九年级数学二次函数5.ppt

二次函数二次函数1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？它的对称轴、顶点坐标各是什么？答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a0)，y叫做x的二次函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=,顶点坐标是（，）。2、二次函数的解析式有哪几种？有三种：一般式：y=ax2+bx+c(a0)顶点式：y=a(x-h)2+k 顶点 为(h,k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)与x轴两交点:(x1,0),(x2,0)例1：根据二次函数的图象上三个点的坐标（-1，0），（3，0），（1，-5），求函数解析式。解法一解法一设所求二次函数解析式为：y=ax2+bx+c.又抛物线过点（-1，0），（3，0），（1，-5），依题意得ab+c=09a+3b+c=0a+b+c=-5解得所求的函数解析式为。解法二解法二点（-1，0）和（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，故可设二次函数解析式为：y=a(x+1)(x-3),又抛物线过点（1，-5），有-5=a（1+1）（1-3）解得，即所求的函数解析式为。解解法法三三点（-1，0）和（3，0）是关于直线x=1对称，显然（1，-5）是抛物线的顶点坐标，故可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2-5,又抛物线过点（3,0），0=a(3-1)2-5,解得 ,即所求的函数解析式为。解解法法四四经上述分析，点（1，-5）是抛物线的顶点坐标，依题意得：解得即所求的函数解析式为。a-b+c=0（三）知识升华（三）知识升华抛物线位置与系数抛物线位置与系数a，b，c的关系：的关系：a决定抛物线的开口方向：a0开口向上a0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置：c0图象与y轴交点在x轴上方；c=0图象过原点；c0图象与y轴交点在x轴下方。a，b决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线x=）a，b同号对称轴在y轴左侧；b=0对称轴是y轴；a，b异号对称轴在y轴右侧顶点坐标是（，）。=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：0抛物线与x轴有两个交点；0抛物线与x轴有唯一的公式点；0抛物线与x轴无交点。二次函数的最大、最小值由a决定。例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？-101xy【分析与参考答案分析与参考答案】首先观察到二次函数的图象为抛物线，其对称轴为直线x=，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标其一大于1，另一个介于-1与0之间，抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线与y轴的交点的纵坐标均介于-1与0之间，由此可得如下结论：a0;-1c0;b2-4ac0;,2a=-3b;由，(4)得b0;由,得abc0;考虑x=1时y0，所以有a+b+c0;又x=-1时y0，所以有a-b+c0;考虑顶点的纵坐标，有0c-1。-1(四四)练习练习：（巩固知识）y438x1、如图所示：求抛物线的解析式。由图象得：抛物线过（8，0），（0，4）对称轴是直线x=3，从而可得抛物线又过（-2，0）。解法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，依题意得：c=4解得4a-2b+c=0c=4所求的函数解析式为:64a+8b+c=0解法二：设抛物线的解析式为：y=a（x-3）2+k，依题意得：a（0-3）2+k=4k=所求的函数解析式为:。a（8-3）2+k=0解得解法三：设抛物线的解析式为：y=a（x-8）（x+2），依题意得：4=a（0-8）（0+2）解得所求的函数解析式为:。2、（思思考考题题）有一个二次函数的图象，甲、乙、丙三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：再见！