第七章 定积分及其应用精选PPT.ppt

第七章 定积分及其应用第1页，本讲稿共111页1、了解定积分的定义、性质以及函数f(x)在 a，b上可积的充分条件。2、掌握积分上限函数的求导方法及其应用。3、熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式。4、熟练掌握定积分的换元积分法与分步积 分法。5、了解广义积分的概念与计算方法。基本要求:第2页，本讲稿共111页第一节 定积分概念一、定积分问题举例1、求曲边梯形的面积 xy=f(x)第3页，本讲稿共111页思想方法在区间a,b中任取若干分点：把曲边梯形的底a,b分成n个小区间：过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为xy0y=f(x)（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条第4页，本讲稿共111页（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形xy0y=f(x)f()第5页，本讲稿共111页（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一 个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式它就是曲边梯形面积A的近似值，即xy0y=f(x)f()第6页，本讲稿共111页（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之 和的极限 就是曲边梯形面积A的精确值。分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)f()小区间长度最大值趋近于零，即 0（表示这些小区间的长度最大者）时，和式 的极限就是A，即第7页，本讲稿共111页2、变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 是时间间隔 上t的连续函数，计算在此段时间内物体经过的路程。思想方法（1）分割：在区间 中任取若干分点：第8页，本讲稿共111页（2）近似求和：（3）取极限：（表示所有小区间的长度的最大者）把 分成n个小区间：第9页，本讲稿共111页二、定积分的定义 定义 设函数f（x）在a，b上有界，在a，b中任意插入若干个分点：分划任取 ，作和式 近似求和记 ，如果 取极限第10页，本讲稿共111页存在，且极限值I不依赖于 的选取，也不依赖于a，b的分法，则称I为f(x)在a，b上的定积分(简称积分)，记作 ,即其中：f(x)叫做被积函数;f(x)dx叫做被积表达式;x叫做积分变量;a叫做积分下限，b叫做积分上限;a,b叫做积分区间。第11页，本讲稿共111页 如果f(x)在a，b上的定积分存在，也称f(x)在a，b上可积。否则，称f(x)在a，b上不可积。注：定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。即第12页，本讲稿共111页三、函数可积的充分条件 定理1 若f(x)在a，b上连续，则f(x)在a，b上可积。定理2 若f(x)在a，b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a，b上可积。四、定积分的几何意义 若f(x)0，则 的几何意义表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。第13页，本讲稿共111页 一般情形,的几何意义为：它是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之间的各部分面积的代数和。yb0ax第14页，本讲稿共111页定积分的性质 中值定理规定(1)当a=b时，(2)当ab时,性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)。即 第15页，本讲稿共111页证注：此性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形。第16页，本讲稿共111页性质2 被积函数的常数因子可以提到积分符号外。即证 第17页，本讲稿共111页性质3(定积分的区间可加性)证 因f(x)在区间a,b上可积，所以对a,b的任意分划，积分和的极限总是不变的。考虑a，b的一个特殊分划，使c作为一个分点，那么a，b上的积分和等于a，c上的积分和加c，b上的积分和，记为第18页，本讲稿共111页令0，上式两端同时取极限，得注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3总是成立的。例如，当abc时，由性质3，有于是第19页，本讲稿共111页性质4证 因f(x)1，所以性质5 若在区间a，b上，则证 因 ，所以又由于 ，因此第20页，本讲稿共111页所以 推论1 如果在区间a，b上，则 证 因 ，则由性质1，有第21页，本讲稿共111页推论2 第22页，本讲稿共111页第23页，本讲稿共111页第24页，本讲稿共111页二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 微积分的基本公式第25页，本讲稿共111页一、引例一、引例 在变速直线运动中,已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，本讲稿共111页二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数则变上限函数证证:则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.若第27页，本讲稿共111页说明说明:1)定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2)变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页，本讲稿共111页例例1.求解解:原式说明 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.确定常数 a,b,c 的值,使解解:原式=c 0,故又由,得第29页，本讲稿共111页例例3.证明在内为单调递增函数.证证:只要证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页，本讲稿共111页三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式(牛顿-莱布尼兹公式)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:根据定理 1,故因此得记作定理定理2.函数,则第31页，本讲稿共111页例例4.计算解解:例例5.计算正弦曲线的面积.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第32页，本讲稿共111页例例6.汽车以每小时 36 km 的速度行驶,速停车,解解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为刹车,问从开始刹到某处需要减设汽车以等加速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 车到停车走了多少距离?第33页，本讲稿共111页内容小结内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿 莱布尼兹公式2.变限积分求导公式 公式 目录 上页 下页 返回 结束 第34页，本讲稿共111页备用题备用题解解：1.设求定积分为常数,设,则故应用积分法定此常数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第35页，本讲稿共111页2.求解解：的递推公式(n为正整数).由于因此所以其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页，本讲稿共111页二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 第三节不定积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和 分部积分法第37页，本讲稿共111页一、定积分的换元法一、定积分的换元法 定理定理1.设函数单值函数满足:1)2)在上证证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则第38页，本讲稿共111页说明说明:1)当 1 时收敛;p1 时发散.因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为当 p1 时,反常积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第58页，本讲稿共111页例例3.计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第59页，本讲稿共111页二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第60页，本讲稿共111页定义定义2.设而在点 a 的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f(x)在 a,b 上的反常积分,记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 第61页，本讲稿共111页若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点瑕点(奇点奇点).例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义第62页，本讲稿共111页注意注意:若瑕点的计算表达式:则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点,则若 a 为瑕点,则若 a,b 都为瑕点,则则可相消吗可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 第63页，本讲稿共111页下述解法是否正确:,积分收敛例例4.计算反常积分解解:显然瑕点为 a,所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.讨论反常积分的收敛性.解解:所以反常积分发散.第64页，本讲稿共111页例例6.证明反常积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第65页，本讲稿共111页例例7.解解：求的无穷间断点,故 I 为反常积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第66页，本讲稿共111页内容小结内容小结 1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第67页，本讲稿共111页说明说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.第68页，本讲稿共111页(3)有时需考虑主值意义下的反常积分.其定义为P256 题 1(1),(2),(7),(8)机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛.注意注意:主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习思考与练习第69页，本讲稿共111页备用题备用题 试证,并求其值.解解:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第70页，本讲稿共111页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第71页，本讲稿共111页第六章第六章 定积分的应用定积分的应用1、理解定积分的定义和定积分的存在定理；2、熟悉定积分的基本性质对区间的可加性、线性性质、比较性质和 定积分的中值定理（包括积分均值）；3、理解积分上限的函数的积分性质及其导数，熟悉微积分学基本定理；4、熟悉牛顿一莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法；5、了解两种广义积分（无界函数的广义积分、无穷区间上的广义积分）的概念及其敛散性定义，会计算广义积分；6、了解定积分的近似计算方法（梯形法和抛物线法）；基本要求基本要求第72页，本讲稿共111页我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算,如：如：变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功已知质点的运动速度，求质点的运动路程已知质点的运动速度，求质点的运动路程曲边梯形的面积曲边梯形的面积 面面积积元元素素ab xyo定积分的元素法定积分的元素法第73页，本讲稿共111页用定积分来计算的量用定积分来计算的量U具有以下特点：具有以下特点：1量量U与函数与函数 f(x)及及x的变化区间的变化区间 a,b有关。有关。若若 f(x)常数，则常数，则 U=f(x)(ba)。1量量U对区间具有可加性。即：把对区间具有可加性。即：把a，b分成若干分成若干 部分区间，部分区间，则则 U相应地被分成了许多部分量之和。相应地被分成了许多部分量之和。1在区间在区间 a,b的任一个子区间的任一个子区间x,x+x 上，上，部分量部分量Uf(x)x。第74页，本讲稿共111页设设U U是可用定积分表达的量，则计算量是可用定积分表达的量，则计算量U U的步骤为：的步骤为：定积分的元素法定积分的元素法 选择函数选择函数 f(x)，并确定自变量，并确定自变量 x 的变化区间的变化区间a,b;在在a,b内考虑典型小区间内考虑典型小区间x,x+dx，求出相应于这个，求出相应于这个小区间的部分量小区间的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx。称。称f(x)dx为量为量U的元的元素，记为素，记为dU=f(x)dx。计算计算 U=应用方向：应用方向：平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、压力、引力和平均值等引力和平均值等第75页，本讲稿共111页 定积分的几何应用定积分的几何应用第76页，本讲稿共111页一、平面图形的面积一、平面图形的面积0 直角坐标系情形直角坐标系情形第77页，本讲稿共111页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积第78页，本讲稿共111页解解两曲线的交点两曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量第79页，本讲稿共111页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量于是所求面积于是所求面积第80页，本讲稿共111页解解两曲线的交点两曲线的交点第81页，本讲稿共111页选选 为积分变量为积分变量第82页，本讲稿共111页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积第83页，本讲稿共111页解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第84页，本讲稿共111页二、二、体积体积0 旋转体的体积旋转体的体积0 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积第85页，本讲稿共111页 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积第86页，本讲稿共111页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为第87页，本讲稿共111页解解直线直线 方程为方程为第88页，本讲稿共111页第89页，本讲稿共111页解解第90页，本讲稿共111页第91页，本讲稿共111页第92页，本讲稿共111页解解第93页，本讲稿共111页第94页，本讲稿共111页补充补充利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中第95页，本讲稿共111页解解体积元素为体积元素为第96页，本讲稿共111页2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算用定积分来计算.立体体积立体体积第97页，本讲稿共111页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第98页，本讲稿共111页解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为截面面积截面面积立体体积立体体积第99页，本讲稿共111页思考题思考题第100页，本讲稿共111页思考题解答思考题解答交点交点立体体积立体体积第101页，本讲稿共111页例：例：求由求由 绕绕 x 轴旋转一周，轴旋转一周，所成的圆环体的体积。所成的圆环体的体积。解：解：xyo第102页，本讲稿共111页问题：问题：物体在变力物体在变力F(x)的作用下，从的作用下，从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点，点，求变力所做的功。求变力所做的功。用积分元素法用积分元素法1）在）在a,b上考虑小区间上考虑小区间x,x+x，在此小区间上，在此小区间上 w dw=F(x)dx 2）将）将dw从从a到到b求定积分，就得到所求的功求定积分，就得到所求的功变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功第103页，本讲稿共111页or第104页，本讲稿共111页解解功元素功元素所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处第105页，本讲稿共111页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停解解建立坐标系如图建立坐标系如图用积分元素法用积分元素法第106页，本讲稿共111页这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素功元素:(千焦千焦)第107页，本讲稿共111页解解设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击次锤击时又将铁钉击入多少？时又将铁钉击入多少？设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为第108页，本讲稿共111页依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等次击入的总深度为次击入的总深度为第第 次击入的深度为次击入的深度为第109页，本讲稿共111页 水压力水压力例例1、第110页，本讲稿共111页解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为第111页，本讲稿共111页