第一章 复数与复变函数精选PPT.ppt

第一章复数与复变函数第1页，本讲稿共116页学习本课程的基本要求和注意事项课前课后应做好预习和复习；课前课后应做好预习和复习；按时、准时上课，不得无故迟到、早退按时、准时上课，不得无故迟到、早退和缺席；和缺席；加强点名加强点名；上课认真听讲，保持良好的课堂秩序；上课认真听讲，保持良好的课堂秩序；课后按时完成作业；课后按时完成作业；严格执行学校有关课堂教学的规章制度。严格执行学校有关课堂教学的规章制度。第2页，本讲稿共116页复变函数与积分变换教材：教材：复变函数与积分变换复变函数与积分变换（第二版），哈（第二版），哈尔滨工业大学数学系组编，盖云英、包革尔滨工业大学数学系组编，盖云英、包革军编，科学出版社，军编，科学出版社，2007年。年。第3页，本讲稿共116页对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变函数之间的相互依赖关系，研究复变函数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分具体地就是复数域上的微积分.主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射等共形映射等.复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、第4页，本讲稿共116页学习方法复变函数中许多概念、理论、和复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似广和发展，它们之间有许多相似之处之处.但又有不同之处，在学习但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结意复数域上特有的那些性质与结果果.第5页，本讲稿共116页背景 复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域到复数域.但在十八世纪以前，由于对复数的概念及但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的不能接受的“虚数虚数”.直到十八世纪，直到十八世纪，J.DAlembert与与L.Euler等人逐步阐明等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展立和发展.第6页，本讲稿共116页复变函数的理论基础奠定于十九世纪复变函数的理论基础奠定于十九世纪.A.L.Cauchy和和K.Weierstrass分分别应别应用用积积分和分和级级数研究数研究复复变变函数，函数，G.F.B.Riemann研究复研究复变变函数的映照性函数的映照性质。他质。他们是这一时期的三位代表人物们是这一时期的三位代表人物.经过他们的巨大努力，复经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用很多的应用.二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切日益密切.第7页，本讲稿共116页第一章复数与复变函数复数复数:形如形如:z=x+iy或或z=x+yi的数，其中的数，其中x和和y是任是任意意的的实实数，数，i是虚数单位是虚数单位(-1的平方根）的平方根）.x和和y分别称为的实部和虚部，分别记作：分别称为的实部和虚部，分别记作：注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等.如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.第8页，本讲稿共116页虚数单位的特性:第9页，本讲稿共116页2.复数的四则运算复数的四则运算定义为：全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域.记为C，复数域可以看成实数域的扩张.注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.第10页，本讲稿共116页z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，第11页，本讲稿共116页例题：解解第12页，本讲稿共116页1.2复平面复数的向量表示法第13页，本讲稿共116页oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数称向量的长度为复数z=x+iy的的模模或或绝对值绝对值；以正实轴以正实轴为始边为始边,以以为终边的角的为终边的角的弧度数弧度数称为复数称为复数z=x+iy的的辐角辐角.(z0时时)复数的模与辐角第14页，本讲稿共116页辐角无穷多：辐角无穷多：Argz=0+2k，kZ，把其中满足把其中满足的的0称为辐角称为辐角Argz的主值，的主值，记作记作0=argz.z=0z=0时，辐角不确定时，辐角不确定.计算计算argz(z0)的公式的公式第15页，本讲稿共116页三角表示根据直角坐标与极坐标的关系，非零复数根据直角坐标与极坐标的关系，非零复数的三角表示定义为：的三角表示定义为：第16页，本讲稿共116页指数表示第17页，本讲稿共116页加法与减法加法与减法 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致算一致.第18页，本讲稿共116页关关于于两两个个复复数数的的和和与与差差的的模模，有有以以下下不不等式：等式：第19页，本讲稿共116页例题第20页，本讲稿共116页2第21页，本讲稿共116页1.3共轭复数共轭复数的性质定义若z=x+iy,称z=xiy为z 的共轭复数.(conjugate)第22页，本讲稿共116页第23页，本讲稿共116页例1.3.1试用复数表示圆的方程:其中，其中，a,b,c,d是实常数。是实常数。解：利用解：利用第24页，本讲稿共116页定理定理1 1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘两个复数乘积积的的辐辐角等于它角等于它们们的的辐辐角相加角相加.证明证明 ：设设z z1 1=r r1 1(cos(cos1 1+i isinsin1 1)=)=r r1 1e eii1 1 z z2 2=r r2 2(cos(cos2 2+i isinsin2 2)=)=r r2 2e eii2 2 则则 z z1 1z z2 2=r r1 1r r2 2(cos(cos1 1+i isinsin1 1)(cos)(cos2 2+i isinsin2 2)=r r1 1r r2 2cos(cos(1 1+2 2)+)+i isin(sin(1 1+2 2)=r r1 1r r2 2e ei i(1+1+2)2)1.4 乘方与开方因此因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第25页，本讲稿共116页几何意义：几何意义：将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍倍.定理定理1可推广到可推广到n 个复数的乘积个复数的乘积.oxy(z)z1z2z2第26页，本讲稿共116页定理定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差数的辐角之差.于是于是Argz=Argz2-Argz1即即由复数除法的定义由复数除法的定义z=z2/z1，即，即z1z=z2|z|z1|=|z2|及及Argz1+Argz=Arg z2（z10）证明第27页，本讲稿共116页第28页，本讲稿共116页由公式有：由三个是内角容易得到：第29页，本讲稿共116页例作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。第30页，本讲稿共116页作出过不共线三点a,b,c的圆的表示式。a,c,b,z构成一个圆内接四边形第31页，本讲稿共116页复数的乘方利用复数的三角表示，我们也可以考虑复利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘方：数的乘方：rn ein特别：当特别：当|z|=1时，即：时，即：zn=cosn+isinn，则有，则有(cos+isin)n=cosn+isinn ein-DeMoivre公式公式(n对所有整数成立对所有整数成立).（n为正整数）为正整数）第32页，本讲稿共116页问题问题给定复数给定复数z=re i ，求所有的满足，求所有的满足n=z 的复数的复数.复数的方根（开方）（开方）乘方的逆运算乘方的逆运算当当z0时，有时，有n个不同的个不同的值与值与相对应，每一相对应，每一个这样的个这样的值都称为值都称为z 的的n次方根，次方根，第33页，本讲稿共116页 当当k=0=0，1 1，n-1-1时，可得时，可得n个不同的根，而个不同的根，而k取其取其它整数时，这些根又会重复出现它整数时，这些根又会重复出现.几何上，的n个值是以原点为中心，为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.xyo第34页，本讲稿共116页第35页，本讲稿共116页复球面与无穷远点第36页，本讲稿共116页0N1.5复球面与无穷远点第37页，本讲稿共116页x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点,记作.这样的球面称作复球面.第38页，本讲稿共116页扩充复数域-引进一个“新”的数:扩充复平面-引进一个“理想点”:无穷远点.约定:称称为扩充复平面，记为为扩充复平面，记为。关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：第39页，本讲稿共116页1.6复平面上的点集第40页，本讲稿共116页1.6复平面上的点集第41页，本讲稿共116页1.6复平面上的点集内点内点：设D为一个平面点集，z0有一个领域全包含于D内，则称z0为D的内点。开集：开集：若D内的每一点都是内点，则称D是开集.边界点边界点：若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；边界：边界：D的所有边界点组成D的边界，记为。D-区域内点外点P第42页，本讲稿共116页1.6复平面上的点集有界集有界集：若存在：若存在M 0,对任意对任意z D,均有均有|z|M，则，则D是有界是有界区域区域；否则为；否则为无界集无界集.即，若存在一个以原点为中心的圆盘包含即，若存在一个以原点为中心的圆盘包含D，则称，则称D为有界集，否则称为无界集为有界集，否则称为无界集例如，复平面、实轴、虚轴是无界集，复例如，复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。平面是无界开集。zxy有界！o第43页，本讲稿共116页1.6复平面上的点集点集点集D和平面上一点（不必属于和平面上一点（不必属于D）之间的）之间的关系进行考虑，若的关系进行考虑，若的z0任何邻域都有任何邻域都有D的无的无穷多个点，称为穷多个点，称为极限点（或聚点）极限点（或聚点）。例如，集合例如，集合E=z|0|z-a|0,集合称为无穷远点的一个r邻域。第46页，本讲稿共116页区域第47页，本讲稿共116页定义区域:如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它为一则称它为一个区域个区域.(1)D是一个是一个开集开集；(2)D是是连通的连通的,就是说就是说D中任何两中任何两点都可以用完全属于点都可以用完全属于D的一条折线的一条折线连结起来连结起来.区域D加上加上D的边界称为闭域。记为的边界称为闭域。记为 DD+Dz1z2D第48页，本讲稿共116页说明说明(2)区域的边界可能是由区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点几条曲线和一些孤立的点所组成的所组成的.(1)区域都是开的区域都是开的.以上基本概念的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界不包含边界！第49页，本讲稿共116页第50页，本讲稿共116页(1)圆环域圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:答案答案(1)有界有界;(2)(3)(4)无界无界.第51页，本讲稿共116页定义定义1.7连续曲线连续曲线:平面曲线平面曲线C的复数表示的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z()C终点z()zxyCC的正向：起点终点o第52页，本讲稿共116页没有重点的曲线没有重点的曲线C 称为简单称为简单曲线曲线(或若尔当曲线或若尔当曲线).).重点重点重点重点换句话说换句话说,简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交.z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线第53页，本讲稿共116页光滑曲线第54页，本讲稿共116页光滑曲线如果如果和和都在闭区间都在闭区间a,b上连续，且上连续，且有连续的导函数，在有连续的导函数，在a,b上，上，则称集合则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。光滑曲线。由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为称为按段光滑曲线按段光滑曲线.第55页，本讲稿共116页简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质若尔当定理若尔当定理 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C 将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成C C,I I(C C),),E E(C C)三个互不相交的点集三个互不相交的点集.满满足：足：I(C)E(C)边界（1）I I(C C)是一个有界区域是一个有界区域（称为（称为C C的内部）的内部）.（2）E E(C C)是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）.（3）若简单折线）若简单折线P的一个断点属于的一个断点属于I(C)，另一个端点，另一个端点属于属于E(C)，则，则P必与必与C相交相交.（4）C是是I(C)，E(C)的公共边界的公共边界.第56页，本讲稿共116页课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?是否为简单闭曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭第57页，本讲稿共116页区域的连通性:设设D是一个区域，在复平面是一个区域，在复平面C上，如果上，如果D内内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于都属于D，则称，则称D是单连通区域是单连通区域;否则称否则称D是多连通区域。是多连通区域。第58页，本讲稿共116页第59页，本讲稿共116页三、典型例题例1指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解解无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).第60页，本讲稿共116页是角形域是角形域,无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).无界的多连通域无界的多连通域.第61页，本讲稿共116页表示到表示到1,1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹,是椭圆是椭圆,有界的单连通域有界的单连通域.第62页，本讲稿共116页有界的单连通域有界的单连通域.第63页，本讲稿共116页例2解解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线,不是区域不是区域.单连通域单连通域.第64页，本讲稿共116页是多连通域是多连通域.不是区域不是区域.第65页，本讲稿共116页第66页，本讲稿共116页单连通域单连通域.第67页，本讲稿共116页第68页，本讲稿共116页1.7复变函数1.复变函数的定义复变函数的定义:第69页，本讲稿共116页1.7复变函数第70页，本讲稿共116页1.7复变函数例1例2第71页，本讲稿共116页第72页，本讲稿共116页反函数对于集合对于集合G*中的每一个中的每一个w w,一定存在一个或一定存在一个或者多个者多个z值与之对应，这就定义了值与之对应，这就定义了G*上的一上的一个函数，个函数，z=y y(w w),称为函数称为函数w wf(z)的的反函数反函数。当当f(z)为单值函数时，其反函数为单值函数时，其反函数y y(w w)可能是可能是单值也可能是多值的，如单值也可能是多值的，如f(z)=z2的反函数是的反函数是双值的。双值的。当函数及其反函数都是单值函数时，称这当函数及其反函数都是单值函数时，称这种函数是种函数是双方单值的双方单值的。第73页，本讲稿共116页oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域函数值集合函数值集合映射的概念zw=f(z)w原像像点第74页，本讲稿共116页两个特殊的映射:第75页，本讲稿共116页且是全同图形且是全同图形.第76页，本讲稿共116页第77页，本讲稿共116页根据复数的乘法公式可知根据复数的乘法公式可知,第78页，本讲稿共116页(如下页图如下页图)第79页，本讲稿共116页oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4第80页，本讲稿共116页W将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形一个长方形.第81页，本讲稿共116页第82页，本讲稿共116页解解例1还是线段还是线段.第83页，本讲稿共116页例1解解第84页，本讲稿共116页例1解解仍是扇形域仍是扇形域.第85页，本讲稿共116页例2解解第86页，本讲稿共116页所以象的参数方程为第87页，本讲稿共116页复变函数的极限与连续第88页，本讲稿共116页复变函数的极限与连续1.函数极限的定义函数极限的定义:注意注意:一一.函数极限函数极限:第89页，本讲稿共116页极限的几何意义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进一旦进入入z0的充分小去的充分小去心邻域时心邻域时,它的象它的象点点f(z)就落入就落入A的的一个预先给定的一个预先给定的邻域中邻域中第90页，本讲稿共116页定理与实变函数的极限性质类似与实变函数的极限性质类似.惟一性复合运算等第91页，本讲稿共116页极限计算的性质定理定理证证根据极限的定义根据极限的定义(1)必要性必要性.第92页，本讲稿共116页(2)充分性充分性.第93页，本讲稿共116页证毕证毕说明说明第94页，本讲稿共116页第95页，本讲稿共116页例证证(一一)第96页，本讲稿共116页根据定理一可知根据定理一可知,证证(二二)第97页，本讲稿共116页第98页，本讲稿共116页例证证第99页，本讲稿共116页根据定理一可知根据定理一可知,第100页，本讲稿共116页函数的连续性第101页，本讲稿共116页函数的连续性1.连续的定义连续的定义:连续的三要素:（1）f(z)在在z0处有定义处有定义（2）f(z)在在z0处有极限处有极限（3）f(z)在在z0处的极限值等于函数值处的极限值等于函数值第102页，本讲稿共116页2.连续函数的性质定理第103页，本讲稿共116页例如例如,第104页，本讲稿共116页例证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明xy(z)ozz第105页，本讲稿共116页例例试证：试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续在原点无极限，从而在原点不连续证证1：证证2：见书本：见书本第106页，本讲稿共116页例证证第107页，本讲稿共116页第108页，本讲稿共116页小结与思考（1）本课学习了复数的有关概念、性质及）本课学习了复数的有关概念、性质及其运算其运算.重点掌握复数的运算；重点掌握复数的运算；（2）理解区域的有关概念）理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域、理解单连通域与多连通区域、无界区域、理解单连通域与多连通域域.（3）介绍了复球面和扩充复平面。）介绍了复球面和扩充复平面。第109页，本讲稿共116页小结与思考（5）.通过本课的学习通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质续性的运算法则与性质.注意注意:复变函数极限的定义与一元实变函数复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很但在实质上有很大的差异大的差异,它较之后者的要求苛刻得多它较之后者的要求苛刻得多.（4）.复变函数以及映射的概念是本章的一个重复变函数以及映射的概念是本章的一个重点点.注意：注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的只要将后者定义中的“实数实数”换为换为“复数复数”就行了就行了.第110页，本讲稿共116页DAlembery,JeanleRond（1717-1783）事迹事迹:1.17391740年，他向巴黎科学院提交了关于固体在液体中的年，他向巴黎科学院提交了关于固体在液体中的运动及积分学的两篇论文，而被选为科学院院士。运动及积分学的两篇论文，而被选为科学院院士。2.1754年，他成为法国科学院的年，他成为法国科学院的终身秘书终身秘书，是当时法国科，是当时法国科学界最有影响的人。学界最有影响的人。3.他不仅是数学家，也是力学家和和哲学家。他赞成感性他不仅是数学家，也是力学家和和哲学家。他赞成感性学说，反对笛卡儿的天赋观念。他承认事物、现象是客观存学说，反对笛卡儿的天赋观念。他承认事物、现象是客观存在的，还与法国唯物主义哲学家狄德罗共同编纂了在的，还与法国唯物主义哲学家狄德罗共同编纂了百科全百科全书书。著作著作:1.1743年出版年出版动力学动力学。2.1744年出版年出版流体的平衡和运动流体的平衡和运动。3.1747年，发表了两篇论文：一篇是关于喷流反射的文章，文年，发表了两篇论文：一篇是关于喷流反射的文章，文中首先在数学物理中应用偏微分方程；另一篇是关于弦振动的，中首先在数学物理中应用偏微分方程；另一篇是关于弦振动的，其中第一次采用波动方程。其中第一次采用波动方程。4.1749年，又发表了有关天体力学的多篇论文。其后，他更出版了多年，又发表了有关天体力学的多篇论文。其后，他更出版了多本的文集及巨著，是位多产科学家。本的文集及巨著，是位多产科学家。第111页，本讲稿共116页DAlembery,JeanleRond（1717-1783）特别的故事特别的故事:他是被遗弃在教堂附近的贵族妇人的私生他是被遗弃在教堂附近的贵族妇人的私生子，被人捡起，当时就以发现他的地方作子，被人捡起，当时就以发现他的地方作为他的姓名。为他的姓名。DAlembery,JeanIeRondy：1.极限概念极限概念:达朗贝尔是当时唯一把微分看达朗贝尔是当时唯一把微分看成是函数极限的数学家。成是函数极限的数学家。2.级数理论级数理论:订定达朗贝尔判别式。订定达朗贝尔判别式。3.微分方程微分方程:达朗贝尔首先将二阶微分方程达朗贝尔首先将二阶微分方程降阶为一般形式的方程，并命名为黎卡提降阶为一般形式的方程，并命名为黎卡提(Riccati)方程。并且首先提出了波动方程。方程。并且首先提出了波动方程。back第112页，本讲稿共116页欧拉(Euler)瑞士数学家及自然科学家。瑞士数学家及自然科学家。1707年年4月月15日出生於瑞士的巴日出生於瑞士的巴塞尔，塞尔，1783年年9月月18日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧日於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭，自幼受父亲的教育。师家庭，自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学，岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，岁大学毕业，16岁获硕士学位。岁获硕士学位。欧拉是欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，课本，无穷小分析引论无穷小分析引论、微分学原理微分学原理、积分积分学原理学原理等都成为数学中的经典著作。等都成为数学中的经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支欧拉对数学的研究如此广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。理。back第113页，本讲稿共116页柯西柯西Cauchy生平：法国数学家、力学家。生平：法国数学家、力学家。1789年年8月月21日生于巴日生于巴黎，黎，1857年年5月月23日卒于索镇。日卒于索镇。1805年入巴黎综合工年入巴黎综合工科学校科学校学习，两年后转到桥梁工程学校，学习，两年后转到桥梁工程学校，1809年成年成为工程师。为工程师。1813年放弃工程师的职业，从事理论科年放弃工程师的职业，从事理论科学研究。学研究。1816年年成为巴黎综合工科学校教授，并当成为巴黎综合工科学校教授，并当选为法国科学院院士。选为法国科学院院士。1830年，查理十世被逐，柯西年，查理十世被逐，柯西拒绝效忠新的国王，因此失拒绝效忠新的国王，因此失去所有职务，并流亡国外。去所有职务，并流亡国外。在此期间，曾任原国王查理十世的家庭教师。在此期间，曾任原国王查理十世的家庭教师。1848年恢年恢复综合工科学校教授职务，复综合工科学校教授职务，并任巴黎大学教授。并任巴黎大学教授。第114页，本讲稿共116页柯西柯西Cauchy柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯的著作。柯西最重的数学贡献在拉普拉斯的著作。柯西最重的数学贡献在微积分、复变函数和微分方程等方面。他微积分、复变函数和微分方程等方面。他还给出了如今通用的函数连续性的概念，还给出了如今通用的函数连续性的概念，给给出定积分的第一个确切定义，以及广义出定积分的第一个确切定义，以及广义积分的定义等。在复变函数论方面，他系积分的定义等。在复变函数论方面，他系统地总结了复数理论，探讨了统地总结了复数理论，探讨了柯西黎曼柯西黎曼条件，建立了柯西积分定理和公式，还研条件，建立了柯西积分定理和公式，还研究了留数定理。在微分方程方面，柯西深究了留数定理。在微分方程方面，柯西深入考察了解的存入考察了解的存在唯一性定理等。在唯一性定理等。back第115页，本讲稿共116页黎曼19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼黎曼1826年年9月月17日生于汉诺威的布列斯伦茨，日生于汉诺威的布列斯伦茨，1866年年7月月20日卒于意大利的塞那斯加，终年日卒于意大利的塞那斯加，终年40岁。岁。黎曼早年从父亲和一位当地教师那里接受初等教育，黎曼早年从父亲和一位当地教师那里接受初等教育，中学时代就热衷于课程之外的数学。中学时代就热衷于课程之外的数学。1846年入格廷根年入格廷根大学读神学与哲学，后来转学数学；大学读神学与哲学，后来转学数学；1851年以关于复年以关于复变函数与黎曼曲面的论文获博士学位；变函数与黎曼曲面的论文获博士学位；1854年年6月成月成为格丁根大学的讲师；为格丁根大学的讲师；1857年升为副教授；年升为副教授；1859年接替年接替狄利克莱成为教授；狄利克莱成为教授；1862年年7月以后因患肋膜炎及结核病月以后因患肋膜炎及结核病在意大利疗养。在意大利疗养。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于概念的创造黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于概念的创造与想象，黎曼的工作直接影响了与想象，黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学世纪后半期的数学发展。发展。back第116页，本讲稿共116页