1=11cs1=15，所以，所以v1可以可以获获得得标标号号(vs,1)，其中，其中1=min+,15-11=4。因。因为为(vs,v2)E，但但fs2=cs2，所以，所以v2不能不能标标号。号。79第79页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+)(vs,4)（3）检查与vs，v1相邻的顶点v2，v3，v4，都不满足标号条件，所以标号过程结束，这时vt没有得到标号，由此可知不存在从vs到vt的增广链，所以图中的可行流就是最大流，其流量W=fs1+fs2=11+9=20。80第80页，本讲稿共84页 vsvt v4 v2 v3 v1(15,11)(9,9)(3,0)(5,4)(6,5)(7,7)(10,9)(11,11)(4,4)(0,+)(vs,4)用标号法在求得最大流的同时，可得到一个最小割集，从图可知，标号点的集合为S=vs,v1，此时割集为，81第81页，本讲稿共84页例11用标号法求图7.26中从vs到vt的最大流。v3 vsvt v5 v2 v4 v1(13,7)(9,9)(4,4)(5,2)(5,5)(5,5)(10,5)(9,7)(6,6)(5,0)(4,0)(4,4)图7.2682第82页，本讲稿共84页 v3 vsvt v5 v2 v4 v1(13,7)(9,9)(4,4)(5,2)(5,5)(5,5)(10,5)(9,7)(6,6)(5,0)(4,0)(4,4)图7.26解(0,+)(vs,6)(v1,4)(v2,4)(v3,4)(v5,4)83第83页，本讲稿共84页 v3 vsvt v5 v2 v4 v1(13,11)(9,9)(4,0)(5,2)(5,5)(5,5)(10,9)(9,7)(6,6)(5,4)(4,4)(4,4)图7.26(0,+)(vs,6)最大流最大流为为W=fs1+fs2=11+9=20。最小割集为最小割集为 84第84页，本讲稿共84页