第七章 数学物理定解问题精选PPT.ppt

第七章 数学物理定解问题第1页，本讲稿共77页第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程第七章 数学物理方程定解问题7.2 定解条件7.3 数学物理方程的分类7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出7.4 达朗贝公式、定解问题 第2页，本讲稿共77页 1、物理学、物理学 物理规律物理规律随随时间时间变化的物理过程：变化的物理过程：常微分方程；常微分方程；2、数学、数学 边界条件边界条件 初始条件初始条件 定解条件；定解条件；数学物理方程（不含定解条件）数学物理方程（不含定解条件）泛定方程；泛定方程；定解条件定解条件 泛定方程泛定方程 定解问题；定解问题；引子引子数学物理方程的含义数学物理方程的含义物理规律物理规律随随时间时间和和空间空间变化的物理过程：变化的物理过程：偏微分方程；偏微分方程；具体条件具体条件：具体物理问题的：具体物理问题的个性个性历史历史+环境：环境：历史：历史：初始条件；初始条件；环境：环境：边界条件；边界条件；物理规律物理规律作为一类物理现象的作为一类物理现象的共性共性，暂不考虑，暂不考虑 具体条件具体条件的偏微分方程：的偏微分方程：泛定方程泛定方程。第3页，本讲稿共77页第七章第七章 数学物理方程数学物理方程的定解问题的定解问题7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出一、数理方程分三类波动方程波动方程 输运方程输运方程 稳定场方程稳定场方程 对应的数学上的偏微分方程分别是：对应的数学上的偏微分方程分别是：双曲型双曲型 抛物型抛物型 椭圆型椭圆型其中其中 为拉普拉斯算符；为拉普拉斯算符；第4页，本讲稿共77页二、三类数学物理方程的导出二、三类数学物理方程的导出xx+xxu考虑一小段考虑一小段弦弦1、弦的横振动其其横向位移为横向位移为 u(x,t)，根据力的分解原理和根据力的分解原理和 牛顿第二定律，得牛顿第二定律，得两端所受张力为两端所受张力为 第5页，本讲稿共77页考虑小振动考虑小振动xx+xxu 第6页，本讲稿共77页记记令令 xx+xxu此即此即柔软弦柔软弦的的横振动横振动的振动方程！的振动方程！第7页，本讲稿共77页2、均匀弹性杆的纵振动、均匀弹性杆的纵振动将细杆分成许多段，将细杆分成许多段，考察任一考察任一B段；段；t 时刻，时刻，B段段纵向纵向伸长伸长相对伸长相对伸长（应变应变）：）：t 时刻，时刻，A端、端、C 端端 的纵向位移分别为的纵向位移分别为 第8页，本讲稿共77页事实上，事实上，相对伸长相对伸长（应变）（应变）是杆是杆纵向纵向位置的函数位置的函数 胡克定律指出：胡克定律指出：应力应力（单位横截面（单位横截面 的力）的力）与应变成正比与应变成正比.B两端的张应力分别为两端的张应力分别为（单位横截面的张力）（单位横截面的张力）第9页，本讲稿共77页 B 段运动方程为段运动方程为记记此即是此即是硬弹性杆硬弹性杆的的纵振动纵振动的振动方程！的振动方程！第10页，本讲稿共77页3、传输线方程（电报方程）、传输线方程（电报方程）dx段导线电阻为段导线电阻为Rdx；漏电阻为；漏电阻为1/1/G dx；两导线之间两导线之间dx段电阻段电阻Rdx的电压：的电压：j R dx；电感为电感为Ldx感应电动势为：感应电动势为：；两导线之间两导线之间dx段段电容为电容为C dx；放电电流为：；放电电流为：两导线之间两导线之间漏电流为：漏电流为：；由欧姆定律，得由欧姆定律，得 第11页，本讲稿共77页整理，得整理，得 消去消去v，得，得j 的的方程为方程为 消去消去 j，得，得v的的方程为方程为 即即第12页，本讲稿共77页此即此即传输线方程传输线方程（电报方程）（电报方程）！R和和G 很小时，得理想传输线方程：很小时，得理想传输线方程：传输线方程：传输线方程：第13页，本讲稿共77页4、均匀薄膜的微小振动方程、均匀薄膜的微小振动方程P113小方块薄膜小方块薄膜x和和x+dx两边的横向作用力为两边的横向作用力为小方块薄膜小方块薄膜y和和y+dy两边的横向作用力为两边的横向作用力为小方块薄膜小方块薄膜受总的受总的横向作用力为横向作用力为由牛顿第二定律由牛顿第二定律:，得，得 单位长度单位长度的张力的张力T 第14页，本讲稿共77页 整理得整理得薄膜的微小振动方程薄膜的微小振动方程如果如果膜面任意点膜面任意点策动力为：策动力为：薄膜受迫振动方程薄膜受迫振动方程 拉普拉斯算符：拉普拉斯算符：薄膜面密度为定值时，薄膜面密度为定值时，薄膜微振动方程：薄膜微振动方程：第15页，本讲稿共77页5、*流体力学与声学方程流体力学与声学方程得得此即此即平衡态声波平衡态声波方程！方程！绝热过程物态方程绝热过程物态方程 其中其中第16页，本讲稿共77页6、电磁波方程、电磁波方程麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 根据散度和旋度的运算法则，由麦克斯韦方程组得根据散度和旋度的运算法则，由麦克斯韦方程组得 第17页，本讲稿共77页由于浓度不同引起的分子运动；由于浓度不同引起的分子运动；扩散流强度扩散流强度q：单位时间内流过单位单位时间内流过单位 面积的分子数或质量面积的分子数或质量；D 为扩散系数；负号表扩散方向与浓度梯度相反；为扩散系数；负号表扩散方向与浓度梯度相反；7、扩散方程、扩散方程扩散定律扩散定律：扩散流强度扩散流强度q与浓度与浓度u(单位体积单位体积（斐克定律）（斐克定律）内的内的粒子数）粒子数）的梯度成正比：的梯度成正比：展开：展开：（1）关于扩散的相关概念 第18页，本讲稿共77页大小大小将扩散定律将扩散定律的矢量式展开的矢量式展开 第19页，本讲稿共77页任意任意x处正处正方向，方向，dt 时间时间流流 过过dydz的面积元的流量为的面积元的流量为:x方向右表面，方向右表面，dt 时间时间流流出出 六面体的六面体的dydz面元面元流量为流量为:（2）扩散方程的推导 x方向左表面，方向左表面，dt时间时间流入流入 六面体的六面体的dydz面元流量为面元流量为:第20页，本讲稿共77页 x 方向方向净净 流入量为流入量为 第21页，本讲稿共77页同理，同理，y 方向净流入量为方向净流入量为同理，同理，z z方向净流入量为方向净流入量为立方体立方体净流入净流入量为量为 第22页，本讲稿共77页如果立方体内无如果立方体内无源源和和汇汇，dt 时间内粒子增加数为：时间内粒子增加数为：即，即，第23页，本讲稿共77页如果如果D=恒量，恒量，令令a2=D，得得 （三维情形三维情形）一维情形一维情形即，即，第24页，本讲稿共77页若单位时间内单位体积中产生的粒子若单位时间内单位体积中产生的粒子 数为数为F=(x,y,z,t)，而且与浓度，而且与浓度u 无关，则无关，则若单位时间内单位体积中产生的粒子数为若单位时间内单位体积中产生的粒子数为b2u，则有，则有如果如果F=(x,y,z,t)与时间无关，即与时间无关，即得得稳定浓度分布稳定浓度分布的扩散方程的扩散方程P118（3）*扩散源强度与浓度u无关（4）*扩散源强度扩散源强度与浓度与浓度u成正比成正比 第25页，本讲稿共77页8、热传导方程、热传导方程设有一根恒截面为设有一根恒截面为A的均匀细杆，的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热；沿杆长有温度差，其侧面绝热；设设u(x,t)为为 x 处处 t 时刻温度时刻温度，为杆密度：为杆密度：xxx+x（1）dt 时间内引起小段时间内引起小段 x温度升高所温度升高所 需要热量为需要热量为初中热平衡方程：初中热平衡方程：第26页，本讲稿共77页xxx+x（2）Furiers实验定律：实验定律：单位时间内单位时间内 流过单位面积的热量流过单位面积的热量 q(热流强热流强 度量）度量）与温度的下降成正比。与温度的下降成正比。nn k 为热传导系数；为热传导系数；一维情况下，其一维情况下，其大小大小如图有：如图有：x方向左表面方向左表面A，dt 时间时间 流入流入圆柱体的热量为：圆柱体的热量为：dt 时间时间流出流出圆柱体的热量为：圆柱体的热量为：第27页，本讲稿共77页 dt dt 时间时间净净流入的热量为流入的热量为 所以，得所以，得 由由热平衡方程和热平衡方程和 Furiers实验定理实验定理 第28页，本讲稿共77页9、*稳定浓度分布的扩散方程稳定浓度分布的扩散方程若若扩散源强度扩散源强度F=(x,y,z,t)=0，则，则若若扩散源强度扩散源强度(单位时间内单位体积中产单位时间内单位体积中产 生的粒子数生的粒子数)F=(x,y,z,t)不随时间变化，不随时间变化，即即F=(x,y,z,t)=F(x,y,z)，即，即 ，则，则为泊松方程为泊松方程为为 Laplace 方程方程 第29页，本讲稿共77页10、*稳定温度分布的热传导方程稳定温度分布的热传导方程若热流强度若热流强度F=(x,y,z,t)=0，则，则若若热流强度热流强度F=(x,y,z,t)不随时间变化，不随时间变化，即即F=(x,y,z,t)=F(x,y,z)，即，即 ，则，则为泊松方程为泊松方程为为 Laplace 方程方程 第30页，本讲稿共77页电通量的高斯定理电通量的高斯定理11、静电场（的电势方程）、静电场（的电势方程）第31页，本讲稿共77页（1）泊松方程）泊松方程（2）拉普拉斯（）拉普拉斯（Laplace）方程方程若若 ，得得 第32页，本讲稿共77页14、杆的微小横振动、杆的微小横振动如果存在切向应力，如果存在切向应力，硬硬杆杆就会做微小就会做微小横横振动振动如果施加外力引起受迫振动，单位质量的力如果施加外力引起受迫振动，单位质量的力 密度为密度为f=(x,t)=F=(x,t)/，其，其振动方程为：振动方程为：第33页，本讲稿共77页15、量子力学的薛定谔方程、量子力学的薛定谔方程自由粒子的波动波函数自由粒子的波动波函数（1）自由粒子满足的方程得自由粒子的得自由粒子的薛定谔方程薛定谔方程 第34页，本讲稿共77页（2）势场中运动粒子的波动方程能量关系：能量关系：势场V(r,t)（3）定态定态势能函数势能函数V=V(r)不显含时间；不显含时间；第35页，本讲稿共77页 7.2 定解条件定解条件一、初始条件一、初始条件 特定的历史特定的历史1、对于输运方程、对于输运方程初始条件初始条件 要求已知要求已知2、对于弦振动方程、对于弦振动方程初始初始条件条件要求要求已知已知初始初始位移满足位移满足初始初始速度满足速度满足初始条件初始条件和和边界条件边界条件合称为合称为定解条件！定解条件！第36页，本讲稿共77页x=l/2xyx=lhx0初始初始位移满足：位移满足：初始初始速度满足：速度满足：3、例：、例：初始位移的分布初始位移的分布第37页，本讲稿共77页二、边界条件二、边界条件：特定可见环境特定可见环境1、第一类边界条件、第一类边界条件2、第二类边界条件、第二类边界条件3、第三类边界条件、第三类边界条件必须知道函数的必须知道函数的初始位置（初始位置（初始位移初始位移）的取值的取值必须知道函数的初始位置的必须知道函数的初始位置的导数值导数值（初始速度）（初始速度）必须知道函数必须知道函数初始位置初始位置及其及其导数导数的的特定组合特定组合取值取值 第38页，本讲稿共77页例如：两端固定弦例如：两端固定弦,端点位移为零：即端点位移为零：即x=l/2xyx=lhx01、第一类边界条件三、边界条件举例 必须已知函数的必须已知函数的初始位置初始位置的取值的取值第39页，本讲稿共77页比如，细杆热传导比如，细杆热传导端点的端点的温度：温度：l0 x 比如，扩散比如，扩散端点的端点的浓度：浓度：这两种情况下，其这两种情况下，其“温度温度”或或“浓度浓度”变化变化 规律的边界条件都可以写出如下形式：规律的边界条件都可以写出如下形式：第40页，本讲稿共77页（1）如细杆的纵如细杆的纵 振动，振动，x=a 处受力处受力 f(t)如杆端自由如杆端自由 f(t)=0a0 x2、第二类边界条件 必须已知函数的初始位置的必须已知函数的初始位置的导数值导数值第41页，本讲稿共77页如细杆热传如细杆热传 导端点有热导端点有热 量流出：量流出：如细杆热传如细杆热传 导端点有热导端点有热 量流入：量流入：（2）热传导热传导0 xa 第42页，本讲稿共77页如细杆热传导，如细杆热传导，一端自由冷却一端自由冷却则热流强度与杆端则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度和周围介质温度 差有关系差有关系0 xa3、第三类边界条件所以，所以，必须已知函数必须已知函数初始位置初始位置及其及其导数导数的的特定组合特定组合取值取值第43页，本讲稿共77页 x=0 处处0 xa 第44页，本讲稿共77页三、衔接条件三、衔接条件某点，函数左、右导数某点，函数左、右导数 不相等，即不相等，即uxx不存在不存在。必须假定，函数在必须假定，函数在 跃变点仍然连续；跃变点仍然连续；1、跃变点的含义x0 xy02、跃变点的处理举例、跃变点的处理举例函数在跃变点导数函数在跃变点导数 仍然满足如下关系；仍然满足如下关系；所以，在跃变点，所以，在跃变点，泛定泛定 方程方程和和定解条件定解条件都失去都失去 了意义。了意义。第45页，本讲稿共77页x0 xy0必须假定，函数在必须假定，函数在 跃变点仍然连续；跃变点仍然连续；2、跃变点的处理举例、跃变点的处理举例函数在跃变点导数函数在跃变点导数 仍然满足如下关系；仍然满足如下关系；第46页，本讲稿共77页END-7（1）本章练习本章练习1（P122）7；（P128）2；6x0 xy02、跃变点的处理举例 第47页，本讲稿共77页7.3 数学物理方程的分类数学物理方程的分类一、线性二阶偏微分方程一、线性二阶偏微分方程1、二阶偏微分方程的基本形式、二阶偏微分方程的基本形式 f 0时称为时称为齐次方程齐次方程；f 0为为非非齐次方程齐次方程；通常有源（外力，热源，电荷等）的方程即为非齐次的，反之为齐通常有源（外力，热源，电荷等）的方程即为非齐次的，反之为齐次的，但也有例外，如扩散方程中当扩散源的强度与浓度成正比和放次的，但也有例外，如扩散方程中当扩散源的强度与浓度成正比和放射性衰变中，分别有源和汇，但仍然是齐次的。射性衰变中，分别有源和汇，但仍然是齐次的。其中其中 ，只是，只是 的函数的函数线性方程线性方程。第48页，本讲稿共77页2、叠加原理如果泛定方程和定解条件都是如果泛定方程和定解条件都是线性线性的，则可以把的，则可以把 定解问题的解看做几个部分的定解问题的解看做几个部分的线性叠加线性叠加，只要这，只要这 些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应些部分各自所满足的泛定方程和定解条件的相应 线性叠加刚好是原来的泛定方程和定解条件即可线性叠加刚好是原来的泛定方程和定解条件即可 ，这叫做（，这叫做（线性线性）叠加原理。）叠加原理。以后将经常应用（以后将经常应用（线性线性）叠加原理。）叠加原理。以下研究方程分类，仅把各类方程分别化作标准以下研究方程分类，仅把各类方程分别化作标准 形式。这样，只需讨论标准形式的方程的解法就形式。这样，只需讨论标准形式的方程的解法就 可以了。可以了。第49页，本讲稿共77页二、两个自变数的方程分类二、两个自变数的方程分类1、两个自变数的两个自变数的二阶偏微分方程二阶偏微分方程 作作自变数代换自变数代换其中其中 只是只是 的函数，的函数，假定假定 是实数是实数即即通过雅通过雅 可比式可比式 计算计算请大家动笔试一试！请大家动笔试一试！第50页，本讲稿共77页 计算计算 得新自变数的方程得新自变数的方程 第51页，本讲稿共77页 得新自变数的方程得新自变数的方程 其系数为其系数为 第52页，本讲稿共77页 即即 如果取如果取 的特解作为新自变数的特解作为新自变数 ，则，则A11=0。令令 得原方程的特征方程：得原方程的特征方程：第53页，本讲稿共77页 特征方程的解为：特征方程的解为：2、两个自变数的两个自变数的二阶偏微分方程的分类二阶偏微分方程的分类 第54页，本讲稿共77页（1）双曲型方程）双曲型方程 由特征线方程得：由特征线方程得：再作代换再作代换原方程化为：原方程化为：即，即，双曲型方程的标准形式：双曲型方程的标准形式：第55页，本讲稿共77页（2）抛物型方程）抛物型方程 由特征线方程得：由特征线方程得：只要取只要取寻找另外一根特征线寻找另外一根特征线：即即A22不等于零。不等于零。抛物型方程抛物型方程 的标准形式：的标准形式：第56页，本讲稿共77页（3）椭圆型方程）椭圆型方程 由特征线方程得：由特征线方程得：再作代换再作代换原方程化为原方程化为即，即，抛物型方程的标准形式：抛物型方程的标准形式：第57页，本讲稿共77页三、多自变数的方程分类（略）三、多自变数的方程分类（略）四、常系数线性方程四、常系数线性方程1、传输线方程（电报方程）将将电报电报方程写方程写 为一般形式：为一般形式：令令 做变换做变换 第58页，本讲稿共77页最后得最后得 第59页，本讲稿共77页7.4 达朗贝尔公式、定解问题达朗贝尔公式、定解问题一、达朗贝公式一、达朗贝公式适用于几类波动方程适用于几类波动方程弦的振动方程弦的振动方程表示为：表示为：电报方程电报方程1、行波法、行波法求通解求通解令令：第60页，本讲稿共77页令令：再令：再令：第61页，本讲稿共77页对对 积分，得积分，得再对再对积分，得：积分，得：此此表示以速度表示以速度a沿沿x正正方向方向和负方向的和负方向的行波行波!比如，改用以速度比如，改用以速度a沿沿x正方向移动的坐标轴正方向移动的坐标轴 X:函数的图像在函数的图像在速度为速度为a的的动坐标系中动坐标系中保持不变！保持不变！第62页，本讲稿共77页2、函数、函数 f1(x)和和 f2(x)的确定的确定考虑无限长波动方程的定解问题考虑无限长波动方程的定解问题对其求导，有对其求导，有达朗贝尔达朗贝尔通解通解代入初始条件，可得代入初始条件，可得 第63页，本讲稿共77页积分有积分有解得解得得得特解特解将将x换成换成（x+at）和）和（x-at）其中，其中，第64页，本讲稿共77页得得得得特解特解P137公式公式（7.4.7）将将x换成换成（x+at）和）和（x-at）第65页，本讲稿共77页例例1：求初速度为零：求初速度为零P137但初位移不为零的定解问题：第66页，本讲稿共77页解：通解为：通解为：初始条件：初始条件：第67页，本讲稿共77页例例2：求：求初位移为零、初速度初位移为零、初速度 不不为零的定解问题为零的定解问题P138其通解为：其通解为：第68页，本讲稿共77页也就是也就是 第69页，本讲稿共77页例例3：求：求初位移和初速度初位移和初速度 都不为零的都不为零的定解问题：定解问题：通解为：通解为：解：解：第70页，本讲稿共77页二、端点反射二、端点反射例例4：半无限长弦自由振动：求半无限长弦自由振动：求一端固一端固 定弦定弦的振动情况。（反射波定解问题）的振动情况。（反射波定解问题）P138Ox ，即，即x=0保持不动保持不动，作奇延拓：，作奇延拓：解：第71页，本讲稿共77页通解为：通解为：代入初始条件，得：代入初始条件，得：合成位移如图合成位移如图7-17（P139），），有有半波损失！半波损失！第72页，本讲稿共77页例例5：半无限长杆自由振动：求：半无限长杆自由振动：求一端固一端固 定杆定杆的振动情况。（反射波定解问题）的振动情况。（反射波定解问题）P140Ox ，即，即x=0保持不动保持不动，作偶延拓：，作偶延拓：解：第73页，本讲稿共77页通解为：通解为：代入初始条件，得：代入初始条件，得：合成位移如图没有合成位移如图没有半波损失！半波损失！第74页，本讲稿共77页三、定界问题是一个整体三、定界问题是一个整体弦的振动方程弦的振动方程变形变形得：得：代入初代入初 始条件：始条件：积分积分得得通解通解得得特解特解 第75页，本讲稿共77页四、达朗贝尔解的适定性四、达朗贝尔解的适定性考虑初始条件有两组，差别微小，即考虑初始条件有两组，差别微小，即 (x)有直到二阶导数，有直到二阶导数，(x)有直有直 到一阶导数，达朗贝尔解存在。到一阶导数，达朗贝尔解存在。1、达朗贝尔解的存在性、达朗贝尔解的存在性 一定有解；一定有解；3、达朗贝尔解的稳定性、达朗贝尔解的稳定性“不会有蝴蝶效应不会有蝴蝶效应”2、达朗贝尔解的唯一性（证明略）、达朗贝尔解的唯一性（证明略）唯一；唯一；第76页，本讲稿共77页考察达朗贝尔解的稳定性考察达朗贝尔解的稳定性END-7(2)本章练习本章练习2（P134）1（*6）；（）；（P142）1；5；第77页，本讲稿共77页