辽宁省辽南协作校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷含答案.pdf

高三数学-1 20222023 学年度上学期高三期末考试试题 数 学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合21|30,|42Mx xxNxx=，则MN=()A1|02xx B1|32xxC|34xx D|04xx 2.已知复数z满足(12i)|43i|z+=(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为（）A2 B2i C1 Di3.下表是某校在 2022 年高考中各班的最高分，则这组数据从小到大的第 80 百分位数是（）A.694B.681 C.689 D.691 4.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其不同形状分为圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三班级 最高分 班级 最高分 1 班 694 7 班 658 2 班 701 8 班 677 3 班 689 9 班 642 4 班 691 10 班 656 5 班 681 11 班 673 6 班 666 12 班 638 高三数学-2 角形的顶角为2，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A33sin B33cos C12sin D12cos5.对任意向量,a b,下列关系式中不恒成立的是（）A.|a ba bB.|ababC.22()|+=+ababD.22()()+=ab abab6.P为双曲线2222:1(0,0)xyCabab=上一点，1F，2F分别为其左、右焦点，O为坐标原点 若|OPb=，且2112sin3sinPF FPFF=，则C的离心率为（）A2 B3 C2 D67.已知22aa+=，32bb+=，则lgb a与lga b的大小关系是（）Alglgb aa b Blglgb aa b=Clglgb aa b D不确定 8已知)(111,P a b与)(222,P a b是直线2ykx=+（k为常数）上两个不同的点，则关于111:20la xb y+=和222:20la xb y+=的交点情况是（）A无论k，1P，2P如何，总有唯一交点B存在k，1P，2P使之有无穷多个交点 C无论k，1P，2P如何，总是无交点 D存在k，1P，2P使之无交点 二、二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分）9.下列说法正确的是（）A“0 x，e1xx+”的否定形式是“0 x，e1xx+”B“1sin2x=”的一个充分不必要条件是“56x=”C两个非零向量,a b，“|=ab，且ab”是“=ab”的充分不必要条件D.若随机变量()23,XN，且()50.2P X=，则()15PX等于0.6 10.已知函数()()sincosf xaxx x=R关于6x=对称，则下列结论正确的是A33a=B()f x在,3 12上单调递增 辽宁省辽南协作校2高三数学-3 C函数6fx+是偶函数 D把()f x的图象向左平移12个单位长度，得到的图象关于点3,04对称 11 已知直线l：()100,0axbyab+=与圆C：221xy+=相切，则下列说法正确的是（）A+1a b B22114ab+C2122ab+D112 2ab+12.如图所示，正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M为线段11DC的中点，N为1CC上的点，且 12CNNC=,过1,A M N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的有（）A.S为五边形B.三棱锥1ABCD外接球的体积为4 3 C.三棱锥A1-BNM的体积为29D.BM与平面1ABC所成的角的正切值为25三填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.已知数列 na的通项公式为210nan=，nS为 na前n项和，则nS最小时_n=14.若多项式21091001910(1)(1)(1)xxaa xa xax+=+，则3_a=15.已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)C ypx p=焦点F的直线与C交于,A B两点，其中A在第一象限，点(,0)M p，若|AFAM=，则直线AB的斜率为_16.定义在R上的函数()f x满足(21)(21)(2022)fxfxf+=，(1)(1)f xfx+=+，若11()22f=，则(2022)_f=，20011()_.2kkf k=四解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10 分）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c设22(sinsin)sinsinsinBCABC=(1)求A；(2)若ABC为锐角三角形，且3=a，求ABC面积的取值范围18（12 分）已知数列 na的首项127a=，且满足*12()31nnnaana+=+N(1)求证：数列13na为等比数列；(2)若1231111naaaa+100，求满足条件的最大正整数n 高三数学-4 19.（12 分）2022 年某省社科院发布了本年度“城市居民幸福指数排行榜”，某市成为了本年度城市居民最“幸福城”.随后，某机构组织人员进行社会调查，用“10 分制”随机调查“明月”社区人们的幸福指数.现从调查人群中随机抽取 16 名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶).若幸福指数不低于 9.0 分，则称该人的幸福度为“超级幸福”.（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这 16 人中随机选取 3 人，至少有 2 人是“超级幸福”的概率；（3）以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选 4 人，记表示抽到“超级幸福”的人数，求的分布列及数学期望 20.（12 分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为 2的菱形，且60BAD=，CEDE=，EFDB，2DBEF=，平面CDE 平面ABCD（1）求证：平面BCF 平面ABCD；（2）若直线BE与平面ABCD所成角的正弦值3 1010，求点C与平面AEF的距离.21.（12 分）已知椭圆C:x24+y2=1，过点M(0,-12)直线l1,l2的斜率为k1,k2，l1与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，l2与椭圆交于C(x3,y3),D(x4,y4)两点，且 A,B,C,D任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线y=-12交直线AC,BD于P,Q，(1)求证：2341 1 21234k x xk x xxxxx=+；(2)|PMQM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.22.（12 分）已知函数f(x)=ax+bx+c(a 0)的图象在点(1,f(1)处的切线方程为y=x-1.（1）用a表示出b,c；（2）若()ln0f xx在1,+)上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：1+12+13+1n+12(n+1)12+ln(n+1)(nN*).120222023 学年度上学期高三期末考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题1.B2.A3.D4.A5.B6B7.C8.A二、多项选择题9.BD10.AC11.ABC12.BC三、填空题13.4 或 514.-12015.2 6160，-100四、解答题17.解：（1）2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC-即：sin2Bsin2C-sin2A sinBsinC由正弦定理可得：b2c2-a2bc.2 分由余弦定理得 cosAb2c2-a22bc12 A 0,p所以 Ap3.4 分（2）由正弦定理可得32 3sinsinsin32bcaBCA即 b 2 3sinB,c 2 3sinC，.5 分 3 3sinBsinp3B 3 3sinB32cosB12sinB SABC12bcsinA122 3sinB2 3sinC32 3 3sinBsinC2 3 334sin2B1-cos2B43 342sin 2B-p61.8 分因为 DABC为锐角三角形，所以 Bp6,p2,2B-p6p6,5p6,.10 分1sin 2,1 2sin 212,3,626BBpp-，即 SABC3 32,9 34.18.解：（1）an12an3an1,1an13an12an，11113111,33222nnnnaaaa-，.2 分又112171,3722aa-，所以数列13-na是以12为首项，12为公比的等比数列.4 分（2）解：由（1）可知，1an-31212n-112n,1an12n3，.8 分若，则 1-12n3n100,3n-12n 99，令1()3992xf xx-，所以()f x在R上单调递增，.10 分且333411(33)99990,(34)10299022ff-，所以满足条件的最大正整数33n.12 分3 1414E所以19.解：19 解：（1）众数：8.6；中位数：8.75；2 分（2）设iA表示所取 3 人中有i个人是“超级幸福”，至少有 2 人是“超级幸福”记为事件A，6 分（3）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，4每个人超级幸福的概率 P41614，B4,14 P 2C4214234227128,P 3C43143341364,P 4C441441256.10 分所以的分布列为：.14,4B因为，.12分20.解:（1）设 O是 CD中点，G是 BC中点，如下图所示.由于 CEDE，所以 OECD，由于平面 CDE平面 ABCD，且平面 EDC平面 DBCDC，所以 OE平面 ABCD，所以 OEOB.3 分由 于 G是 BC的 中 点，所 以 OGBD,OG12BD，而1,2EFBD EFBD，所以,EFOG EFOG，所以四边形 EFGO是平行四边形，所以FGOE，01234P812562764271283641256 21341242333161619140C CCP AP AP ACC则413014438113270,1,42564464PCPC 4由于 FG平面 BCF，所以平面 BCF平面 ABCD.6 分（2）由于四边形 ABCD是菱形，且，所以三角形 BCD是等边三角形，OB3,OBCD.由于 OE平面 ABCD所以 OBE是直线 BE与平面 ABCD所成角，所以 sinOBEOEOE2OB23 1010，解得 OE 3 3.8 分以 O为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则3 1(0,0,3 3),(,3 3),(3,2,0),(0,1,0)22EFAC-，设平面 AEF的法向量为 n(x,y,z)，则，故可 n(1,-3,1)10分又(0,1,3 3)EC-，设 C到平面 EAF的距离为 d,则(0,1,3 3)(1,3,1)4 15|55ECd-nn.12 分21.解：直线 l1:yk1x-12，l2:yk2x-12 yk1x-12x24+y21消去 y得 (14k12)x2-4k1x-3 0，显然 D 0,x1x24k114k12,x1x2-31 4k1，k1x1x2x1x2-342 分5同理可得k2x3x4x3x4-34，所以 k1x1x2x1x2k2x3x4x3x44 分（2）设P(xp,-12)，Q(xq,-12)由已知可得 y1y3,y2y4，即 k1x2k2x4,k1x1k2x3因为 A,P,C共线，有y1-y3x1-x3y1+12x1-xp,即(k1x1-12)-(k2x3-12)x1-x3k1x1-12+12x1-xp,解得xp(k2-k1)x1x3k2x3-k1x1，同理可得xq(k2-k1)x2x4k2x4-k1x26 分又由(1)知k1x1x2x1x2k2x3x4x3x4，可得 k1x1x2(x3x4)k2x3x4(x1x2),整理得x1x3(k1x2-k2x4)x2x4(k2x3-k1x1),即 x1x3(k2x3-k1x1)x2x4(k1x2-k2x4)8 分xpxq(k2-k1)x1x3k2x3-k1x1(k2-k1)x2x4k2x4-k1x2(k2-k1)(x1x3k2x3-k1x1x2x4k2x4-k1x2)0所以|xp|xq|,|PM|xp|xq|QM|,即|PM|QM|112 分22.解：（1）f(x)a-bx2，则有 f(1)abc 0,f(1)a-b1,解得 ba-1c1-2a.2 分（2）由（1）知，f(x)axa-1x1-2a，令g(x)f(x)-lnxaxa-1x1-2a-lnx,x1,),6则 g(1)0，g(x)a-a-1x2-1xax2-x-(a-1)x2a(x-1)(x-1-aa)x24 分当0 a12时，1-aa1.若1x1-aa，则 g(x)0，g(x)是减函数，所以 g(x)g(1)0，这与题意不符.当12a时，11aa-.若1x，则()0g x，g(x)是增函数，所以()(1)0g xg，即()ln0f xx-恒成立.综上所述，所求 a的取值范围为 12,)8 分（3）由（2）知：当12a时，有()ln(1)f xx x，令a12，有11()()ln(1)2f xxx xx-，且当 x1时，12(x-1x)lnx，令xk1k，有lnk1k12(k1k-kk1)12(11k)-(1-1k1)，即ln(k1)-lnk12(1k1k1),k1,2,3,n.10 分将上述 n个不等式依次相加得ln(n1)12(12131n)12(n1)，两边加12，整理得111111ln(1)(1)232(1)2nnnn12 分