2019八年级数学下册 专题突破讲练 勾股定理的综合使用试题 （新版）青岛版.doc

1勾股定理的综合使用勾股定理的综合使用一、勾股定理一、勾股定理1.1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，那么abc222abc2.2. 勾股定理的证明：勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常见方法如下：cbaHGFEDCBA，4EFGHSSS正方形正方形ABC D，化简可证。2214()2abbacbacbaccabcab，大正方形面积为221422Sabcabc，所以。222()2Sabaabb222abc定理定理证明证明abccbaEDCBA，1() ()2Sabab梯形，化简得证。2112S222ADEABESSabc梯形二、定理适用范围及应用二、定理适用范围及应用1.1. 勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。2.2. 勾股定理的应用勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在中，则，；ABC90C22cab22bca22acb2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；可运用勾股定理解决一些实际问题。总结总结（1）掌握好定理的内容及基本证明；（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。例题例题 1 1 已知直角三角形斜边上的中线长为 1，周长为 2+，则这个三角形的面积为6（ ）A. B. 1 C. 2 D. 216解解析析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积 公式进行计算。答答案案：解：设两直角边长分别为 x、y；直角三角形斜边上的中线长为 1，故斜边长为 2。周长为 2+=x+y+2，得 x+y=。66由勾股定理得 2。22yx 联立解得 xy=1，故这个三角形的面积为xy=。故选 A。21 21例题例题 2 2 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，则 S1+2S2+2S3+S4=（ ）A. 5 B. 4 C. 6 D. 10解解析析：先根据正方形的性质得到ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到CAB=DBE，则可根据“AAS”判断ABCBDE，于是有 AC=BE，然后利用勾股定理得到 DE2+BE2=BD2，代换后有 ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以 S1+S2=1，利用同样方法可得到 S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到 S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。答答案案：解：如图图中的四边形为正方形，ABD=90°，AB=DB，ABC+DBE=90°，ABC+CAB=90°，CAB=DBE，在ABC 和BDE 中，ACBBED CABEBD ABBD，ABCBDE（AAS），AC=BE，3DE2+BE2=BD2，ED2+AC2=BD2，S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，S1+S2=1，同理可得 S2+S3=2，S3+S4=3，S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。故选 C。分类讨论思想的应用分类讨论思想的应用例题例题 在ABC 中，AB=2，BC=1，ABC=45°，以 AB 为一边作等腰直角三角形2ABD，使ABD=90°，连接 CD，则线段 CD 的长为 。解解析析：分点 A、D 在 BC 的两侧，设 AD 与边 BC 相交于点 E，根据等腰直角三角形的性质求出 AD，再求出 BE=DE=AD 并得到 BEAD，然后求出 CE，在 RtCDE 中，利用勾股21定理列式计算即可得解；点 A、D 在 BC 的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，过点 D 作 DEBC 交 BC 的反向延长线于 E，判定BDE 是等腰直角三角形，然后求出 DE=BE=2，再求出 CE，然后在 RtCDE 中，利用勾股定理列式计算即可得解。答案答案：解：如图 1，点 A、D 在 BC 的两侧，ABD 是等腰直角三角形，AD=4，22(2 2)(2 2)ABC=45°，BE=DE=AD=×4=2，BEAD，21 21BC=1，CE=BEBC=21=1，在 RtCDE 中，CD=；222221 DECE5如图 2，点 A、D 在 BC 的同侧，ABD 是等腰直角三角形，BD=AB=2，2过点 D 作 DEBC 交 BC 的反向延长线于 E，则BDE 是等腰直角三角形，DE=BE=2，BC=1，CE=BE+BC=2+1=3，在 RtCDE 中，CD=，222223 DECE13综上所述，线段 CD 的长为或。513图形变换的证明图形变换的证明例题例题 如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90°，D 为 AB 边上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD2+DB2=DE2。4解解析析：根据全等三角形的判定解决第一个问题，将图形转换位置，使 AD、DB、DE 转化到同一个图形中，利用勾股定理进行证明。答案：答案：证明：（1）ACB=ECD，ACD+BCD=ACD+ACE，即BCD=ACE。BC=AC，DC=EC，ACEBCD。（2）ACB 是等腰直角三角形，B=BAC=45°。ACEBCD，B=CAE=45°，DAE=CAE+BAC=45°+45°=90°，AD2+AE2=DE2。由（1）知 AE=DB，AD2+DB2=DE2。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题1. 如图，ABC 中，D 为 AB 中点，E 在 AC 上，且 BEAC。若 DE=10，AE=16，则 BE 的长度为（ ）A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 如图，在平面直角坐标系中，点 P 坐标为（2，3），以点 O 为圆心，以 OP 的长为半径画弧，交 x 轴的负半轴于点 A，则点 A 的横坐标介于（ ）A. 4 和3 之间B. 3 和 4 之间C. 5 和4 之间D. 4 和5 之间*3. 如图，矩形 ABCD 中，E、F、M 为 AB、BC、CD 边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EFFM，则 EM 的长为（ ）5A. 5 B. 5 C. 6 D. 622*4. 如图，在ABC 中，A=90°，P 是 BC 上一点，且 DB=DC，过 BC 上一点 P，作PEAB 于 E，PFDC 于 F，已知：AD：DB=1：3，BC=4，则 PE+PF 的长是（ ）6A. 4 B. 6 C. 4 D. 2626*5. 在等腰ABC 中，ACB=90°，且 AC=1。过点 C 作直线lAB，P 为直线l上一点，且 AP=AB。则点 P 到 BC 所在直线的距离是（ ）A. 1 B. 1 或 C. 1 或 D. 或231 231 231 231*6. 如图，两块完全相同的含 30°角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30°。有以下四个结论：AFBC；BOE=135°；O 为 BC 的中点；AG：DE=：3，其中正确3结论的序号是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：*7. 如图，OP=1，过 P 作 PP1OP，得 OP1= ；再过 P1作 P1P2OP1且 P1P2=1，得2OP2=；又过 P2作 P2P3OP2且 P2P3=1，得 OP3=2；依此法继续作下去，得 OP2012= 3。*8. 如图所示，在ABC 中，C=2B，点 D 是 BC 上一点，AD=5，且 ADAB，点 E 是BD 的中点，AC=6.5，则 AB 的长度为 。*9. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 E，BDA=90°，CBE=30°，6CEB=45°，AE=4EC，BC=2，则 CD 的长为 。三、解答题：*10. 如图，已知 AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 F，且 BC=CD。（1）求证：BCEDCF；（2）若 AB=15，AD=7，BC=5，求 CE 的长。*11. 已知，如图，在 RtABC 中，ACB=90°，A=30°，CDAB 交 AB 于点 E，且CD=AC，DFBC，分别与 AB、AC 交于点 G、F。（1）求证：GE=GF；（2）若 BD=1，求 DF 的长。*12. 如图，在ABC 中，C=2B，D 是 BC 上的一点，且 ADAB，点 E 是 BD 的中点，连接 AE。（1）求证：AEC=C；（2）求证：BD=2AC；（3）若 AE=6.5，AD=5，那么ABE 的周长是多少？71. C 解析：BEAC，AEB 是直角三角形，D 为 AB 中点，DE=10，AB=20，AE=16，BE=12，故选 C。22AEAB 2. A 解析：点 P 坐标为（2，3），OP=，点 A、P 均在以223)2(13点 O 为圆心，以 OP 为半径的圆上，OA=OP=，91316，34。点 A1313在 x 轴的负半轴上，点 A 的横坐标介于4 和3 之间。故选 A。3. B 解析：解：如图，过 E 作 EGCD 于 G，四边形 ABCD 是矩形，A=D=90°，又EGCD，EGD=90°，四边形 AEGD 是矩形，AE=DG，EG=AD，EG=AD=BC=7，MG=DGDM=32=1，EFFM，EFM 为直角三角形，在 RtEGM 中，EM=5。故选 B。22MGEG2217 5024. C 解析：解：方法一：作 PMAC 于点 M，可得矩形 AEPMPE=AM，利用 DB=DC 得到B=DCBPMAB。B=MPCDCB=MPC 又PC=PC。 PFC=PMC =90°PFCCMPPF=CMPE+PF=ACAD：DB=1：3可设 AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2xBC=4x=2PE+PF=AC=2×2=4。26622方法二：连接 PD，PD 把BCD 分成两个三角形PBD、PCD，SPBD=BDPE，21SPCD=DCPF，SBCD=BDAC，所以 PE+PF=AC=2×2=4。故选 C。21 21225. D 解析：如图，延长 AC，作 PDBC 交点为 D，PEAC，交点为E，CPAB，PCD=CBA=45°，四边形 CDPE 是正方形，则 CD=DP=PE=EC，在等腰直角ABC 中，AC=BC=1，AB=AP，AB=，AP=；在直角AEP 中，2211 22（1+EC）2+EP2=AP2（1+DP）2+DP2=（）2，解得，DP=；如图，延长 BC，作231 2PDBC，交点为 D，延长 CA，作 PECA 于点 E，同理可证，四边形 CDPE 是正方形，8CD =DP=PE=EC，同理可得，在直角AEP 中，（EC1）2+EP2=AP2，（PD1）2+PD2=（）2，解得，PD=故选 D。22316. D 解析：如图，两块完全相同的含 30°角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30°。CAF=30°，GAF=60°，AFB=90°，AF 丄 BC 正确；由可得C=D=60°，DAC=120°，故可得DOC=120°，即而可得BOE=120°，即可得BOE=135°错误；AD=AC，DAG=CAF，D=C=60°，ADGACF，AG=AF，AO=AO，AGO=AFO=90°，AGOAFO，OAF=30°，OAC=60°，AO=CO=AC，BO=CO=AO，即可得正确；假设 DG=x，DAG=30°，AG=x，GE=3x，故可得 AG：DE=：4，即错误；综上可得正确。故选 D。337. 解析：由勾股定理得：OP4=，OP1=；得 OP2=；依20132212 523此类推可得 OPn=，OP2012=，故答案为：。1n201320138. 12 解析：RtABD 中，E 是 BD 的中点，则 AE=BE=DE；B=BAE，即AED =2B；C=2B，AEC=C，即 AE=AC=6.5；BD=2AE=13；由勾股定理，得：AB=12。22ADBD 9. 解析：如图，过点 C 作 CHBD 于点 H。CBE=30°，26BC=2，CH=BC=1，21又CEB=45°，EH=CH=1。则 CE=。AE=4EC=4。在直角ADE 中，EDA 22=90°，AED=CEB=45°，则 AD=DE=AE=4。DH=DE+EH=5，在直角DCH 中，根22据勾股定理得到 CD=。故填：。22CHDH2215 262610. （1）证明：AC 平分BAD，CEAB 于 E，CFAD 于 FCE=CF，在 RtBCE 和9RtDCF 中，CE=CF，BC=CD，RtBCERtDCF（HL）。（2）解：RtBCERtDCF，DF=EB，CE=CF，CEAB 于 E，CFAD 于 F，RtACERtACF，AF=AE，AB=15，AD=7，AD+DF= ABEB，EB=DF=4，在 RtBCE 中，根据勾股定理，CE=3。11. （1）证明：DFBC，ACB=90°，CFD=90°。CDAB，AEC=90°。在RtAEC 和 RtDFC 中，AEC=CFD=90°，ACE=DCF，DC=AC，RtAEC RtDFC。CE=CF。DE=AF。而AGF=DGE，AFG=DEG=90°，RtAFG RtDEG。GF=GE。（2）解：CDAB，A=30°，CE= AC=CD。CE=ED。BC=BD=1。又21 21ECB+ACE=90°，A+ACE=90°，ECB=A=30°，CEB=90°，BE=BC =21BD=。在直角三角形 ABC 中，A=30°，则 AB=2BC=2。21 21则 AE=ABBE=。RtAECRtDFC，DF=AE=。23 2312. （1）证明：ADAB，ABD 为直角三角形。又点 E 是 BD 的中点，AE=BD。又BE=BD，AE=BE，B=BAE。又21 21AEC=B+BAE，AEC=B+B =2B。又C=2B，AEC=C。（2）证明：由（1）可得 AE=AC，又AE=BD，BD=AC，BD=2AC。21 21（3）解：在 RtABD 中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13AB12ABE 的周长22ADBD 22513 =AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25。