113导数的几何意义 (2).ppt

1.1.31.1.3导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾平均变化率平均变化率函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:割线的斜率割线的斜率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y回顾回顾以平均速度代替瞬时速度，然后通过以平均速度代替瞬时速度，然后通过求极限，求极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从从函函数数y=f(x)在在x=x0处处的的瞬瞬时时变变化化率率是是:由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本方法是导数的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾PPnoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义导数的几何意义:我们发现我们发现,当点当点Pn沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点P即即x0时时,割线割线P Pn趋近于确定位置趋近于确定位置PT.则我们把则我们把直线直线PT称为曲线在点称为曲线在点P处的处的切线切线.问题问题:割线割线PPn的斜率的斜率kn与切线与切线PT的斜率的斜率k有什么关系有什么关系?割线割线PPn的斜率的斜率:设相对于设相对于 的增加量为的增加量为 ,则则 当点当点P Pn n无限趋近于点无限趋近于点P P即即x0 x0时时,k kn n无限趋近于切线无限趋近于切线PTPT的斜率的斜率k.k.那么当那么当x0时时,割线割线PPn的斜率的斜率,称为曲线在点称为曲线在点P处处的的切线的斜率切线的斜率.即即:这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=xx=x0 0处的导数处的导数.PQoxyy=f(x)割割线线切切线线T因此因此,函数函数f(x)在在x=x0 0处的处的导数就是切线导数就是切线PT的斜率的斜率.“在在”点点P处的处的切线的斜率切线的斜率.注意：注意：曲线在某点处的切线，曲线在某点处的切线，1)与该点的位置有关与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在此点有切线则在此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3)曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.圆的切线定义并不适用于圆的切线定义并不适用于一般的曲线。一般的曲线。通过通过逼近逼近的方法，将的方法，将割线割线趋于的确定位置的直线趋于的确定位置的直线定义定义为切线为切线（交点可能不惟一）（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的种定义才真正反映了切线的直观本质。直观本质。;根据导数的几何意义，在点根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以附近，曲线可以用在点用在点P处的切线近似代替处的切线近似代替。大多数大多数函数曲线函数曲线就就一小范围一小范围来看，大致可看来看，大致可看作作直线，直线，所以，所以，某点附近的曲线可以用过此点某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即的切线近似代替，即“以直代曲以直代曲”（以简单（以简单的对象刻画复杂的对象）的对象刻画复杂的对象）*设切点设切点M()M()求曲线求曲线在在某点处的切线方程的某点处的切线方程的基本步骤基本步骤:求出求出P P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求出切利用切线斜率的定义求出切线的斜率线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练练:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在在点点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出函数求出函数y=f(x)在在点点x0处的导数处的导数f(x0)利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.(若点不知若点不知,则先设、求出点的坐标则先设、求出点的坐标)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时；瞬时；变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝对值的大小的绝对值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象切注切注：(2)曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度，大于大于上升上升递增递增上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速递减递减下降下降小于小于下降下降说明：“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数f(x)在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数(2)“导函数”：如果对于函数f(x)在开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f(x)或y.a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。b.要切实掌握求导数的三个步骤：要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增）求函数的增 量；量；差差（2）求平均变化率；）求平均变化率；化化（3）取极限，得导数。）取极限，得导数。极限极限C.导数的几何意义求曲线切线方程:注注“在，在，过过”利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，分所给点是切点和不是切点两种情况求解(1)求所给点(x0，y0)为切点，求过该点的切线方程的步骤如下：第一步：求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；第二步：根据直线点斜式方程，得切线方程：yy0f(x0)(xx0)(2)求所给点(x0，y0)不是切点的切线的布骤如下：第一步：设出切点坐标；第二步：利用导数的几何意义及切点坐标写出切线的参数方程；第三步：将点(x0，y0)的坐标代入参数方程求出参数；第四步：写出直线方程.点拨求曲线的切线要注意求曲线的切线要注意“过点过点P的切线的切线”与在与在“P点处的切线点处的切线”的差异：过点的差异：过点P的切线中，的切线中，点点P不一定是切点，点不一定是切点，点P也不一定在曲线上；也不一定在曲线上；而在点而在点P处的切线，点处的切线，点P必为切点必为切点思考题：试求过点P(3,5)且与曲线yx2相切的切线方程分分析析当当点点(x1，y1)不不在在曲曲线线上上时时，求求切切线线方方程程的步骤为：的步骤为：设出切点坐标为设出切点坐标为(x0，y0)；求求出出过过该该切切点点的的切切线线方方程程yy0f(x0)(xx0)；把把(x1，y1)代入上述方程解得代入上述方程解得(x0，y0)；写出切写出切线线方程方程解容易判断容易判断P(3,5)不在曲线不在曲线yx2上上设设所求切线的切点为所求切线的切点为A(x0，y0)，因为点A在曲线yx2上，所以y0 x20因为A是切点，所以过A点的切线的斜率为y|x y|x=x02x0.又因为切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，所以切点坐标为(1,1)或(5,25)所以切线的斜率为k2或k10.所以所求切线方程有两个：y12(x1)和y2510(x5)即y2x1和y10 x25.回顾回顾:方程组法方程组法作业：片作业：片作业：片作业：片2424思考题思考题思考题思考题,课下：课下：课下：课下：p p10 10 AA组组组组5,6 5,6；B B组组组组 ；三维。；三维。；三维。；三维。