吉林省长春市博硕学校（原北京师范大学长春附属学校）2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题含答案.pdf
北师大长春附属学校北师大长春附属学校 20222023 学年度上学期学年度上学期高高二二年级期末考试年级期末考试数学数学学科试卷学科试卷考试时间：考试时间：120 分钟分钟满分：满分：150 分分一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线 l1、l2的斜率是方程 x23x10 的两根，则 l1与 l2的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直D重合2已知F（4，0）是椭圆222210 xyabab的右焦点，椭圆短轴长为 6，则椭圆的离心率为（）A?B23C34D453.函数 f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数 f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内的极值点共有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个4.已知an是等差数列，且a3a94a5，a26，则该数列的公差是（）A.3B.41C.4D.145.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x2y20 被圆(x2)2(y1)24 截得的弦长为()A.2B.4C.?D.?6.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y22px（p0）的焦点为 F，M 是抛物线 C 上的点，若OFM的外接圆与抛物线 C 的准线相切，且该圆面积为 81，则 p（）A.6B.8C.10D.127已知函数 f(x)3x4ln xxa2 在区间(0，2)上至少有一个零点，则实数 a 的取值范围是()A1，)B2，4ln 32)C(2，4ln 212)D0，)8定义：在数列an中，若满足an2an1an1and(nN*，d 为常数)，称an为“等差比数列”已知在“等差比数列”an中，a1a21，a33，则?()A42 02021B42 0202C42 01921D42 0192二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）9下列函数的求导正确的是（）A211xxBsincosxxC1ln22xxDe1exxxx10已知点1,0F，直线:4l x，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.则下列结论中正确的是（）A点P的轨迹方程是22143xyB点（2,1）在点 P 的轨迹内部C平面上有一点1,1A，则2PAPF的最小值为 4.D点 P 的轨迹与圆C：2220 xyx有交点11南宋数学家杨辉所著的详解九章算法.商功中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个球，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列 na，则（）A?B11nnaanC?D1121niinan12 函数?+?+?(?0)的图象如图所示，设?是函数?的导函数，则下列结论正确的是（）A?的解集是（2,5）B?Cx=2时，?取得最大值D?的解集是(,1)(1,2)(3,5)三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）13.曲线 ylnx 在点（e，1）处的切线方程为_.14数列an的通项公式是an=2n-41，?的前 n 项和为?，则Sn取得最小值时,n=.15.设 F1，F2是双曲线 C：2222byax1（a0，b0）的两个焦点，P 是 C 上一点.若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角为 30，则 C 的渐近线方程为.16已知函数 f(x)xex(e 是自然对数的底数)，则函数 f(x)的最大值为_；若关于 x 的方程f(x)22tf(x)2t10 恰有 3 个不同的实数解，则实数 t 的取值范围为_四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10 分）已知等差数列 na满足：110a，且210a，38a，46a 成等比数列(1)求数列 na的通项公式；(2)若数列 nb的通项公式为?，求数列?的前n项和?18（12 分）某校在 2022 年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取 40 名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第 1 组75,80)，第 2 组80,85)，第 3 组85,90)，第 4 组90,95)，第 5 组95,100，得到的频率分布直方图如图所示且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这 5 人中选 2 人发言，那么这两人都“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前 22%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？19（12 分）已知函数?，满足?(1)求实数 a 的值；(2)求 fx的极值20.（12 分）若数列na满足221nnna aa，?，?(1)求na的通项公式；(2)若?，求数列nna b的前n项和nS21.（12 分）已知抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，点 A?,?在抛物线上，且OAF的面积为?（O为坐标原点）(1)求抛物线的标准方程；(2)过点（0，1）直线 l 与抛物线交于 M，N 两点，若以MN为直径的圆经过 O 点，求直线 l 的方程22（12 分）已知函数 lnfxxaxa(1)若 a0,试讨论 fx的单调性；(2)若 0f x 恒成立，求实数 a 的值北师大长春附属学校北师大长春附属学校 20222023 学年度上学期学年度上学期高二年级数学期末考试高二年级数学期末考试参考答案参考答案一、一、单选题单选题（每小题（每小题 5 分）分）题号题号12345678答案答案BDCACDDA二、二、多选题多选题（每小题 5 分，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）题号题号9101112答案答案BDADABDBC三、三、填空题填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，其中 16 题第一空 2 分，第二空 3 分）13.y=?x14.2015.y=?x16.1e；(e12e，12)16 题题【解析】f(x)的定义域为 R，f(x)1xex，故 f(x)在(，1)上递增，在(1，)上递减，所以 f(1)是 f(x)的极大值也是最大值所以最大值为 f(1)1e.当 x0 时 f(x)0，当 x0 时，f(x)0，当 x0 时，f(x)0.由f(x)22tf(x)2t10，即f(x)2t1f(x)10，由上述分析可知 f(x)10，f(x)1 有一个解 x1.故需 f(x)2t10，f(x)12t 有两个不同的解，由上述分析可知：012t1e，解得e12et12.所以实数 t 的取值范围是(e12e，12).四、解答题四、解答题（共（共 70 分）分）17 题【详解】（1）等差数列 na的首项110a，公差设为d，由210a，38a，46a 成等比数列，则 23248106aaa，即 2111281036adadad，2 分即 218220163ddd，解得2d，3 分所以1128naandn.5 分（2）?1 分?3 分化简得：?分18 题【详解】(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为：1(8085)82.523 分(2)“良好”的学生频率为(0.01 0.07)50.4，“优秀”学生频率为1 0.40.6；由分层抽样可得“良好”的学生有5 0.42人，“优秀”的学生有 3 人，4 分将三名优秀学生分别记为 A，B，C，两名良好的学生分别记为 a，b，则这 5 人中选 2 人的基本事件有：,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab共 10 种，5 分所以都“优秀”的概率是 P?7 分(3)由第三、四、五组的人数成等差数列得(0.02)5 4025 400.022nmnm ，又由（2）知(0.02)50.6nm，由可得0.04,0.06mn9 分第五组人数频率为0.0250.110%，第四、五组人数的频率为(0.020.04)50.330%，10 分故初试时笔试成绩得分从高到低排名在 22%的学生分数在第四组，设至少得 x 分能进入面试，则(95-x).?.?.?，11 分解得 x=92，即根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到 92 分才能直接进入复试12 分19 题【详解】（1）由题意，ln1fxxa，2 分解得 a=1.4 分（2）由（1）?，且?为增函数.5 分令?可得?，6 分故当?时，0fx，fx单调递减；当?时，fx单调递增.8 分故 fx在?处有极小值，10 分极小值为?（?）=-?-4，无极大值.12 分20 题【详解】（1）因为数列na满足221nnna aa，?，?，所以0na.所以数列na为等比数列，2 分设其公比为 q（0q）.所以?，解得：q=2.4 分所以na的通项公式为?.6 分（2）由（1）可知：?，所以?，所以?8 分?9 分 得：?12 分21 题【详解】(1)解：由题意得?，解得 p=1，所以抛物线方程为 y2=2x；4 分(2)解：若 K 不存在，M(1,?)N(1,-?),则以 MN 为直径的圆不过 O 点，不合题意5 分显然 k0，设 M(x1，y1)，N(x2，y2），联立212ykxyx，消去 y，得 k2x2+2(k-1)x+1=0，6 分224140kk，解得 k12，1212222(1)1,kxxx xkk，7 分因为以 MN 为直径的圆经过点 O，所以 OMON，x1x2+y1y2=0，8 分因为 y1=kx1+1，y2=kx2+1，所以 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=2k，10 分2k+21k=0，k=-12，11 分所以直线l的方程为 y=-12x+112 分22 题【详解】（1）解：由题意，函数?的定义域为,?，则 11axaxxfx，2 分当0a 时，当10,xa时，0fx，当1,xa时，0fx，4 分所以 fx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减5 分（2）解：当0a 时，由（1）知，?在,?上单调递增，所以当1x 时，10fxf，不合题意6 分当0a 时，由（1）知，max 11ln1ln1f xfaaaaa ，7 分因为 0f x 对0 x 成立，所以 max0fx，即ln10aa，8 分令 ln10g aaaa，则 111ag aaa ，9 分所以 g a在0,1上单调递减，在1,上单调递增，则 min 10g ag，所以 10g ag，11 分所以不等式ln10aa 的解为1a，综上可得，实数a的值为1.12 分
