动量传递方程的若干解PPT讲稿.ppt

动量传递方程的若干解第1页，共93页，编辑于2022年，星期五第一节第一节曳力系数与范宁摩擦因数曳力系数与范宁摩擦因数实际流体按流动方式可分为两类：实际流体按流动方式可分为两类：流体在封闭通道内的流动，如化工管路中的流体流动；流体在封闭通道内的流动，如化工管路中的流体流动；流体围绕浸没物体的流动流体围绕浸没物体的流动(绕流绕流)，如流体在平板壁面上的流动，流体与，如流体在平板壁面上的流动，流体与固体粒子之间的相对运动，流体在填充床内的流动，等。固体粒子之间的相对运动，流体在填充床内的流动，等。黏性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，由于流体黏性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，由于流体的黏性以及壁面对流动的阻滞作用，流体的速度分布与压力分布发的黏性以及壁面对流动的阻滞作用，流体的速度分布与压力分布发生变化，在流体与壁面之间发生动量传递作用，亦即相界面或壁面生变化，在流体与壁面之间发生动量传递作用，亦即相界面或壁面对流体流动产生阻力。流体会受到来自壁面的阻力，也称流体对壁对流体流动产生阻力。流体会受到来自壁面的阻力，也称流体对壁面施加的曳力面施加的曳力(dragforce)。流体与壁面之间的动量通量为。流体与壁面之间的动量通量为该式是阻力系数该式是阻力系数CD的一般定义是。的一般定义是。第2页，共93页，编辑于2022年，星期五一、绕流流动一、绕流流动以黏性流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动为例进行讨论。以黏性流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动为例进行讨论。流体对物体所施加的曳力用流体对物体所施加的曳力用牛顿阻力平方定律牛顿阻力平方定律表示表示 Fd-流体对物体施加的流体对物体施加的总曳力；总曳力；A-物体表面的受力面积物体表面的受力面积或与流体垂直方向上的投影面积；或与流体垂直方向上的投影面积；u0-远离物体表面的流体流速；远离物体表面的流体流速；CD-曳力系数曳力系数；-动能因子。动能因子。第3页，共93页，编辑于2022年，星期五形体曳力形体曳力Fdf(formdrag)：压力在物体表面上分布不均所引起的形体曳力。压力在物体表面上分布不均所引起的形体曳力。摩擦曳力摩擦曳力Fds(skindrag)：物体表面上剪应力所引起的摩擦曳力。物体表面上剪应力所引起的摩擦曳力。总曳力总曳力Fd由形体曳力由形体曳力Fdf和摩擦曳力和摩擦曳力Fds组成，即组成，即由式由式(3-1),(3-1),得得该式即为该式即为总曳力系数总曳力系数(平均曳力系数平均曳力系数)的定义式的定义式。第4页，共93页，编辑于2022年，星期五当压力在物体表面均匀分布时当压力在物体表面均匀分布时,只存在摩擦曳力只存在摩擦曳力,而无形体曳力而无形体曳力,如，流体如，流体在平壁面上的流动、流体平行流过导管壁面。在平壁面上的流动、流体平行流过导管壁面。此时式此时式(3-1)(3-1)与与CD的一般定义式的一般定义式(2-6)(2-6)相同，即相同，即如式中如式中s随壁面位置变化，则称其为动量通量的局部值，以随壁面位置变化，则称其为动量通量的局部值，以sx 表示，表示，相应的曳力系数称为局部曳力系数，以相应的曳力系数称为局部曳力系数，以CDx 表示，此时式表示，此时式(3-3)(3-3)变为变为绕流流动的曳力的最终归结为动量传递系数或曳力系数绕流流动的曳力的最终归结为动量传递系数或曳力系数CD的求解。的求解。第5页，共93页，编辑于2022年，星期五二、封闭管道内的流动二、封闭管道内的流动 流体在管道内的流动阻力表现为流体沿程的压降。以黏性流体流体在管道内的流动阻力表现为流体沿程的压降。以黏性流体在一水平直圆管内做稳态流动为例。在一水平直圆管内做稳态流动为例。任取一长为任取一长为L L、半径为、半径为r r的流体元：的流体元：推动力推动力摩擦阻力摩擦阻力在稳态下，流体不被加速，推动力与摩擦阻力在数值上相等，即在稳态下，流体不被加速，推动力与摩擦阻力在数值上相等，即令令 代入上式得代入上式得在壁面处，在壁面处，r=ri=d/2,上式为上式为第6页，共93页，编辑于2022年，星期五将式将式(3-5)(3-5)与式与式(3-6)(3-6)联立，得联立，得即，剪应力沿径向为线性分布。即，剪应力沿径向为线性分布。令令为管内流动压力降，则式为管内流动压力降，则式(3-6)(3-6)可写成可写成式式(3-9)(3-9)表明，管内流动的摩擦阻力表明，管内流动的摩擦阻力(压力降压力降)的求解依赖于壁面处的求解依赖于壁面处的动量通量的动量通量(壁面剪应力壁面剪应力)。对于管内流动，流体与管壁间的动量传递系数定义为对于管内流动，流体与管壁间的动量传递系数定义为ub-流体的平均流速；流体的平均流速；f-范宁范宁(Fanning)(Fanning)摩擦因数；摩擦因数；f ub/2-流体与壁流体与壁面之间的动量传递系数；面之间的动量传递系数；us-壁面处流速壁面处流速(us=0)第7页，共93页，编辑于2022年，星期五由式由式(3-10)(3-10)得到，得到，范宁范宁(Fanning)(Fanning)摩擦因数摩擦因数 的定义式的定义式将式将式(3-10)(3-10)代入式代入式(3-9),(3-9),得得式式(3-12)(3-12)称为计算管内摩擦压降的称为计算管内摩擦压降的达西达西(Darcy)公式公式。由式由式(3-12)(3-12)可知，管内流动摩擦压降的求解最终归结于动量传可知，管内流动摩擦压降的求解最终归结于动量传递系数或范宁摩擦因数递系数或范宁摩擦因数 f 的求解。的求解。第8页，共93页，编辑于2022年，星期五第二节第二节 平壁间与平壁面上的稳态层流平壁间与平壁面上的稳态层流一、两平壁间的稳态层流一、两平壁间的稳态层流特点：平壁的宽度远远大于平壁间的距离，认为平壁为无限宽，流特点：平壁的宽度远远大于平壁间的距离，认为平壁为无限宽，流体在平壁间的流动为一维稳态层流。体在平壁间的流动为一维稳态层流。设：流体为不可压缩，且所考察的部位远离流道进、出口设：流体为不可压缩，且所考察的部位远离流道进、出口。因因所以，所以，不可压缩流体不可压缩流体连续性方程式连续性方程式(2-20)(2-20)可简化为可简化为第9页，共93页，编辑于2022年，星期五因因 所以，所以，x方向不可压缩流体奈维方向不可压缩流体奈维-斯托克斯斯托克斯方程式方程式(2-45a)(2-45a)可简化为可简化为该式为一个二阶线性偏微分方程。该式为一个二阶线性偏微分方程。因因 ,所以式所以式(2-16a)(2-16a)的右侧的右侧 仅是仅是y 的函数，的函数，所以有所以有 。第10页，共93页，编辑于2022年，星期五因因同理，同理，z 方向不可压缩流体奈维方向不可压缩流体奈维-斯托克斯斯托克斯方程式方程式(2-45c)(2-45c)可简化为可简化为第11页，共93页，编辑于2022年，星期五因因同理，同理，y 方向不可压缩流体奈维方向不可压缩流体奈维-斯托克斯斯托克斯方程式方程式(2-45b)(2-45b)可简化为可简化为第12页，共93页，编辑于2022年，星期五偏微分方程式偏微分方程式(3-16a)(3-16a)式式(3-16c)(3-16c)的求解的求解由式由式(3-16b)(3-16b)可知，可知，p=p(x,y)，将式将式(3-16c)(3-16c)对对 y 积分，得积分，得上式对上式对 x 求偏导数求偏导数式式(3-17a)(3-17a)表明，表明，仅是仅是 x 的函数。的函数。第13页，共93页，编辑于2022年，星期五因因式式(3-16a)(3-16a)左侧仅是左侧仅是 x 的函数，右侧仅是的函数，右侧仅是 y 的函数，若式的函数，若式(3-16a)(3-16a)成立，必有成立，必有上式也可通过动压力表示的运动方程得到，即上式也可通过动压力表示的运动方程得到，即式式(3-18)(3-18)或式或式(3-19)(3-19)为二阶线性常微分方程，满足的边界条件为为二阶线性常微分方程，满足的边界条件为第14页，共93页，编辑于2022年，星期五积分式积分式(3-18)(3-18)，得，得将边界条件代入式将边界条件代入式(3-21)(3-21)，得，得因此，得因此，得式式(3-22)(3-22)表明，表明，不可压缩流体在平壁间做稳态平行层流时，如果忽不可压缩流体在平壁间做稳态平行层流时，如果忽略流道进、出口处的影响，则其速度分布呈抛物线形状。略流道进、出口处的影响，则其速度分布呈抛物线形状。当当 y=0时速度最大，即时速度最大，即第15页，共93页，编辑于2022年，星期五将式将式(3-22)(3-22)与式与式(3-23)(3-23)联立，得联立，得在流动方向上，取单位宽度的流通截面在流动方向上，取单位宽度的流通截面 A=2y01，则通过该，则通过该截面截面的体积流率的体积流率 Vs为为由式由式(3-22)(3-22)得得第16页，共93页，编辑于2022年，星期五由由 ub的定义，得的定义，得将式将式(3-23)(3-23)与式与式(3-27)(3-27)比较，得比较，得由式由式(3-27)(3-27)，可得，可得 x 方向上压力梯度方向上压力梯度流道为水平直管到，由上式可得流动阻力降计算式流道为水平直管到，由上式可得流动阻力降计算式第17页，共93页，编辑于2022年，星期五二、竖直平壁面上的降落液膜流动二、竖直平壁面上的降落液膜流动流体在重力作用下沿一垂直放置的固体壁面成膜状向下流动。流体在重力作用下沿一垂直放置的固体壁面成膜状向下流动。因液膜内流动速度很慢，为稳态层流流动。液膜的一侧紧贴壁面，因液膜内流动速度很慢，为稳态层流流动。液膜的一侧紧贴壁面，另一侧为自由液面。另一侧为自由液面。假定流体不可压缩、固体壁面很宽。假定流体不可压缩、固体壁面很宽。由于降落液膜为沿由于降落液膜为沿y 的一维流动，且有的一维流动，且有不可压缩流体连续性方程为不可压缩流体连续性方程为可简化为可简化为第18页，共93页，编辑于2022年，星期五由于由于 y 方向不可压缩流体的运动方程方向不可压缩流体的运动方程可简化为可简化为同理同理x、z 方向不可压缩流体的运动方程可化简为方向不可压缩流体的运动方程可化简为第19页，共93页，编辑于2022年，星期五由式由式(3-32a)(3-32a)可知可知p 仅与仅与y 有关，即有关，即p=f(y)。由于液膜外为自由液面，液面上。由于液膜外为自由液面，液面上流体压力与当地大气压相等，即流体压力与当地大气压相等，即 p=pa，p 亦与亦与y 无关。无关。于是于是，又因为，又因为，所以，所以，代入，代入式式(3-32)(3-32)，得得在壁面处，流体黏附于壁面，流速为零；液膜的外表面为自由表面在壁面处，流体黏附于壁面，流速为零；液膜的外表面为自由表面，满足，满足故式故式(3-34)(3-34)的边界条件为的边界条件为第20页，共93页，编辑于2022年，星期五将将式式(3-34)(3-34)分离变量积分分离变量积分由边界条件，求得积分常数由边界条件，求得积分常数最后得最后得即，降落液膜内的速度分布方程，为抛物线形状。即，降落液膜内的速度分布方程，为抛物线形状。第21页，共93页，编辑于2022年，星期五液膜内的主体流速液膜内的主体流速在在z 方向上取一单位宽度，并在液膜内的任意方向上取一单位宽度，并在液膜内的任意x 处取微分长度处取微分长度dx，则通过微元面积则通过微元面积dA=dx1的流速为的流速为uy，体积流率为，体积流率为dVs=uydx1。于是通过单位宽度截面的体积流率为。于是通过单位宽度截面的体积流率为根据主体平均流速的定义根据主体平均流速的定义代入式代入式(3-36)(3-36)，积分得，积分得由式由式(3-37)(3-37)，得液膜厚度的计算式，得液膜厚度的计算式第22页，共93页，编辑于2022年，星期五第三节第三节 圆管与套管环隙间的稳态流动圆管与套管环隙间的稳态流动一、圆管中的轴向稳态层流一、圆管中的轴向稳态层流 不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流流动，设所考察的部位不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流流动，设所考察的部位远离进出口，流动为沿轴向的一维流动。远离进出口，流动为沿轴向的一维流动。因因所以柱坐标系的连续性方程所以柱坐标系的连续性方程简化为简化为第23页，共93页，编辑于2022年，星期五柱坐标系柱坐标系的欧拉平衡微分方程的欧拉平衡微分方程动压力动压力柱坐标系柱坐标系的奈维的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程第24页，共93页，编辑于2022年，星期五用动压力表示的柱坐标系用动压力表示的柱坐标系的奈维的奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程第25页，共93页，编辑于2022年，星期五 考察考察z 方向的方向的奈维奈维-斯托克斯方程式斯托克斯方程式(3-41c)(3-41c)因因可简化可简化式式(3-41c)(3-41c)得得 z 方向的方向的奈维奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程同理得同理得、r 方向的方向的奈维奈维-斯托克斯方程斯托克斯方程第26页，共93页，编辑于2022年，星期五由由式式(3-42)(3-42)可知可知 pd仅是仅是 z的函数，与的函数，与、r 无关；无关；而由于而由于，所以，所以仅为仅为r 的函数，因此的函数，因此可写成二阶常微分方程可写成二阶常微分方程左侧为左侧为r 的函数，右侧为的函数，右侧为z 的函数，而的函数，而r、z 为独立变量，固有为独立变量，固有边界条件为边界条件为第27页，共93页，编辑于2022年，星期五对对式式(3-44)(3-44)积分求解积分求解积分，得积分，得由边界条件，得由边界条件，得最终得，不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流的速度分布式最终得，不可压缩流体在水平圆管中作稳态层流的速度分布式第28页，共93页，编辑于2022年，星期五在管中心处在管中心处 r=0 0，流体流速最大，流体流速最大将将式式(3-46)(3-46)与与式式(3-47)(3-47)联立，得联立，得圆管横截面积圆管横截面积 A，为，为微元面积微元面积 dA，为，为由管内主体流速定义，得由管内主体流速定义，得第29页，共93页，编辑于2022年，星期五所以，又有所以，又有将将式式(3-49)(3-49)代入代入式式(3-47)(3-47)，得，得 z 方向上的压力梯度表达式方向上的压力梯度表达式称为称为Hagen-Poiseuille方程，是计算管内层流压降的基本方程。方程，是计算管内层流压降的基本方程。第30页，共93页，编辑于2022年，星期五流体在圆管中做稳态层流流动时的范宁摩擦因数流体在圆管中做稳态层流流动时的范宁摩擦因数 f壁面处剪应力壁面处剪应力 s为为 代入式代入式(3-50)(3-50),得得将式将式(3-52)(3-52)代入代入 f 的定义式的定义式(3-11),(3-11),得得化工设计计算中，常用摩擦系数化工设计计算中，常用摩擦系数 ，与与f 的关系为的关系为第31页，共93页，编辑于2022年，星期五二、套管环隙间的轴向稳态层流二、套管环隙间的轴向稳态层流 有两根同心套管，内管的外半径有两根同心套管，内管的外半径 r1，外管的内半径，外管的内半径 r2，不可，不可压缩流体在两管环隙间沿轴向稳态流过。所考察的部位远离进、出压缩流体在两管环隙间沿轴向稳态流过。所考察的部位远离进、出口。口。描述圆管的微分方程式描述圆管的微分方程式(3-44)(3-44)仍适用仍适用该问题的边界条件为该问题的边界条件为第32页，共93页，编辑于2022年，星期五对式对式(3-44)(3-44)进行第一次积分，并代入边界条件进行第一次积分，并代入边界条件(3)(3)，可得，可得对式对式(3-54)(3-54)进行积分，得进行积分，得第33页，共93页，编辑于2022年，星期五根据边界条件根据边界条件(1)(1)，得，得速度分布式为速度分布式为根据边界条件根据边界条件(2)(2)，得，得速度分布式的另一形式为速度分布式的另一形式为第34页，共93页，编辑于2022年，星期五联立式联立式(3-55)(3-55)与式与式(3-56)(3-56)，得，得套管环隙内流动的主体流速套管环隙内流动的主体流速 ub 在套管环隙截面上，任取一微元面积在套管环隙截面上，任取一微元面积 dA=r drd，在该微元，在该微元面上的速度为面上的速度为uz，则，则将式将式(3-55)(3-55)或式或式(3-56)(3-56)代入上式积分，得代入上式积分，得 z 方向上的压力降方向上的压力降第35页，共93页，编辑于2022年，星期五三、同心套管环隙间的周向稳态层流三、同心套管环隙间的周向稳态层流(一一)速度分布速度分布 两个垂直的同心圆筒，内筒的半径为两个垂直的同心圆筒，内筒的半径为a a，外筒的半径为，外筒的半径为b b，在两，在两筒的环隙间充满不可压缩流体。内筒以角速度筒的环隙间充满不可压缩流体。内筒以角速度1 1外筒以角速度外筒以角速度2 2旋旋转转，当转速稳定后当转速稳定后，环隙间流体沿圆周方向绕轴线做稳态层流流动环隙间流体沿圆周方向绕轴线做稳态层流流动。若圆筒足够长，可以忽略端效应。若圆筒足够长，可以忽略端效应。已知已知所以，柱坐标系的连续性方程所以，柱坐标系的连续性方程可简化为可简化为第36页，共93页，编辑于2022年，星期五已知已知又由于又由于 r、坐标为水平方向，故坐标为水平方向，故 Xr=X =0 0，X z=g。所以，柱坐标系的所以，柱坐标系的 r 方向运动方程方向运动方程可简化为可简化为第37页，共93页，编辑于2022年，星期五柱坐标系的柱坐标系的 方向运动方程方向运动方程可简化为可简化为柱坐标系的柱坐标系的 z 方向运动方程方向运动方程可简化为可简化为第38页，共93页，编辑于2022年，星期五即，即，同心套管环隙间的周向稳态层流得运动方程为同心套管环隙间的周向稳态层流得运动方程为 r r方向方向即即:流体在旋转过程中流体在旋转过程中,其离心力其离心力 与径向压力梯度与径向压力梯度 相平衡。相平衡。z z方向方向表明：流体所受重力表明：流体所受重力 与轴向压力梯度与轴向压力梯度 相平衡。相平衡。方向方向这些相互平衡的作用力维持流体做稳态旋转运动。这些相互平衡的作用力维持流体做稳态旋转运动。第39页，共93页，编辑于2022年，星期五由于由于所以式所以式(3-61c)(3-61c)可写成常微分方程的形式可写成常微分方程的形式边界条件为边界条件为解式解式(3-62)(3-62)，由，由得得积分，得积分，得第40页，共93页，编辑于2022年，星期五所以，式所以，式(3-62)(3-62)的通解为的通解为由边界条件由边界条件(1)(1)和和(2)(2)，得，得因此，速度分布方程为因此，速度分布方程为或或第41页，共93页，编辑于2022年，星期五(二二)旋转黏度计原理旋转黏度计原理在在柱坐标中，柱坐标中，方向上的剪应力与形变速率的关系为方向上的剪应力与形变速率的关系为若若 ur=0 0，则，则又若又若 u与与 、z 无关，则无关，则第42页，共93页，编辑于2022年，星期五对于本问题对于本问题由此可知：由此可知：若若1 1 2 2，则，则若若1 1 2 2，则，则若若1 1=2 2，则，则第43页，共93页，编辑于2022年，星期五若旋转黏度计的外筒固定不动若旋转黏度计的外筒固定不动2=0，内筒以角速度，内筒以角速度1转动，转动，即即1 1 2 2，由式，由式(b)(b)可得可得作用于内圆筒外壁上的剪应力为作用于内圆筒外壁上的剪应力为设设旋转黏度计旋转黏度计圆筒长为圆筒长为 L，则作用于内筒外壁上的摩擦力为，则作用于内筒外壁上的摩擦力为式式(3-72a)(3-72a)可得内筒绕轴旋转的力矩为可得内筒绕轴旋转的力矩为因此因此第44页，共93页，编辑于2022年，星期五若旋转黏度计的内筒固定不动若旋转黏度计的内筒固定不动1=0，外筒以角速度，外筒以角速度2转动，转动，即即1 1 2 2，因因梯度方向与坐标梯度方向与坐标r 的方向相同，的方向相同，故由故由式式(c)(c)可知可知即，作用于外圆筒内壁上的剪应力为即，作用于外圆筒内壁上的剪应力为第45页，共93页，编辑于2022年，星期五设设旋转黏度计旋转黏度计圆筒长为圆筒长为 L，则作用于外筒内壁上的摩擦力为，则作用于外筒内壁上的摩擦力为由式由式(3-72b)(3-72b)可得外筒绕轴旋转的力矩为可得外筒绕轴旋转的力矩为因此因此当测定某液体的黏度时，规定外圆筒转速当测定某液体的黏度时，规定外圆筒转速 2测定相应的转动力矩测定相应的转动力矩Mor，由式，由式(3-74b)(3-74b)可计算待测液体的黏度。可计算待测液体的黏度。第46页，共93页，编辑于2022年，星期五第四节第四节 爬流爬流一、爬流的概念与爬流运动方程一、爬流的概念与爬流运动方程 爬流爬流(蠕动流，蠕动流，creepingflow)，指非常低速的流动。，指非常低速的流动。微细粒子在流体中的自由沉降、气溶胶粒子的运动以及某些润微细粒子在流体中的自由沉降、气溶胶粒子的运动以及某些润滑问题均属于典型的爬流问题。滑问题均属于典型的爬流问题。x 方向不可压缩流体的运动方程方向不可压缩流体的运动方程第47页，共93页，编辑于2022年，星期五式式(2-45a)(2-45a)左侧左侧每一项均为惯性力。用每一项均为惯性力。用 u 代表特征速度，代表特征速度，l 代表特征尺寸，则各惯代表特征尺寸，则各惯性力的量纲为性力的量纲为 。式式(2-45a)(2-45a)右侧右侧每一项均为黏性力，各黏性力的量纲为每一项均为黏性力，各黏性力的量纲为 。惯性力与黏性力之比惯性力与黏性力之比 对于流体黏性较大、特征尺寸较小或流速非常低的情况，对于流体黏性较大、特征尺寸较小或流速非常低的情况，Re数数很小很小(Re1)，即黏性力起主导作用。爬流是，即黏性力起主导作用。爬流是 Re 数非常低的流动数非常低的流动。实际应用中，通常把。实际应用中，通常把 Re 1的流动就看做的流动就看做爬流。爬流。第48页，共93页，编辑于2022年，星期五运动方程为运动方程为当当 Re 很低时，可将运动方程中的各项惯性力很低时，可将运动方程中的各项惯性力(包括重力包括重力)忽略，得忽略，得到不可压缩流体爬流的运动方程到不可压缩流体爬流的运动方程第49页，共93页，编辑于2022年，星期五向量式为向量式为连续性方程仍为连续性方程仍为式式(3-76)(3-76)与式与式(2-21)(2-21)构成了不可压缩流体做爬流流动时的线性偏微构成了不可压缩流体做爬流流动时的线性偏微分方程组。共有分方程组。共有4个方程，可解出个方程，可解出4个未知量个未知量 ux、uy、uz 和和p。第50页，共93页，编辑于2022年，星期五二、粒子在流体中的沉降与斯托克斯定律二、粒子在流体中的沉降与斯托克斯定律一个半径为一个半径为r0的球形粒子在静止的无界黏性不可压缩流体中以的球形粒子在静止的无界黏性不可压缩流体中以速度速度u0做匀速直线运动。做匀速直线运动。等价于：无穷远处速度为等价于：无穷远处速度为u0的黏性不可压缩流体绕过球形粒子的稳的黏性不可压缩流体绕过球形粒子的稳态流动。态流动。如图，坐标原点设在球心，如图，坐标原点设在球心，z 轴与均匀来流的运动方向一致。此绕轴与均匀来流的运动方向一致。此绕球流动为以球流动为以z 轴为对称轴的轴对称流动。轴为对称轴的轴对称流动。有题目已知：有题目已知：第51页，共93页，编辑于2022年，星期五由由球坐标系球坐标系一般流体运动方程式一般流体运动方程式(2-48)(2-48)r 分量分量可简化为可简化为第52页，共93页，编辑于2022年，星期五 分量分量可简化为可简化为第53页，共93页，编辑于2022年，星期五由由球坐标系球坐标系一般流体连续性方程式一般流体连续性方程式(2-23)(2-23)可简化为可简化为边界条件为边界条件为式式(3-77a)(3-77a)式式(3-77c)(3-77c)和和(3-78a)(3-78a)及及(3-78b)(3-78b)共同构成描述不可共同构成描述不可压缩流体绕球爬流规律的数学模型。压缩流体绕球爬流规律的数学模型。3 3个线性偏微分方程，确定个线性偏微分方程，确定3 3个未知量个未知量 。第54页，共93页，编辑于2022年，星期五解析解解析解由于式由于式(3-77a)(3-77a)式式(3-77c)(3-77c)是一组线性偏微分方程，故可采用分是一组线性偏微分方程，故可采用分离变量法求解此边值问题。离变量法求解此边值问题。将未知数表示为如下分离变量的形式将未知数表示为如下分离变量的形式将边界条件式将边界条件式(3-78b)(3-78b)代入式代入式(4a)(4a)、式、式(4b)(4b)中，得中，得将式将式(5)(5)和式和式(6)(6)代入式代入式(4a)(4a)、式、式(4b)(4b)中，得中，得第55页，共93页，编辑于2022年，星期五将式将式(7a)(7a)、式、式(7b)(7b)和式和式(4c)(4c)代入式代入式(3-77a)(3-77a)式式(3-77c)(3-77c)中中,如：如：由式由式(7a)(7a)、式、式(7b)(7b)和式和式(4c)(4c)，可得，可得代入连续性方程式代入连续性方程式(3-77a)(3-77a)得得第56页，共93页，编辑于2022年，星期五同理，代入同理，代入r 分量运动方程分量运动方程得得代入代入 分量运动方程分量运动方程得得第57页，共93页，编辑于2022年，星期五式式(8)(8)为一组常微分方程为一组常微分方程由式由式(8)(8)可以看出，要使可以看出，要使 p(r,)中的变量中的变量 得以分离，应取得以分离，应取将式将式(9)(9)代入式代入式(4c)(4c)得得第58页，共93页，编辑于2022年，星期五根据式根据式(9)(9)，式，式(8)(8)可转变为可转变为根据式根据式(7a)(7a)、式、式(7b)(7b)和式和式(10)(10)，边界条件，边界条件可转变为可转变为求解上述的二阶常微分方程边值问题即得流体绕球爬流问题的解。求解上述的二阶常微分方程边值问题即得流体绕球爬流问题的解。第59页，共93页，编辑于2022年，星期五函数函数 g 可根据式可根据式(11a)(11a)的第一个方程用的第一个方程用 f 表示，即表示，即将式将式(12)(12)代入式代入式(11a)(11a)的第三个方程，得用的第三个方程，得用 f 表示得表示得 h，即，即将式将式(12)(12)、式、式(13)(13)代入式代入式(11a)(11a)的第二个方程，得的第二个方程，得式式(14)(14)符合齐次符合齐次 Euler方程的形式，可用特定的方法解出函数方程的形式，可用特定的方法解出函数 f。将将 f 的表达式代入式的表达式代入式(12)(12)、式、式(13)(13)中，分别求得中，分别求得 g、h 的表达式。的表达式。最后将最后将 f、g、h 的表达式代入式的表达式代入式(7a)(7a)、式、式(7b)(7b)和式和式(10)(10)，得到球，得到球体周围流场中的速度分布和压力分布，即体周围流场中的速度分布和压力分布，即第60页，共93页，编辑于2022年，星期五(1)(1)流速与流体黏度无关；流速与流体黏度无关；(2)(2)流速的大小流速的大小 于球体上、下对称，即对称于于球体上、下对称，即对称于y y轴；轴；(3)(3)受球体的影响，流动受到阻滞，受球体的影响，流动受到阻滞，u 总是小于总是小于 u0 0；(4)(4)球体的影响一直扩展到较远的区域，在球体的影响一直扩展到较远的区域，在 r=10R 处，处，u 低低于于 u0 0 的最大幅度仍达的最大幅度仍达 15%15%；(5)(5)压压力偏差力偏差(p-p0)正比与流体黏度；正比与流体黏度；(6)(6)压压力偏差具有反对称性力偏差具有反对称性，即球的上半部分取负值即球的上半部分取负值(p p0)。这就表明这就表明上上、下球面的压力分布不对称下球面的压力分布不对称。第61页，共93页，编辑于2022年，星期五作绕球爬流的流体受到球体的阻力作用，与此相对应，球体则受作绕球爬流的流体受到球体的阻力作用，与此相对应，球体则受到流体的曳力作用。到流体的曳力作用。流体作用在球面上的应力分量有三个流体作用在球面上的应力分量有三个，分别为分别为 rrrr、r r、r r。对于不可压缩流体，各应力分量的表达式为对于不可压缩流体，各应力分量的表达式为对于绕球爬流这种轴对称流动，有对于绕球爬流这种轴对称流动，有所以由式所以由式(3-80c)(3-80c)，知，知第62页，共93页，编辑于2022年，星期五由于流体具有黏性，在球面上由于流体具有黏性，在球面上，于是在球面上有，于是在球面上有由由式式(3-77a)(3-77a)可以推出可以推出将以上各式代入式将以上各式代入式(3-80a)(3-80a)、式、式(3-80b)(3-80b)，经简化得，经简化得将式将式(3-79)(3-79)代入式代入式(3-81)(3-81)，并，并 r=r0 0，可得，可得第63页，共93页，编辑于2022年，星期五由此可知，流体作用于球体的曳力由两部分组成：由此可知，流体作用于球体的曳力由两部分组成：(1)(1)由于垂直作用于球面上的法向应力由于垂直作用于球面上的法向应力(只有压力，无附加法向应只有压力，无附加法向应 力力)的不对称分布所引起的形体曳力；的不对称分布所引起的形体曳力；(2)(2)由作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力。由作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力。因为流动对称与因为流动对称与z 轴，即球面上的轴，即球面上的rr和和r在在方向上无变化，方向上无变化，故两类应力在与故两类应力在与z 轴相垂直的方向上的合力均为零。又因粒子与流轴相垂直的方向上的合力均为零。又因粒子与流体在体在z方向上做相对运动，故方向上做相对运动，故作用作用在球体上的力全部沿在球体上的力全部沿z 轴方向。轴方向。令令Fdf 表示作用于球面上的法向应力引起的形体曳力，它等于此表示作用于球面上的法向应力引起的形体曳力，它等于此应力在应力在 z 方向上的合力，即方向上的合力，即第64页，共93页，编辑于2022年，星期五令令Fds 表示作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力，它等于此应表示作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力，它等于此应力在力在 z 方向上的合力，即方向上的合力，即用用Fd 表示流体作用于球体的总曳力，它等于形体曳力和摩擦曳表示流体作用于球体的总曳力，它等于形体曳力和摩擦曳力之和，即力之和，即式式(3-83)(3-83)称为称为StokesStokes方程，它表明流体作用于球体的曳力亦即球体方程，它表明流体作用于球体的曳力亦即球体作用于流体的阻力大小与球体的半径、流体的黏度及均匀来流的速作用于流体的阻力大小与球体的半径、流体的黏度及均匀来流的速度成正比。在总阻力中，形体阻力占度成正比。在总阻力中，形体阻力占1/31/3，摩擦阻力占，摩擦阻力占2/32/3。第65页，共93页，编辑于2022年，星期五由绕流流动的曳力系数的定义式，即由绕流流动的曳力系数的定义式，即得，爬流流动的曳力系数为得，爬流流动的曳力系数为当当Re1时，式时，式(3-84)(3-84)的结果与实验值吻合得很好。的结果与实验值吻合得很好。当当Re5时，奥森公式时，奥森公式的结果与实验值吻合得很好，即的结果与实验值吻合得很好，即第66页，共93页，编辑于2022年，星期五随着随着Re的变大，爬流条件不再成立。图的变大，爬流条件不再成立。图3-9给出粒子在流体中给出粒子在流体中沉降时曳力系数随沉降时曳力系数随Re变化的实验结果曲线。变化的实验结果曲线。第67页，共93页，编辑于2022年，星期五第五节第五节 势流势流 当流体在大当流体在大ReRe数下运动时，所受的惯性力作用要远大于黏性力数下运动时，所受的惯性力作用要远大于黏性力作用，此时除了贴近物体壁面的区域不能忽略黏性力的影响外，流作用，此时除了贴近物体壁面的区域不能忽略黏性力的影响外，流动的大部分区域可按理想流体处理。动的大部分区域可按理想流体处理。一、理想流体的运动方程一、理想流体的运动方程理想流体的黏度理想流体的黏度 =0=0，可将，可将Nivier-Stokes方程方程简化，即简化，即第68页，共93页，编辑于2022年，星期五写成向量形式写成向量形式上述方程称为上述方程称为Euler方程。方程。不可压缩流体的连续性方程仍为不可压缩流体的连续性方程仍为式式(3-86)(3-86)与式与式(2-20)(2-20)构成理想流体运动的偏微分方程组，构成理想流体运动的偏微分方程组，4 4个方程个方程，可解出，可解出 4 4个未知量个未知量 ux、uy、uz 和和 p。第69页，共93页，编辑于2022年，星期五二、流体的旋度与速度势函数二、流体的旋度与速度势函数在流场中，流体微团若具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是有旋的，在流场中，流体微团若具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是有旋的，简称旋流。简称旋流。在流场中，流体微团若不具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是无在流场中，流体微团若不具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是无旋的。无旋流动也叫有势流动，简称势流。旋的。无旋流动也叫有势流动，简称势流。(一一)流体的旋度流体的旋度描述流体质点旋转性质的物理量称为旋度，其定义为描述流体质点旋转性质的物理量称为旋度，其定义为对于在重力场作用下的理想不可压缩流体而言，如果初始流动对于在重力场作用下的理想不可压缩流体而言，如果初始流动是有旋的，则将一直保持有旋状态；如果初始流动是无旋的，则将是有旋的，则将一直保持有旋状态；如果初始流动是无旋的，则将一直保持无旋状态。一直保持无旋状态。第70页，共93页，编辑于2022年，星期五(二二)速度势函数速度势函数以流体沿以流体沿x x、y y方向的二维流动为例，在此有方向的二维流动为例，在此有 。当流动无旋时，式当流动无旋时，式(3-87)(3-87)变为变为 即即 令令代入式代入式(3-89)(3-89)，得，得 或或第71页，共93页，编辑于2022年，星期五上式积分，得上式积分，得令积分常数等于零，则令积分常数等于零，则式式(3-90a)(3-90a)、式、式(3-90b)(3-90b)中的中的 (x,y)称为速度势函数。称为速度势函数。速度势函数存在的唯一条件是流动必须是无旋的速度势函数存在的唯一条件是流动必须是无旋的(或有势的或有势的)。在三维无旋流动中，也存在相应的速度势函数在三维无旋流动中，也存在相应的速度势函数 (x,y,z)，即，即速度势函数与速度向量的关系为速度势函数与速度向量的关系为即速度势函数的梯度为流体的速度向量。即速度势函数的梯度为流体的速度向量。第72页，共93页，编辑于2022年，星期五三、势流的求解三、势流的求解不可压缩流体的大不可压缩流体的大Re数流动，可当作是不可压缩的理想流体的数流动，可当作是不可压缩的理想流体的流动，描述其规律的一组特定方程为流动，描述其规律的一组特定方程为这是一组非线性偏微分方程，仍无法求出简化方程通解，只能求出这是一组非线性偏微分方程，仍无法求出简化方程通解，只能求出这组方程的特解。这组方程的特解。这里仅讨论不可压缩理想流体的稳态无旋流动。这里仅讨论不可压缩理想流体的稳态无旋流动。第73页，共93页，编辑于2022年，星期五将速度势函数定义式将速度势函数定义式(3-90)(3-90)代入不可压缩流体的连续性方程代入不可压缩流体的连续性方程得得或或为二阶线性偏微分方程，称为为二阶线性偏微分方程，称为Laplace方程。如果方程。如果 1、2、n是方程是方程(3-92)(3-92)的解，则的解，则为方程为方程(3-92)(3-92)的通解。的通解。求出求出 后，再按式后，再按式(3-90)(3-90)求出速度分布，求出速度分布，然后由然后由 Euler方程方程(3-86)(3-86)求出压力分布。求出压力分布。第74页，共93页，编辑于2022年，星期五以不可压缩