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第5章弯曲应力第1页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.1 引言引言5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力5.3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力5.4 弯曲剪应力及其强度条件弯曲剪应力及其强度条件5.5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第2页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.1 概述(Introduction)第3页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院mmQ QM当梁上有横向外力作用时当梁上有横向外力作用时,一般情况下一般情况下,梁的梁的横截面上既又弯矩横截面上既又弯矩M,又有剪力又有剪力Q.mmQ Q mmM 弯矩弯矩M 正应力正应力 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 dN=dA 才能合成弯矩才能合成弯矩剪力剪力Q 切应力切应力 内力内力只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 dQ=dA 才能合成才能合成剪力剪力所以所以,在梁的横截面上一般既有在梁的横截面上一般既有正应力正应力(Normal stresses),又有又有切应力切应力(Shear stresses)第4页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.2 纯弯曲时梁的正应力纯弯曲时梁的正应力(Normal stresses in pure beams)第5页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.2.1 纯弯曲纯弯曲(pure bending)下图CD段称为纯弯曲第6页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 其它段(如AC、DB)剪力不为零，则称为剪切弯剪切弯曲曲或横力弯曲横力弯曲。在CD段第7页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.2.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力(a)(b)mm 现象：梁上的纵向线（包括轴线）都弯曲成圆弧曲线，靠近凹侧一边的纵向线缩短，而靠近凸侧一边的纵向线伸长；梁上的横线仍为直线，各横线间发生相对转动，不再相互平行，但仍与梁弯曲后的轴线垂直。在梁的纵线伸长区，梁的宽度减小；而在梁的纵线缩短区，梁的宽度增大。第8页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 假设梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。这就是弯曲变形的平面假设。平面假设第9页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 假设梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。中性层中性轴中性轴横截面对称轴纵向对称面 从纵向纤维伸长区到缩短区，梁内必有一层纤维既不伸长，又不缩短。这一纤维层，称为中性层。中性层与横截面的交线，称为中性轴。第10页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院介值定理：第11页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院1.几何关系 图示dx微段，其中x轴为假设的中性轴(待确定)，所以O1O2在变形前后长度不变，而变形后的弧段O1O2的转角为dq，考虑线段ab在变形后的线应变，对给定截面曲率半径r 为常数，所以ex y，也就是说截面上某点的应变与该点到轴线的距离成正比。第12页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院2.物理关系第13页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院3.静力关系第14页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 横截面上点的应力与该点到中性轴的距离y成正比。其分布图如右示。可见z为过形心的轴。考虑第15页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院说明y、z为主惯性轴，从而它们为形心主惯性轴。第16页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院其中是构件横截面的几何性质，称为抗弯截面模量（或截面系数），量纲为长度3。5.2.3 梁横截面上的最大正应力第17页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院对于高为h，宽为b的矩形截面，抗弯截面模量为 直径为d的圆形截面第18页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，如右图示中的T形截面。这时，应把y1和y2分别代入公式，计算截面上的最大正应力，最大拉应力为 最大压应力为：第19页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.3 横力弯曲时的正应力、正应力强度条件第20页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.3.1 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时，由于横截面上存在剪应力而且并非均匀分布，所以，弯曲时横截面将发生翘曲，这势必使横截面再不能保持为平面(平面假设不适用)。特别是当剪力随截面位置变化时，相邻两截面的翘曲程度也不一样。这时，截面上除有因弯矩而产生的正应力外，还将产生附加正应力(纵向纤维无挤压假设不满足)。另外，分布载荷作用下的横力弯曲，纵向纤维之间也是存在正应力的。第21页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 弹性理论分析表明，对于横力弯曲时的细长梁，即截面高度远小于跨度的梁，横截面上的上述附加正应力和纵向纤维间的正应力都是非常微小的。这时可以采用纯弯曲时梁横截面上的正应力公式来近似第22页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.3.2 弯曲正应力强度条件及其应用 对于铸铁等这一类抗拉和抗压的能力不同脆性材料，工程上常将此种梁的横截面做成如T字形等对中性轴不对称的截面，其最大拉应力和最大压应力的强度条件分别为 第23页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院第24页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院例题例题 图示所示外伸梁，用铸铁制成，截面为T字形，已知梁的载荷P1=10kN，P2=4kN，铸铁的许用应力t=30MPa，c=100MPa。截面的尺寸如图所示，试校核此梁的强度。第25页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院解 计算梁的支反力并作弯矩图作梁的弯矩图如图所示第26页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院确定截面形心位置并计算形心惯性矩第27页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度在B截面(上拉下压)第28页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 在C截面(上压下拉)第29页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.4 弯曲剪应力及其强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)第30页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.4.1 弯曲剪应力矩形截面梁的弯曲剪应力第31页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 横力弯曲的矩形截面梁任一横截面上剪力与纵向对称轴重合。当截面高度大于宽度时，关于矩形截面上的剪应力分布规律，可作如下假设：v截面上任意一点的剪应力都平行于剪力的方向。v剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与坐标y有关。第32页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 在基本假设基础上矩形截面上点的剪应力分布分析图在右边图形中，pq1面上的应力是均匀分布的，它等于截面上离中性轴距离为y的点处的剪应力（剪应力互等定理）。或者说在横截面上，剪应力沿z轴方向均匀分布，而沿y轴方向的分布是未知的待求。第33页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院第34页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 为确定横截面上剪应力沿y轴方向的分布，选取pp1n1n作为研究对象，先研究各面上的内力合力。第35页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院A*为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积，记 第36页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院将N1、N2代入上式得第37页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院故有由载荷集度与截面内力关系知此即为横截面上剪应力分布规律第38页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院对图示矩形截面第39页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院第40页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院横截面上的剪应变分析 翘曲 可见，剪应变g 沿矩形截面的高度同样按抛物线规律变化。由剪切Hooke定律，得第41页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 所以，横力弯曲时由于截面上有剪力，横截面将发生翘曲(不翘曲的条件是纤维沿高度作线性变化)。这时，梁的纯弯曲正应力公式将受到影响(不符合平面假设)，这种影响在第一节中已作了较详细的说明。第42页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 对圆形与工字形这一类具有对称轴的截面，其剪应力分布都比较复杂，而在材料力学中，我们关心的往往是最大剪应力。这里我们给出对这类截面问题分析的结论。圆形与工字形截面梁的弯曲剪应力第43页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 具有对称性截面的梁，其最大剪应力往往发生在中性轴处，且可写为翼缘腹板其中k称为截面系数第44页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院几点说明v对于工字钢，其面积指的是腹板部分的面积，在查型钢表计算时使用公式A=d(h-2t)。v对于工字钢而言，其腹板部分主要承受剪力(约97%)，而翼缘部分主要承受弯矩(也是约97%)。所以在用经验公式计算最大剪应力时，不计翼缘的面积。第45页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院例题例题 试比较图示受均布载荷q作用的矩形截面梁的最大弯曲正应力和最大弯曲剪应力。第46页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院解 计算支反力并作内力图 第47页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院计算梁的最大应力在梁的中间截面上的上、下边缘处有最大弯曲正应力 第48页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.4.2 弯曲剪应力强度条件或第49页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院例题 图示简易吊车梁，最大起重量（包括电葫芦的自重）为P=30kN，梁的跨度l=5m，许用应力=160MPa，t=100MPa，试选择该工字钢梁的型号。第50页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院解：吊车梁为工字钢，属于细长薄壁截面梁，因此，应先用梁的正应力强度条件选择工字钢的型号，然后再用梁的剪应力强度条件进行校核。第51页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院用正应力强度条件选择工字钢的型号，梁的弯矩图如右。由梁的强度条件，有查型钢表知，应选20a号工字钢，其Wz=237cm3。第52页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 校核梁的剪应力强度 当起吊重物移至支座附近时，该处截面上剪力为最大，其极限情况的剪力图如图e所示。最大剪力为：第53页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院查型钢表可知20a号工字钢的腹板d=7mm，因此，选择20a号工字钢是合适的。第54页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院弯曲应力弯曲正应力弯曲剪应力以矩形截面承受正的弯矩和剪力为例第55页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院思考：对上述矩形梁截面的正应力和剪应力极值点我们分别建立了相应的强度条件，那么它们是不是就是最危险的点呢？而对于除中性层和上下边沿点以外的其它即存在正应力同时存在剪应力的点是否可能是危险点呢？如果是，应该怎样确定其特征应力？第56页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.5 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施（Measures to strengthen the strength of beams)第57页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 提高梁的静强度的措施 由梁弯曲的正应力和剪应力强度条件在细长梁中前者占主要地位，或者说前者处于支配地位，所以要控制梁的静强度应以弯曲正应力强度条件来确定。根据弯曲正应力强度条件，具体地，我们有如下措施v尽量降低梁的弯矩尽量降低梁的弯矩v提高梁的抗弯截面模量提高梁的抗弯截面模量v同时降低梁的弯矩和提高抗弯截面模量同时降低梁的弯矩和提高抗弯截面模量等强度梁等强度梁第58页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院降低M降低max提高Wz降低max同时降低M和提高Wz目的max=物尽其用第59页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.6.1 合理安排梁的支承及载荷弯矩的降低幅值1.合力布置梁的支座第60页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院工程实例第61页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院2.合理布置载荷使集中载荷尽量靠近支座尽可能把较大的集中力分散为较小的力，或者改变成分布载荷弯矩降低幅度25%第62页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院降低50%降低50%第63页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.6.2 梁的合理截面 1.根据截面的几何特性选择截面 为了减轻梁的自重、节省材料，梁所采用的截面形状应该是横截面面积A较小，而抗弯截面模量Wz相对地较大的合理截面。截面形状的合理性可用比值Wz/A来衡量。Wz/A比值越大，截面越合理。第64页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院矩形圆形圆环形槽钢工字钢截面形状0.167h0.125h0.205h(0.270.31)h第65页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院2 根据材料的性质选择合理截面 对于抗压与抗拉性能相同的塑性材料，工程中一般采用矩形、工字形等对称于中性轴的截面。对于像铸铁等脆性材料，由于抗拉能力低于抗压能力，则适宜选用不对称于中性轴的截面，如T字形截面等。此时，中性轴偏于截面一侧。而且，设计时要有意识地使截面的中性轴偏于梁的受拉一侧。通过设计截面尺寸，使梁的最大拉应力与最大压应力同时达到各自的许用应力。第66页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院对于铸铁第67页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院塑性材料脆性材料抗压与抗拉性能相同选用对称性截面抗拉能力低于抗压能力选用非对称性截面2 根据材料的性质选择合理截面第68页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院5.6.3 等强度梁等强度梁鱼腹梁鱼腹梁 使每个截面的最大弯曲正应力都相等且等于许用应力，这种梁称为等强度梁，即 由于M(x)和W(x)各自遵循自己的变化规律，欲使其比值为常数，则要求梁在几何上使变截面的，而且一般具有指数形式或更高次数形式的边界曲线。第69页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 图示在集中力P作用下的简支梁。若将该梁设计为宽度b=常数、高度h随弯矩而变化的矩形截面等强度梁。设截面高度h=h(x)，则由可求得矩形截面高度h(x)的变化规律为第70页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院24681012345梁截面高度与截面位置的关系第71页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 因为该梁及载荷对称于梁跨度的中点，因而截面形状的改变也对称于跨度中点。按照上式所表示的规律，在梁的两端，x=0，h(x)=0，即截面高度为零。这显然不满足该梁的剪切强度要求。因此，需要由梁的剪应力强度条件确定支座附近截面的高度hmin。由第72页，本讲稿共73页湘潭大学土木工程与力学学院 工程中为了加工方便和满足结构上的需要，常用阶梯状的变截面梁（阶梯轴）来代替理论上的等强度梁。变截面梁（阶梯轴）第73页，本讲稿共73页
