学案10函数模型及应用-函数与导数2011高考一轮数学精品课件.ppt

函数模型及应用(第十课时）杜豪返回目录返回目录 1.1.构建函数模型的基本步骤构建函数模型的基本步骤 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律,函数模型可以处理生产函数模型可以处理生产、生活、生活、科技中很多实际问科技中很多实际问 题题.解决应用问题的基本步骤解决应用问题的基本步骤:（1）审题）审题:弄清题意弄清题意,分析条件和结论分析条件和结论,理顺数量关系理顺数量关系,恰当选择模型恰当选择模型;（2）建模）建模:将文字语言、图形（或数表）等转化为数将文字语言、图形（或数表）等转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；考点分析考点分析返回目录返回目录 （3）求模：求解数学模型，得出数学结论；）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义原为实际问题的意义.2.常见的几种函数模型常见的几种函数模型 (1)一次函数型一次函数型y=kx+b;(2)反比例函数型反比例函数型y=(k0);(3)二次函数型二次函数型y=ax2+bx+c(a0);(4)指数函数型指数函数型y=N(1+p)x(增长率问题增长率问题)(x0);(5)对数函数型对数函数型y=AlogaN+B(a0且且a1,N0);(6)分段函数型分段函数型.返回目录返回目录 考点一考点一考点一考点一 二次函数模型二次函数模型二次函数模型二次函数模型如图所示如图所示,在矩形在矩形ABCD中中,已知已知AB=a,BC=b(ba),在在AB,AD,CD,CB上分别截取上分别截取AE,AH,CG,CF都等于都等于x,当当x为何值时为何值时,四边形四边形EFGH的面积最大的面积最大?并求出最并求出最大面积大面积.题型分析题型分析返回目录返回目录 【解析解析解析解析】设四边形设四边形EFGH的面积为的面积为S,则则 S AEH=S CFG=x2,S BEF=S DGH=(a-x)(b-x),【分析分析分析分析】依据图形建立起四边形依据图形建立起四边形EFGH的面积的面积S关于关于自变量自变量x的目标函数的目标函数,然后利用解决二次函数的最值问题然后利用解决二次函数的最值问题求出求出S的最大值的最大值.由图形知函数的定义域为由图形知函数的定义域为x|0 xb.又又0ba,0bb,即即a3b时，时，S(x)在在(0,b上是增函数上是增函数.此时当此时当x=b时，时，S有最大值为有最大值为-2b-()2+=ab-b2.综上可知，当综上可知，当a3b时，时，x=时，四边形面积时，四边形面积 Smax=,当当a3b时，时，x=b时，四边形面积时，四边形面积Smax=ab-b2.返回目录返回目录 返回目录返回目录 【评析评析评析评析】二次函数是我们比较熟悉的基本函数二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建立建立二次函数模型可以求出函数的最值二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化解决实际中的最优化问题问题,值得注意的是值得注意的是:一定要注意自变量的取值范围一定要注意自变量的取值范围,根据根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解关系讨论求解.对应演练对应演练对应演练对应演练某人定制了一批地砖某人定制了一批地砖,每块地砖每块地砖(如图如图2-10-2中中(1)所示所示)是是边长为边长为0.4米的正方形米的正方形ABCD,点点E,F分别在边分别在边BC和和CD上上,CFE,ABE和四边形和四边形AEFD均由单一材料制成均由单一材料制成,制成制成CFE,ABE和四边形和四边形AEFD的三种材料的每平方米价的三种材料的每平方米价格之比依次为格之比依次为3:2:1.若将此种地砖按图中若将此种地砖按图中(2)所示的形式所示的形式铺设铺设,能使中间的深色阴影部分组成四边形能使中间的深色阴影部分组成四边形EFGH.返回目录返回目录(1)求证求证:四边形四边形EFGH是正方形是正方形;(2)E,F在什么位置时在什么位置时,定制这批地砖所需的材料的费用最省定制这批地砖所需的材料的费用最省?返回目录返回目录 返回目录返回目录 (1)证明证明:图图(2)是由四块图是由四块图(1)所示地砖绕点所示地砖绕点C按顺时按顺时针旋转针旋转90后得到的后得到的,CFE为等腰直角三角形为等腰直角三角形,四边形四边形EFGH是正方形是正方形.(2)设设CE=x,则则BE=0.4-x,每块地砖的费用为每块地砖的费用为W,制成制成CFE,ABE和四边形和四边形AEFD三种材料的每平方米价格三种材料的每平方米价格依次为依次为3a,2a,a(元元),W=x23a+0.4(0.4-x)2a +0.16-x2-0.4(0.4-x)a =a(x2-0.2x+0.24)=a(x-0.1)2+0.3(0 x0,当当x=0.1时时,W有最小值有最小值,即总费用最省即总费用最省.答答:当当CE=CF=0.1米时米时,总费用最省总费用最省.返回目录返回目录 考点二考点二考点二考点二 分段函数型分段函数型分段函数型分段函数型 某工厂生产一种机器的固定成本某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入即固定投入)为为0.5万元万元,但每生产但每生产100台台,需要加可变成本需要加可变成本(即另增加投入即另增加投入)0.25万元万元.市场对此产品的年需求量为市场对此产品的年需求量为500台台,销售的收销售的收入函数为入函数为R(x)=5x-(万元万元)(0 x5),其中其中x是产品售出是产品售出的数量的数量(单位单位:百台百台).(1)把利润表示为年产量的函数把利润表示为年产量的函数;(2)年产量是多少时年产量是多少时,工厂所得利润最大工厂所得利润最大?(3)年产量是多少时年产量是多少时,工厂才不亏本工厂才不亏本?返回目录返回目录【解析解析解析解析】(1)当当x5时时,产品能售出产品能售出x百台百台;当当x5时时,只能售出只能售出5百台百台,故利润函数为故利润函数为L(x)=R(x)-C(x)(5x-)-(0.5+0.25x)(55 )-(0.5+0.25x)4.75x-0.5(0 x5)12-0.25x(x5).【分析分析分析分析】对于一些较复杂的应用题对于一些较复杂的应用题,有时仅构造一个有时仅构造一个数学模型还不能解决根本问题数学模型还不能解决根本问题,需先后或同时构造、利需先后或同时构造、利用几个数学模型才可用几个数学模型才可.=(2)当当0 x5时时,L(x)=4.75x-0.5,当当x=4.75时时,L(x)max=10.78125万元万元.当当x5时时,L(x)=12-0.25x为减函数为减函数.此时此时L(x)5 4.75x-0.50 12-0.25x0,得得x4.75-=0.1（百台（百台)或或x10时，总收入为时，总收入为1 000-30(x-10)x,y=1 000-30(x-10)x-5 750.由条件由条件，必有，必有y0,1 000 x-5 7500 -30 x2+1 300 x-5 7500 x10或或 x10,解得解得5.75x .由于由于x N，6x38,y=1 000 x-5 750,6x10,x N，-30 x2+1 300 x-5 750，1012,即即1.2x-16.x1+log1.26=1+=1+=1+=1+=1+=10.8,x11.故从故从2018年开始年开始,这家工厂生产这种产品的年产量超过这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件万件.返回目录返回目录 返回目录返回目录 考点四考点四考点四考点四 导数型导数型导数型导数型 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为元，并且每件产品需向总公司交并且每件产品需向总公司交a元（元（a）的管理费，）的管理费，预计当每件产品的售价为预计当每件产品的售价为x元（元（x）时，一年）时，一年的销售量为（的销售量为（x）万件万件.（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价价x（元）的函数关系式；（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润润L最大，并求出的最大值（最大，并求出的最大值（a）【分析分析分析分析】根据题意，找出利润根据题意，找出利润L与售价与售价x的关系，列的关系，列出关系式，求导求解出关系式，求导求解.返回目录返回目录 【解析解析解析解析】（）分公司一年的利润（万元）与售（）分公司一年的利润（万元）与售价价x（元）的函数关系式为（元）的函数关系式为 L=（x-3-a）(12-x)2,x 9,11.（）（）(x)（12-x)2-2(x-3-a）(12-x）=(12-x)(18+2a-3x).令令(x)得得x1=6+a或或x2=12（不合题意，舍（不合题意，舍去）去）.a，a .在在x+a两侧两侧(x)的值由正变负，的值由正变负，（）当（）当+a，即，即a 时，时，max(9)（9-3-a）（）（12-9）2=9(6-a）.（）当（）当+a ，即，即 a5时，时，max(+a)(6 a-3-a)12-(6+)2=4(3-a)3.9(6-a)a ，4(3-a )3 a.若若a ，则当每件售价为元时，分公司一年的，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（利润最大，最大值（a）（）（a）（万元）；）（万元）；若若 a，则当每件售价为，则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利元时，分公司一年的利润最大，最大值（润最大，最大值（a）4(3-a)3（万元）（万元）.返回目录返回目录 （a）=【评析评析评析评析】建立目标函数后建立目标函数后,若涉及解析式求最值问题若涉及解析式求最值问题,特别是三次函数解析式特别是三次函数解析式,常用导数作为工具常用导数作为工具.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练水库的蓄水量随时间而变化水库的蓄水量随时间而变化.现用现用t表示时间表示时间,以月为单位以月为单位,年初为起点年初为起点.根据历年数据根据历年数据,某水库的蓄水量某水库的蓄水量(单位单位:亿立方亿立方米米)关于关于t的近似函数关系式为的近似函数关系式为 (-t2+14t-40)+50,0t10,4(t-10)(3t-41)+50,10t12.(1)该水库的蓄水量小于该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期的时期称为枯水期.以以i-1ti表表示第示第i月份（月份（i=1,2,12)，问一年内哪几个月份是枯水期，问一年内哪几个月份是枯水期?(2)求一年内该水库的最大蓄水量求一年内该水库的最大蓄水量(取取e=2.7计算计算).返回目录返回目录 V(t)=(1)当当0t10时时,V(t)=(-t2+14t-40)+500,解得解得t10,又又0t10,故故0t4.当当10t12时时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+5050,化简得化简得(t-10)(3t-41)0,解得解得10t ,又又10t12,故故10t12.综上得综上得0t4或或10t12.故知枯水期为故知枯水期为1月月,2月月,3月月,4月月,11月月,12月共月共6个月个月.返回目录返回目录(2)由由(1)知知,V(t)的最大值只能在的最大值只能在(4,10)内达到内达到.由由V(t)=(-t2+t+4)=-(t+2)(t-8),令令V(t)=0,解得解得t=8(t=-2舍去舍去).当当t变化时变化时,V(t)与与V(t)的变化情况如下表的变化情况如下表:由上表由上表,V(t)在在t=8时取得最大值时取得最大值V(8)=8e2+50=108.32(亿立亿立方米方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米亿立方米.返回目录返回目录 t t(4,8)(4,8)8 8(8,10)(8,10)V(tV(t)+0 0-V(tV(t)极大值极大值 返回目录返回目录 解应用问题解应用问题解应用问题解应用问题,首先首先首先首先,应通过审题应通过审题应通过审题应通过审题,分析原型结构分析原型结构分析原型结构分析原型结构,深刻认深刻认深刻认深刻认识问题的实际背景识问题的实际背景识问题的实际背景识问题的实际背景,确定主要矛盾确定主要矛盾确定主要矛盾确定主要矛盾,提出必要假设提出必要假设提出必要假设提出必要假设,将应用将应用将应用将应用问题转化为数学问题求解问题转化为数学问题求解问题转化为数学问题求解问题转化为数学问题求解;然后然后然后然后,经过检验经过检验经过检验经过检验,求出应用问题求出应用问题求出应用问题求出应用问题的解的解的解的解.从近几年高考应用题来看从近几年高考应用题来看从近几年高考应用题来看从近几年高考应用题来看,顺利解答一个应用问题顺利解答一个应用问题顺利解答一个应用问题顺利解答一个应用问题重点要过三关重点要过三关重点要过三关重点要过三关,也就是要从三个方面来具体培养学生的分也就是要从三个方面来具体培养学生的分也就是要从三个方面来具体培养学生的分也就是要从三个方面来具体培养学生的分析问题和解决问题的能力析问题和解决问题的能力析问题和解决问题的能力析问题和解决问题的能力.(1)(1)事理关事理关事理关事理关:通过阅读通过阅读通过阅读通过阅读,知道讲的是什么知道讲的是什么知道讲的是什么知道讲的是什么,培养学生独立培养学生独立培养学生独立培养学生独立获取知识的能力获取知识的能力获取知识的能力获取知识的能力.(2)(2)文理关文理关文理关文理关:需要把实际问题的文字语言转化为数学需要把实际问题的文字语言转化为数学需要把实际问题的文字语言转化为数学需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言的符号语言的符号语言的符号语言,用数学式子表达数学关系用数学式子表达数学关系用数学式子表达数学关系用数学式子表达数学关系.高考专家助教高考专家助教 (3)(3)数理关数理关数理关数理关:在构建数学模型的过程中在构建数学模型的过程中在构建数学模型的过程中在构建数学模型的过程中,要求学生有对数要求学生有对数要求学生有对数要求学生有对数学知识的检索能力学知识的检索能力学知识的检索能力学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型认定或构建相应的数学模型认定或构建相应的数学模型认定或构建相应的数学模型,完成由实完成由实完成由实完成由实际问题向数学问题的转化际问题向数学问题的转化际问题向数学问题的转化际问题向数学问题的转化.构建了数学模型后构建了数学模型后构建了数学模型后构建了数学模型后,要正确解出要正确解出要正确解出要正确解出数学问题的答案数学问题的答案数学问题的答案数学问题的答案,需要扎实的基础知识和较强的数理能力需要扎实的基础知识和较强的数理能力需要扎实的基础知识和较强的数理能力需要扎实的基础知识和较强的数理能力.返回目录返回目录