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地球物理反演理论章第1页，共40页，编辑于2022年，星期六课程内容第一章 地球物理反演的基本概念第二章 数学知识基础 第三章 线性问题最小平方反演广义矩阵法广义矩阵法 第四章 约束线性最小平方反演 第五章 线性反演误差分析 第2页，共40页，编辑于2022年，星期六第一章 地球物理反演基本概念主要内容一、简介二、基本概念三、离散化和线性化四、小结第3页，共40页，编辑于2022年，星期六第一节简介v地球物理学家的一个主要目的就是确定地下构造和岩性物理性质只要能得到这种信息，哪怕是不完善的，也将大大加强选择油气钻井和矿藏位置的正确性。由于不能直接研究地球的所有部分，地球物理学家必须使用遥感技术来获取地下构造的信息。这种观测往往在地表进行，遥感实验示意图如下图所示：一个输入信号被传输到地下，并按照物理方程确定的模式在地下传播。在地面记录改变后的信号（输出信号）。图1-1 遥感实验示意图第4页，共40页，编辑于2022年，星期六输出信号可看成是输入信号的滤波结果，而滤波器的特性不仅决定于物理方程，而且也取决于信号所穿透地层的构造和物理性质。输出由一系列（观测）数据构成，这些数据以及物理方程和观测系统可用于提供地层信息。用于提取地层信息的数学公式被称为反演理论。第一节简介第5页，共40页，编辑于2022年，星期六第一节简介 例如：地震波折射勘探中，沿水平面观测回折波，速度仅随深度Z变化，如下图所示：图1-2:a回折波路径 b回折波时距曲线 在该实验中输入为爆炸产生的地震子波，而输出或观测数据为在一系列距震源不同距离X（炮检距）处记录下的首波到达时间。若输入信号、实验的几何特征（例如层状介质）和地震波能量传播的物理规律已知，反演理论就可用于由观测的时距曲线t(x)提取v(z)。第6页，共40页，编辑于2022年，星期六反演理论的一些说明第一节简介 对一个反演问题存在多种公式化方法，不同的人采用不同的方法。大部分文献中对于地球物理反演问题，将地球参数化为几个参数，从而观测数据多于待定参数。最小平方法可用于寻求待定参数，获得观测数据与参数模型相应的最佳匹配。对于部分反演问题，这是一个有效的方法，但这只是反演问题的一种解法。本门课程讨论求解反演问题的更一般做法。第7页，共40页，编辑于2022年，星期六1、反演问题的非唯一性反演问题的非唯一性 （Nonuniqueness）2、观测数据误差的影响观测数据误差的影响 （Consequences of errors）反演理论的一些说明这里的反演理论主要是基于Backus和Gilbert的论文，将集中讨论地球数据反演问题中遇到的两个问题：第8页，共40页，编辑于2022年，星期六在本课程中还将看到观测数据中含有的模型信息可能有多种表达方式。采用哪一种方式最有效取决于反演问题的性质。在后边的讨论中将对同一数据采用不同的反演方法，并获得模型的不同信息。这里将主要围绕地球物理、尤其是反射地震学的问题。实际上求解反演问题的方法和方式是十分通用的，可在所有科学研究领域得到应用。事实上可将涉及观测数据整理的问题都看成反演问题（广义反演）。在反射波地震勘探中反演往往指波阻抗反演，笔者认为这是地震勘探中对反演的独特定义（侠义反演）。本章将介绍反演问题的性质及获得可行解的困难，其他章节将涉及各种方法及例子。第9页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念在地球物理学和相关学科中，通通常常在在控控制制条条件件（即即系系统统方方式式）下下进进行行试试验验，得得到到可可能能是是观观测测结结果果的的数数据据。这些代表客观物理世界某些特性的观测值，称为实验数据或观测数据。为了对这些数据进行解释和整理，首先必须研究物理系统特性分布与观测数据（地球物理响应）之间的关系。描述这种关系的方程系构成了正演理论。正正演演理理论论：描述物理系统特性分布与观测数据（地球物理响应）之间的关系的方程系构成正演理论。正正演演问问题题：在给定输入信号、地球模型、观测系统和物理关系的前提下计算（预测）实验的输出数据（观测数据）。简单地说，就是将模型空间的一个元素映射到数据空间的一点。第10页，共40页，编辑于2022年，星期六图中模型空间包括所有可能的模型。对于前面介绍的地震折射问题，模型为速度函数V(z)，模型空间的元素为所有可能的垂向速度分布函数。数据空间的元素为旅行时函数t(x)或离散旅行时。函数F是观测数据e与模型m的关系，F则包含了物理实验的观测系统和物理性质。正演问题可用下式表示：F(m)=e也就是说，已知模型m和映射关系F，计算观测数据e。第二节基本概念第11页，共40页，编辑于2022年，星期六在地球物理学中，对一个假设的地质模型，给定某些参数（例如速度、层数、厚度），用理论关系式（数学模型）推导出某种可观测量的量（地震波）。所获得的数据称为理论数据、合成数据或预测数据。在地震勘探中典型的正演过程是合成记录的制作。目前许多软件提供合成地震记录的制作模块，但方法不尽相同。第二节基本概念图正、反演问题图 正演过程第12页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念线线性性映映射射：设m1和m2为模型空间的两个元素，和为任意常数。那么当且仅当下式成立时映射（或F）为线性的：即，若模型数值翻倍，观测数据也翻倍。两个模型线性和的观测数据等于各模型观测数据的线性和，我们所讨论的线性映射也可以写成下式：（1.1）式中e(t)为观测数据，m(u)为模型，G(t,u)为核函数。可知反演问题的物理性质包含与核函数中，而观测系统与核函数和积分限都有关。公式（1.1）称为第一类Fredholm方程。诸如公式（1.1）之类的线性方程经常在地球物理问题中出现。下面是一个例子：第13页，共40页，编辑于2022年，星期六反反演演理理论论：就是从一个物理系统上的观测值来恢复此系统的有用信息的一套数学和统计技术（微积分、微分方程、矩阵代数、统计估算和推断等）。因而关系到：试验数据分析、数学模型、实验数据拟合（模型未知参数估算）及最佳实验设计等。第二节基本概念第14页，共40页，编辑于2022年，星期六图1-4反映射用公式表示为：F-1e=m反反演演问问题题：给定数据空间的一点，求产生该数据的模型空间的元素。也就是说反演映射是正演映射的逆过程。如图1-4所示:图 反演过程第二节基本概念第15页，共40页，编辑于2022年，星期六例子：考虑地球内部的温度分布，假定地球内部的温度随深度线性增加，其关系式可表示成：T(z)=a+bz；正演：如果给定a和b求不同深度z对应的温度T(z)反演：已经在不同点z测得T(z)，求a和b，即拟合一条直线。前面例子的反问题为：1、已知Laplace变换X(s),求x(t)2、已知磁场,求电流3、给定均方根速度V2(t),求层速度v2(t)第二节基本概念第16页，共40页，编辑于2022年，星期六 本课程将涵盖线性反演问题的所有内容。即给定诸如公式1.1那样的正问题，并已知部分的e,我们将试图产生反演映射来寻找模型m，或者用观测数据提取关于模型m的信息。非常重要的是必须意识到除非实验的物理性质和观非常重要的是必须意识到除非实验的物理性质和观测系统已知，否则反演问题无法求解。测系统已知，否则反演问题无法求解。等价地说，除非正演问题可以求解，否则不可能形成反演问题。这一点看似简单，却往往被忽视。反演不是魔术，它不能确定问题的物理性质。反演理论只是提供了由观测数据定量求取地球介质未知参数的方法而已。第二节基本概念第17页，共40页，编辑于2022年，星期六例如：神经网络用于反演，同样必须先解决正演问题。神经网络总能在观测数据和模型参数之间建立某种非线性关系（许多研究人员对此非常热衷），但此种非线性关系并不一定是等价于实际物理规律（例如警察与罪犯）。另外例如目前地震勘探中有人在做基于光纤模型的检波器。这种检波器在理论上可以记录下甚高频的地震信号。然而在实际应用中却发现记录的数据没法分析。甚至分辨不出哪是有效信号哪是干扰信号。究其原因是未能考虑常规地震勘探的信号频带，使得记录下来的信号几乎全是噪音。此时不论采用何种高深的反演理论都不可能从观测数据获得任何关于地球介质模型的有效信息。第二节基本概念第18页，共40页，编辑于2022年，星期六关于反演问题的解，要注意以下几个问题：关于反演问题的解，要注意以下几个问题：1、存在性（Existence）：是否存在符合观测数据e的模型m?2、可解性（Construction）：若存在解，如何构造？3、唯一性（Uniqueness）：是否不止一个模型符合观测数据？4、评估(Appraisal)：若多个模型符合观测数据，即多解性，模型的什么信息是唯一确定的？上面问题的答案取决于观测数据。观测数据的类型有：1、完美数据（、完美数据（e(t)精确可知）精确可知）2、有限个精确数据、有限个精确数据3、有限个不精确数据。、有限个不精确数据。第二节基本概念第19页，共40页，编辑于2022年，星期六讨论：讨论：完美数据仅存在于数学王国。对于一些反演问题，存在解析解（精确解），但需要完美数据。例如公式（1.2）。通过公式求导得反演公式：第二节基本概念（1.3）若所有时刻的v(t)已知，则直接求得层速度。而且解是唯一的。公式（1.3）的离散形式就是我们常说的Dix公式。已知，可以第20页，共40页，编辑于2022年，星期六公式（1.3）给出了RMS速度的解析解，有人也许会说反演问题已经得到了解决。一般来说在实际计算中V(t)不是精确已知的，那么公式（1.3）的结果是否仍然是层速度呢？第二节基本概念当数据有限，且不精确时，必须对地球物理问题进行评估。在此假设我们有精确数据，且已知任意时刻的V(t)及其导数，我们可用公式（1.3）求取层速度。采用如图1-5所示方法对数据进行插值。图1-5均方根速度反演第21页，共40页，编辑于2022年，星期六 该方法存在的困难是存在多种速度插值方法，每个插值函数v(t)产生一个不同的层速度。图1-5中示范了两个例子，哪一个层速度是正确的？当速度不精确时，非唯一性更差。例如图1-6所示的具有误差的数据。在误差范围内存在多个符合观测数据的函数v(t)，每个函数产生不同的层速度。第二节基本概念图1-6RMS速度及其误差（任何在该范围内的曲线都是可接受的）第22页，共40页，编辑于2022年，星期六该例子说明反演问题的非唯一确定性来源于两个方面：1、有限的数据量，2、观测的不精确性。既然所有的地球物理数据都具有这些性质，可知所有地球物理反演问题都存在无限多解。当我们试图获得特定解时，实际上是寻找最可能类似地球介质的模型。第二节基本概念第23页，共40页，编辑于2022年，星期六湮没空间（湮没空间（annihilator）：(实验本身带来的多解性)有一些模型函数，其正演问题的解为零输出。这样的函数被称为零化子。当且仅当下式成立时，m*为零化子：Fm*=0(1.4)非零m*的存在使得反演问题的解是不唯一的。考虑两个模型m*和m*+m,其中m*满足公式（1.4），而m产生观测数据，即Fm=e,且问题为线性问题，则有：Fm*+m=Fm*+Fm=0+e=e可知模型m和m+m*都产生同样的观测数据。第二节基本概念第24页，共40页，编辑于2022年，星期六图1-7层状介质模型（各层内速度和密度为常数，为第j层介质下边界的反射系数。）第二节基本概念 零化子并不神秘，它们在实践中经常出现。例如反射地震勘探中，考虑图1-7所示的水平层状介质，各层为均匀各向同性介质。地层间的波阻抗差将引起入射能量在界面上的反射。用 表示第j层下边界的反射系数，反射系数函数方程为：式中 为地表到j层下界面的双程旅行时。若入射（平面）地震脉冲w(t)垂直向下传播，则地震记录x(t)可由褶积模型得到，即：第25页，共40页，编辑于2022年，星期六给定子波w(t)就可以得到地震记录：第二节基本概念图1-8褶积模型但w(t)为带限函数，因为震源中没有显著的低频能量，而高频成分在地震波传播中迅速衰减。因此典型地震子波的振幅谱象图1-9中所示的那样局限于频带 。第26页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念图1-9子波W(t)振幅谱给定地震记录x(t)和地震子波w(t)，反演问题为恢复反射系数函数r(t)。第27页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念用rc(t)表示图1.10中重建的模型。但是我们可以在中加入任何能量位于之外的函数，例如用表示，令则和都能满足观测数据，其效果如图1-11所示。图1-11不同的反射函数与子波褶积产生相同的地震记录第28页，共40页，编辑于2022年，星期六不精确数据的深层影响：不精确数据的深层影响：地球物理数据从来都不是精确的。这不但增加反演问题的非唯一性，而且引起模型重建的数字运算的困难。下面对此进行说明。理想情况下，正演问题产生观测数据：Fm=e若有附加噪音，则观测数据为：反演算子作用与不精确的数据。令mc表示反演求得的模型，即：在地球物理问题中一般假设附加噪音具有统计特性。第二节基本概念第29页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念若已知噪音的统计规律，并可得到一个观测数据样本集，则唯一可说的是真正的观测数据e存在于的某个区域内。如图1.12所示：但是阴影区（边界其实是模糊的）内的每个点都可能是真实的数据e。而且这个集合内的每个点都能映射到模型空间的一个点。模型空间的阴影表示所有可以接受的模型。因而需要考虑的问题变成：假如附加噪声较小，若，是否意味着？第30页，共40页，编辑于2022年，星期六一般说来该问题的回答是否定的。令，则大部分问题是：即使|很小，|也可能很大。也就是说反演问题本性是不稳定的。数学家则说反演问题是病态（ill-posed或ill-conditioned）的。产生病态的原因为地球物理实验本身的特性，核函数（公式1.1）一般比较宽，因而“平滑”了模型。观测数据在某种意义上可以说是模型的平滑。作为特殊的例子，考虑层速度与叠加速度的关系：第二节基本概念（1.4）第31页，共40页，编辑于2022年，星期六式中tm是感兴趣的最大时间（或者说地震记录的最大时间），H为Heaviside阶跃函数，tj时刻的核函数为从原点到时刻tj的方波，因此V(tj)为该时间段上层速度平方加权平均值的平方根。下面给出一个实际的层速度和相应的叠加速度例子，显然V(t)比v(t)平滑很多。第二节基本概念 图1.13层速度与均方根速度（为层速度为均方根速度）第32页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念若正演映射是“平滑”，则反演映射必然是“粗化”。观测数据的微小起伏必然被放大以恢复模型。自然观测数据中的小误差能在反演模型中产生大的特征。任何用Dix公式对不精确数据反演RMS速度的人员都必须面对这个事实。另外一个考察细小误差在恢复的模型中产生巨大起伏的方法是利用公式（1.3）的解析解。由于要采用V(t)的导数，因此即使V(t)的误差比较小，也会产生较大的差值。更甚的是，在反演映射中的被用t相乘，因此随着t的变大，稳定性也将变差。这也正是使用DIX公式人员所熟知的现象。第33页，共40页，编辑于2022年，星期六第二节基本概念许多地球物理问题的不稳定性远比RMS反演中严重。在RMS反演中，核函数对所有时间来说振幅值是常数。在大多数地球物理问题中核函数随深度（或时间）衰减，也就是说随深度增加，对地层的观测能力越差。这种核函数的衰减所引起的反演问题的不稳定性大于上面所举例子。第34页，共40页，编辑于2022年，星期六第三节离散化和线性化地球物理模型一般用连续函数来描述，例如：地球质量与惯性动量和密度的关系：质量=惯性动量=R:地球半径；径向距离r处的密度。上面两式可用通式表示为:上式为积分，很容易用数字计算机计算。这涉及离散数学。令为m.，令 ，得到非常有用的公式：此时我们称理论问题被离散化离散化。第35页，共40页，编辑于2022年，星期六第三节离散化和线性化由于技术上的原因，现场或实验室的观测都是在有限区间上进行记录的（例如离散频率、固定带宽等），用以代替0，区间上的全部观测值。同时为了方便计算，将连续分布的物理特性p(z)用有限参数集来描述，例如用每一层具有特定密度和厚度的层状结构来描述地层，这种做法称为参数化参数化。在反演问题的离散形式中，若观测值与模型值不成正比，则其关系称为非线性非线性。第36页，共40页，编辑于2022年，星期六第三节离散化和线性化例如旅行时与速度的关系：若定义模型参数，则上面问题改写为：从而具有了d=Gm形式，现在的关系便成了线性，这种变换称为线性化参数化线性化参数化。不是所有的非线性问题都能很容易地变成线性问题。有些问题借助于Taylor展开可以线性化，但一些高度非线性化问题则不能线性化，例如电阻率测深问题。第37页，共40页，编辑于2022年，星期六第四节小结对于反演问题，怎么样描述与公式表达，主要考虑以下几个问题：1、应用哪种参数化方式离散的还是连续的2、地球物理数据的性质是什么？观测中的误差是什么？3、问题能不能作为数学问题提出，如果能够，它是不是适定的？4、对问题有无物理约束？5、能获得什么类型的解，达到什么精度？要求得到近似解、解的范围、还是精确解？第38页，共40页，编辑于2022年，星期六6、问题是线性的还是非线性的？7、问题是欠定的、超定的还是适定的？8、什么是问题的最优解法?9、解的置信界限是什么？能否用其他方法 来评价？第四节小结第39页，共40页，编辑于2022年，星期六对于反演问题来说，主要考察两个重点：非唯一性和不稳定性第四节小结一、为了控制唯一性，在地球物理反演过程中一般通过如下三个方面来研究特定反演问题的唯一性：1、通过采用不同的模来获得不同的模型，根据物理规律确定一个合理的解2、引入附加信息作为约束，减少多解性3、利用Backus和Gilbert法寻找模型的独特信 息 二、对于不稳定性问题，则采用不精确地求解方程来控制 第40页，共40页，编辑于2022年，星期六