第一节向量组及其线性组合精选PPT.ppt
第一节向量组及其线性组合第1页，本讲稿共31页 教学目的：教学目的：通过本章的教学使学生理解向量组线性相通过本章的教学使学生理解向量组线性相关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相关性关性.掌握向量组的极大无关组和向量组的秩掌握向量组的极大无关组和向量组的秩.了解向量空了解向量空间的概念，熟练掌握向量空间的基和空间中的向量用这个间的概念，熟练掌握向量空间的基和空间中的向量用这个基线性表示基线性表示.教学要求：教学要求：会判断向量组的线性相关性；会求向量空间的基和会判断向量组的线性相关性；会求向量空间的基和空间中的向量用这个基线性表示空间中的向量用这个基线性表示.教学重点：教学重点：向量组线性相关性的判定；向量空间基的向量组线性相关性的判定；向量空间基的求法求法.教学难点：教学难点：向量组线性相关性定理的证明向量组线性相关性定理的证明.2第2页，本讲稿共31页定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量，实向量，一、一、维向量的概念维向量的概念第3页，本讲稿共31页例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量第4页，本讲稿共31页二、二、维向量的表示方法维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如：第5页，本讲稿共31页注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.第6页，本讲稿共31页 2、n维向量的运算维向量的运算 定义定义2.2 设设n维向量维向量 1)=,当且仅当当且仅当ai=bi(i=1,2,n);2)+=(a1+b1,a2+b2,an+bn);3)k=(ka1,ka2,kan),其中其中 k 是数量是数量.=(a1,a2,an);注：注：如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的如上定义的向量加法和数乘的运算统称为向量的线性运算线性运算.=(b1,b2,bn);第7页，本讲稿共31页 n维向量的运算律维向量的运算律 设设 ,为为n维向量，维向量，k、l为实数，为实数，0为零向量为零向量.1)+=+;2)+=+(+);3)+0=;4)+()=0;5)1=;6)k(l )=(k l);7)k (+)=k+k;8)(k+l)=k+l.第8页，本讲稿共31页例例1.1 计算设 求 1）2）3.解解 +2 ;3 +2 第9页，本讲稿共31页向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系三、向量空间三、向量空间第10页，本讲稿共31页空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面一一对应一一对应第11页，本讲稿共31页叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时，维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面第12页，本讲稿共31页确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义第13页，本讲稿共31页定义定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组例如例如三、向量、向量组与矩阵三、向量、向量组与矩阵第14页，本讲稿共31页向量组向量组 ,，称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组第15页，本讲稿共31页 反之，反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵个矩阵.第16页，本讲稿共31页线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应第17页，本讲稿共31页定义定义线性组合线性组合四四 向量组的线性组合向量组的线性组合第18页，本讲稿共31页 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示第19页，本讲稿共31页定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价第20页，本讲稿共31页 若向量组若向量组1,2,s能由向量组能由向量组1,2,t 线性线性表示，向量组表示，向量组1,2,t 又能向量组又能向量组1,2,p线线性表示性表示.则向量组则向量组1,2,s必能由向量组必能由向量组1,2,p线性表示线性表示.这一结论称为向量组线性表示的这一结论称为向量组线性表示的传递性传递性.容易证明向量组的等价关系具有容易证明向量组的等价关系具有反身性、对称性和传反身性、对称性和传递性递性.第21页，本讲稿共31页第22页，本讲稿共31页从而从而第23页，本讲稿共31页第24页，本讲稿共31页第25页，本讲稿共31页第26页，本讲稿共31页第27页，本讲稿共31页第28页，本讲稿共31页第29页，本讲稿共31页第30页，本讲稿共31页第31页，本讲稿共31页
