黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷含答案.pdf
齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试数学试题齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试数学试题一、单选题（每题 5 分，共 40 分）一、单选题（每题 5 分，共 40 分）1.已知集合,142|,23|xxBNnnxxA则集合BA中元素的个数为A.5B.4C.3D.22.已知复数z满足),(11Rbabiai则baA.0B.1C.1D.23.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为A.35B.75C.155D.3154.,2|,2|ba且,)(aba则a与b的夹角是A.6B.4C.3D.1255.现有10名学生排成一排,其中4名男生,6名女生,若有且只有3名男生相邻排在一起,则不同的排法共有()种A.2726AAB.2734AAC.272633AAAD.276634AAA6.已知函数)20,0)(sin(2)(xxf的图象的相邻两个零点的距离为,2,2)0(f则)(xfA.)42sin(2xB.)42sin(2xC.)44sin(2xD.)44sin(2x7.已知点QPNM,在同一个球面上,5,4,3MPNPMN若四面体MNPQ体积的最大值为10,则这个球的表面积是A.425B.16625C.16225D.41258.已知函数,ln2)(2axxxexfax若0)(xf恒成立，则实数a的取值范围为A.),1(eB.),1(C.),2(eD.),(e二、多选题（每题 5 分，共 20 分，漏选得 2 分，错选不得分）二、多选题（每题 5 分，共 20 分，漏选得 2 分，错选不得分）9.将函数xxfsin)(的图象向左平移3个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来2023届部分地区的21倍（纵坐标不变），得到)(xg的图象，则A.函数)3(xg是偶函数B.6x是函数)(xg的一个零点C.函数)(xg在区间12,125上单调递增D.函数)(xg的图象关于直线12x对称10.若甲组样本数据nxxx,21（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据axaxaxn3,3,321的平均数为4，则下列说法正确的是A.a的值为2B.乙组样本数据的方差为36C.两组样本数据的样本中位数一定相同D.两组样本数据的样本极差不同11.如图，正方体1111DCBAABCD 的棱长为1，线段11DB上有两个动点,FE且,22EF则下列结论中正确的有A.当E点运动时，AECA1总成立B.当E向1D运动时，二面角BEFA逐渐变小C.二面角CABE的最小值为45D.三棱锥BEFA的体积为定值12.下列说法正确的有A.若,21x则1212xx的最大值是1B.若zyx,是正数，且,2zyx则zyx114的最小值是3C.若,822,0,0 xyyxyx则yx2的最小值是2D.若实数yx,满足,0 xy则yxyyxx22的最大值是224三、填空题（每题 5 分，共 20 分）三、填空题（每题 5 分，共 20 分）13.在某项测量中,测得变量).0)(,1(2N若在)2,0(内取值的概率为8.0,则在)2,1(内取值的概率为.14.函数xexaxfln)(在点)1(,1(fP处的切线与直线032 yx垂直,则a.15.过直线2:xyl上任意点P作圆1:22 yxC的两条切线,切点分别为,BA当切线长最小时,PAB的面积为.16.抛物线)0(22ppyx上一点)1)(,3(mmA到抛物线准线的距离为,413点A关于y轴的对称点为OB,为坐标原点，OAB的内切圆与OA切于点,E点F为内切圆上任意一点，则OFOE的取值范围为_四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10 分）等差数列na的前n项和为.32,21,655aSaSn(1)求数列na的通项公式;(2)记,nnSnb 数列1nnbb的前n项和为,nT求.nT18.（12 分）ABC的内角CBA,的对边分别为,cba设).cos2(sin3BaAb(1)求;B(2)若ABC的面积等于,3求ABC的周长的最小值.19.（12 分）某机构为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值注：表中.1iixu(1)根据散点图判断：bxay与xdcy哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)xyu812)(iixx81)(iiiyyxx812)(iiuu81)(iiiyyuu15.253.630.2692085.5230.30.7877.049(2)根据(1)的判断结果以及表中数据，建立y关于x的经验回归方程；(计算结果精确到 0.01)(3)若该图书每册的定价为 10 元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840 元？(假设能够全部售出结果精确到 1)参考公式:经验回归方程xbay中,.,)()(121xbyaxxyyxxbniiniii20.（12 分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，侧面PAD底面MABCD,为PA的中点，.10 PDPA(1)求证：/PC平面;BMD(2)求二面角PBDM的大小21.（12 分）已知抛物线)0(2:2ppxyC的焦点为,F抛物线C上的点到准线的最小距离为 1.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点F作互相垂直的两条直线1l和,2l1l与抛物线C交于BA,两点,2l与抛物线C交于DC,两点,NM,分别为弦CDAB,的中点,求|NFMF 的最小值.22.（12 分）已知函数).(2ln)(2Raxaexxxfx(1)若,0a讨论)(xf的单调性；(2)若)(xf在区间)2,0(内有两个极值点，求实数a的取值范围.齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试数学试题答案齐齐哈尔市实验中学高三上学期期末考试数学试题答案1.C当 n=0,1,2,3,4 时,x=3n+2 分别为 2,5,8,11,14,所以 AB=5,8,11,故选 C.2.A由11+i=a+bi(a,bR),得1212i=a+bi,则 a=12,b=-12,所以 a+b=0.故选 A.3.C由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为 a1,公比为 q,前 n 项和为 Sn,所以a1=5,q=2,因此前 5 天所屠肉的总两数为1(1-5)1-=5(1-25)1-2=155.故选 C.4.B,)(aba,2022bababaa22cos2|22a ba bab ，所以a与b的夹角是4.故选B.5.D采用捆绑法和插空法.从 4 名男生中选择 3 名,进而将 3 个相邻的男生捆在一起,看成 1 个男生,方法数是A43种,这样与第 4 个男生看成是 2 个男生;然后 6 个女生任意排的方法数是A66种;最后在 6 个女生形成的 7 个空隙中,插入 2 个男生,方法数是A72种.综上所述,不同的排法共有A43A66A72种.故选 D.6.B因为函数 2sin0,02fxx的图象的相邻两个零点的距离为2，所以22T，所以222T，所以 2sin 2xxf，又因为 02f，所以 02sin2f，解得2sin2，因为02，所以4，所以 2sin 24fxx.故选 B.7.B由 MN=3,NP=4,MP=5,可知PNM=90,则球心 O 在过 PM 中点 O与面 MNP 垂直的直线上,因为 MNP 面积为定值,所以高最大时体积最大,根据球的几何性质可得,当 OQ 过球心时体积最大,因为四面体 Q-MNP 的最大体积为 10,所以13SMNPOQ=131234OQ=10,可得 OQ=5,在OOP 中,OP2=OO2+OP2,则 R2=(5-R)2+254,得 R=258,故球的表面积为 4 2582=62516,故选 B.部分地区8.C()0f x 等价于22lne2lne2lnaxxaxxxx令函数()exg xx，则()e10 xg x，故()g x是增函数2lnee2lnaxxaxx等价于2ln(0)axx x，即2lnxax令函数2ln()xh xx，则222ln()xh xx当(0,e)x时，()0h x，()h x单调递增；当(e,)x时，()0h x，()h x单调递减max2()(e)eh xh.故实数 a 的取值范围为2,e故选 C.9.BCD将函数 sinf xx的图象向左平移3个单位长度，可得sin3yx，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得()sin 23g xx，对于 A 选项，令 sin 2sin 23333h xg xxx，则06h，2sin063h，故函数3g x不是偶函数，A 不正确；对于 B 选项，因为sin006g，故6x 是函数()g x的一个零点，B 正确；对于 C 选项，当5,12 12x 时，2,32 2x ，所以函数()g x在区间5,12 12 上单调递增，C 正确；对于 D 选项，因为对称轴满足2,Z32xkk，解得,Z122kxk，则0k 时，12x，所以函数()g x的图象关于直线12x 对称，D 正确故选 BCD10.ABD由题意可知：3 24a，故2a ，故 A 正确；乙组样本数据方差为9 436，故 B 正确；设甲组样本数据的中位数为ix，则乙组样本数据的中位数为32ix，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故 C 错误；甲组数据的极差为maxminxx，则乙组数据的极差为 maxminmaxmin32323xxxx，所以两组样本数据的样本极差不同，故 D 正确；故选 ABD.11.ACD对于 A：因为1111B DAC，111B DA A，1111ACA AA，所以11B D 面11AC CA，因为1AC 面11AC CA，所以111B DAC，同理可证11ADAC，因为1111ADB DD，所以1AC 平面11AB D，因为AE 平面11AB D，所以1ACAE总成立，故选项 A 正确；对于 B：平面EFB即平面11BDD B，而平面EFA即平面11AB D，所以当E向1D运动时，二面角AEFB大小不变，选项 B 不正确；对于 C：建立如图所示的空间几何体，则1,1,0,0,1,0,0,0,0ABC，11,0,0,1,0,1DD，因为,E F在11B D上，且22EF，故可设1 3,1,1,12 2E ttF tt，112t 1,1AEtt，设平面ABE的法向量为,mx y z，又1,0,0AB ，所以010 xtxt yz ，取1y，则0,1,mt，平面ABC的法向量为0,0,1n，所以2cos,11tm nt，设二面角EABC的平面角为，则为锐角，故221cos111ttt，当112t，故21215t，所以52cos52，当且仅当1t 时cos取最大值22即取最小值45，故 C 正确；对于 D：因为1112212224BEFSEFBB，点A到平面11BDD B的距离为22，所以体积为122134212，即体积为定值，故选项 D 正确故选 ACD.12.ABD对于 A，因为12x，所以210 x，所以1 20 x，所以1122112121xxxx 111 2121 2111 21 2xxxx ，当且仅当11212xx，即0 x 时等号成立，所1221xx的最大值为1，故 A 正确；对于 B，因为 x，y，z 都是正数，且2xyz，所以13xyz，10 x，0yz，所以411411131xyzxyzxyz，所以44411111552313131yzyzxxxyzxyzxyz，当且仅当411yzxxyz，即12xyz，即11xyz时等号成立，所以411xyz的最小值为 3，故 B 正确；对于 C，因为0 x，0y，所2222xyxy，即2224xyxy（当且仅当2xy时等号成立），因为228xyxy，所以282xyxy，所以22824xyxy，所以2242320 xyxy，解得28xy（舍去）或24xy，当且仅当22xy时等号成立，所以2xy的最小值为 4，故 C 错误；对于 D，令xyt，2xys，则2xts，yst，因为0 xy，所以 x，y 同号，则 s，t 同号，所以22244242 22xyststxyxytsts，当且仅当2stts，即2st时取等号，所以22xyxyxy的最大值是42 2，当且仅当2xy时，等号成立，故 D 正确故选 ABD.13.0.4因为符合正态分布 N(1,2),所以曲线的对称轴是 x=1,因为在(0,2)内取值的概率为 0.8,所以在(1,2)内取值的概率为 0.4.14.e2由题意,得 f(x)=axex-aexlnx(ex)2=ax-alnxex.又切线斜率 k=12.f(1)=ae=12,a=e2.15.12依据题意作出图象,如图:因为直线 PA 过点 P 且与圆 x2+y2=1 相切于点 A,所以 PAOA,所以|PA|=2-2=2-1,要使得 PA 最小,则 OP 要最小,由题可得 OP 的最小值就是点 O 到直线 l:y=x-2 的距离 d=|0-2-0|12+12=2.此时,|PA|min=min2-1=(2)2-1=1,所以OPA=4,由切线的对称性可得BPA=2,|PB|=1,所以PAB 的面积为 SPAB=1211=12.1633 3+3，因为点(3)Am，在抛物线上，所以3322pmmp，点 A 到准线的距离为313224pp，解得12p 或6p=当6p=时，114m，故6p=舍去，所以抛物线方程为2xy，(3 3)(3 3)AB，所以OAB是正三角形，边长为2 3，其内切圆方程为22(2)1xy，如 图 所 示，3322E，设 点(cos2sin)F，（为 参 数），则33cos3sin33sin226OE OF ，33 33OE OF ，17.解(1)设等差数列na的公差为 d.则a1+4d=21,5a1+542d=2(a1+5d)+3,.（2 分）解得a1=1,d=5,.（3 分）所以na=5n-4.（4 分）(2)由(1)可得 Sn=(5n-3)n2,.（5 分）所以nb=nSn=25n3,1nb=n+1Sn+1=25n+2,.（6 分）则1nnbb=4(5n-3)(5n+2)=4515n315n+2,.（8 分）所以 Tn=451217+17112+15n315n+2=451215n+2=2n5n+2.（10 分）18.解(1)因为 3bsin A=a(2+cos B),由正弦定理得 3sin Bsin A=sin A(2+cos B).（2 分）因为 A(0,),所以 sin A0,所以 3sin B-cos B=2,.（3 分）所以 2sin(B-6)=2.（4 分）因为 B(0,),所以 B-6=2,即 B=23.（5 分）(2)依题意34=3,即 ac=4.（6 分）所以 a+c2=4,当且仅当 a=c=2 时取等号.（7 分）又由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac3ac=12,所以 b2 3,.（9 分）当且仅当 a=c=2 时取等号.（10 分）所以ABC 的周长的最小值为 4+2 3.（12 分）19.解(1)由散点图判断，ycdx更适合作为该图书每册的成本费 y(单位：元)与印刷数量 x(单位：千册)的经验回归方程.（2 分）(2)由iixu1，先建立 y 关于 u 的经验回归方程，由于7.0490.7878.96，.（4 分）所以cydu3.638.960.2691.22，.（6 分）所以 y 关于 u 的经验回归方程为y1.228.96u，.（7 分）所以 y 关于 x 的经验回归方程为y1.228.96x.（8 分）(3)假设印刷 x 千册，依题意得 10 x(1.228.96x)x78.840，.（10 分）所以 x10，.（11 分）所以至少印刷 10 000 册才能使销售利润不低于 78 840 元.（12 分）20.解(1)连接 AC 交 BD 于 N，连接.MN在正方形 ABCD 中，ACBDN，N 是 AC 的中点.又 M 是 AP 的中点，MN 是APC的中位线，MNPC，.（2 分）MN面 BMD，PC 面 BMD，PC平面 BMD.（4 分）（2）取 AD 的中点 O，连接 OP，.ON在PAD中，PAPD，O 是 AD 的中点，OPAD，又平面PAD 平面 ABCD，OP 平面 PAD，平面PAD平面ABCDAD，OP 平面.ABCD.（6 分）在正方形 ABCD 中，O，N 分别是 AD、BD 的中点，ONAD，OP，OD，ON 两两相互垂直，分别以 OD，ON，OP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.Oxyz(0,0,6)P，(2,0,0)D，(2,4,0)B，),26,0,1(M6(3,0,)2DM ，(2,0,6)DP ，(4,4,0).DB 设平面 MBD 的一个法向量1(,)nx y z，则11,nDMnDB ，即630,2440,xzxy取1x，得1(1,1,6)n，1(1,1,6)n 是平面 MBD 的一个法向量;.（8 分）同理，2(3,3,2)n 是平面 PBD 的一个法向量，.（10 分）121212cos,n nn nnn 2222221313623211(6)(3)(3)(2).（11 分）设二面角MBDP的大小为，由图可知，1coscosn，232n ，且为锐角，30，故二面角MBDP的大小是30.（12 分）21.解(1)抛物线 C 上的点到准线的最小距离为 1,2=1,解得 p=2,.（2 分）抛物线 C 的方程为 y2=4x.（3 分）(2)由(1)可知焦点为 F(1,0).由已知可得 ABCD,两直线 AB,CD 的斜率都存在且均不为 0.设直线 AB 的斜率为 k,则直线 CD 的斜率为k1,直线 AB 的方程为 y=k(x-1).联立2=4,=(-1),消去 x 得 ky2-4y-4k=0.（5 分）设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4.设 M(xM,yM),由 yM=k(xM-1),得 xM=+1=22+1,M22+1,2.（7 分）同理可得 N(2k2+1,-2k).（8 分）|NF|=(22+1-1)2+(-2)2=2 2(2+1),|MF|=2 1+22,.（9 分）|MF|NF|=2 1+222 2(1+2)=41+2|42|1|=8,.（11 分）当且仅当|k|=1|,即 k=1 时,等号成立.|MF|NF|的最小值为 8.（12 分）22.解(1)由题意可得 f x的定义域为(0),，23212xaexfxxxx32xxaexx，.（1 分）当0a 时，易知0 xxae，所以，由 0fx得02x，由 0fx得2x，.（3 分）所以 f x在(0)2,上单调递减，在2,上单调递增.（4 分）(2)由(1)可得 32xxaexfxx，当02x时320 xx，记 xg xxae，则 1xg xae，因为 f x在区间(0)2,内有两个极值点，所以 g x在区间(0)2,内有两个零点，所以0a.（6 分）令 0gx，则lnxa，当ln0a，即1a 时，在(0)2,上，0()g x，所以在(0)2,上，g x单调递减，g x的图象至多与 x 轴有一个交点，不满足题意.（7 分）当ln2a，即210ae时，在(0)2,上，0gx，所以在(0)2,上，g x单调递增，g x的图象至多与 x 轴有一个交点，不满足题意.（8 分）当0ln2a，即211ae时，g x在(0)lna,上单调递增，在(ln2)a,上单调递减，由 00ga 知，要使 g x在区间(0)2,内有两个零点，必须满足 2lnln10220gaagae ，解得221aee，.（11 分）综上所述，实数 a 的取值范围是22 1,ee.（12 分）
