材料力学之应力状态.ppt

1 本章要点本章要点（1）平面应力状态的解析法和图解法）平面应力状态的解析法和图解法（2）强度理论（包括莫尔强度理论）强度理论（包括莫尔强度理论）重要概念重要概念 单元体、平面应力状态、平面应变状态、单元体、平面应力状态、平面应变状态、主应力、主应变、广义虎克定律，强度理论。主应力、主应变、广义虎克定律，强度理论。28-1 应力状态的概念和实例应力状态的概念和实例目录目录8-2 平面应力状态下的任意斜截面上的应力平面应力状态下的任意斜截面上的应力8-3 平面应力状态下的最大应力平面应力状态下的最大应力,主应力主应力8-4 三向应力状态下的最大应力三向应力状态下的最大应力8-5 广义胡克定律广义胡克定律8-6 强度理论强度理论38-1 应力状态的概念和实例应力状态的概念和实例1.应力状态的概念：应力状态的概念：由由第二章第二章分析分析轴向拉压轴向拉压时时,直杆截面直杆截面上的上的应力应力时时可知可知：随着所取随着所取截面截面的的方向方向不同不同,截面上截面上的的应力应力也不同。也不同。由分析由分析圆轴扭转圆轴扭转及及梁弯曲梁弯曲时时,由由横截面横截面上的上的应力公式应力公式,可知可知:在同一在同一横截面横截面上的上的各点各点,应力应力也是也是不相不相同的同的,即即应应力力 不仅随着不仅随着截面方向截面方向的不同的不同而不同而不同,而且在而且在同一截面同一截面上的上的 各点各点应力应力也不一也不一 定定完全相同完全相同。定义定义:截面截面上上一点处一点处,不同方位不同方位截面上截面上在在该点处该点处应力应力的的全全部情况部情况,就称为就称为该点该点的的 应力状态应力状态。1.一点的应力状态一点的应力状态4 为了研究为了研究一点一点的的应力状态应力状态，围绕，围绕该点该点截取一截取一微小微小的的 正六面体正六面体,这个这个微小正六面体微小正六面体就称为就称为单元体单元体。由于由于单元体单元体很微小很微小,故可以把它的故可以把它的各个面各个面上的上的应力应力 看做是看做是均匀分布均匀分布的。的。单元体单元体两个两个平行平面平行平面上的上的应力应力,可看成是可看成是相等相等的。的。这个这个单元体单元体的的应力情况应力情况可以代表可以代表该点该点的的应力状态应力状态。在在受力构件受力构件中的中的某一点某一点,总可以总可以找出一个找出一个单元体单元体,在这在这个个单元体单元体的的各个面各个面上只有上只有正应力正应力而而无剪应力无剪应力。主单元体主单元体：各个面各个面上上剪应力剪应力为零的为零的单元体单元体；主平面主平面：主单元体主单元体上的上的各个面各个面；主应力主应力：主平面主平面上的上的正应力正应力。2.单元体：单元体：3.主单元体主单元体,主平面主平面,主应力主应力定义：定义：3 1 2 2 3 1xy x x yx xy y y54.应力状态的分类：应力状态的分类：(1).单向应力状态单向应力状态:三个主应力三个主应力中中,只有只有一个不为一个不为零零 又称又称简单应力状态简单应力状态。(2).二向应力状态二向应力状态:三个主应力三个主应力中中,只有只有一个为零一个为零。(3).三向应力状态三向应力状态:三个主应力三个主应力都不为零。都不为零。二向二向和和三向应力状态三向应力状态又称又称复杂应力状态复杂应力状态。3 1 2 2 3 1 2 2 1 1 1 1 三个三个主应力主应力用用 1、2、3 表示表示，按按代数值大小代数值大小顺序排列顺序排列,即即 1 2 3 6横截面，周向面，直径面各一对横截面，周向面，直径面各一对 一对横截面，两对纵截面一对横截面，两对纵截面PPA=FN/A ATeTeB=T=Te/WnB 同同 b)，但从上表面截取但从上表面截取C PMeMeCPCABB BC C C CA A A从从A、B、C三点截取三点截取单元体单元体的的选取选取:使使单元体单元体各个面上各个面上的的应力应力已知已知或或可以可以计算计算。7例题例题 1 画出画出如图如图所示所示梁梁 S 截面截面的的应力状态应力状态单元体单元体.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面平面平面平面8S平面平面254321543211 x1 x1 x2 x2 2 23 3 3912yxzy4321FSMZTx xzy43213例题例题2 画出画出如图如图所示所示梁的梁的危险截面危险截面上上,危险点危险点的的应力状态应力状态 单元体。单元体。al lSF10例例题3 分析分析薄壁薄壁圆筒筒受受内内压时的的应力状力状态p薄壁圆筒薄壁圆筒的的横截面面积横截面面积mmnp(1).沿沿圆筒轴线圆筒轴线作用于作用于筒底筒底的的总压力总压力为为FFnn11直径平面直径平面(2).假想假想用一用一直径平面直径平面将将圆筒圆筒截分为二截分为二,并取并取下半环下半环为为研究对象研究对象p yOFNFNd 12圆杆圆杆受受扭转扭转和和拉伸拉伸共同作用共同作用138-2 平面应力状态下的应力分析平面应力状态下的应力分析平面应力状态平面应力状态的的普遍形式普遍形式如图所示如图所示,单元体单元体上有上有 x,xy 和和 y,yxx xyz y xy yx x y xy yx14xya x x yx xyef n nx xyz y xy yx x y xy yx一一.解析法：解析法：求与求与主平面垂直主平面垂直的的任意斜截面任意斜截面上的上的应力应力15：拉应力拉应力为为正正：顺时针转动顺时针转动为为正正：逆时针转动逆时针转动为为正正efa x xy yx y nefadAdAsin dAcos 16平衡对象平衡对象 用用 斜截面截取斜截面截取的的 微元局部微元局部 平衡方程平衡方程tyx参加参加平衡平衡的的量量 应力应力乘以乘以其其 作用作用的的面积面积 A 平衡条件平衡条件的的应用应用 微元局部微元局部的的平衡方程平衡方程，A 17 yxdAq qn x yxdAq qt t x18整理整理并应用并应用三角公式三角公式得到得到=常量常量19二二.最大正应力及方位最大正应力及方位1.1.最大正应力的方位最大正应力的方位令令 0 和和 0+90确定确定两个互相垂直两个互相垂直的的平面平面,一个是一个是最大最大正应力正应力所在的所在的平面平面,另一个是另一个是最小正应力最小正应力所在的所在的平面。平面。202.最大正应力最大正应力将将 0 和和 0+90代入代入公式公式得到得到 max 和和 min (主应力）主应力）下面还必须进一步下面还必须进一步判断判断 0 是是 x 与哪一个与哪一个主应力间主应力间的的夹角夹角最大正应力最大正应力和和最小正应力最小正应力所在所在平面平面就是就是主主平面平面,最大正应力最大正应力和和最小正应力最小正应力就是就是两个两个主主应力应力21(1).当当 x y 时时，0 是是 x 与与 max 之间的之间的夹角夹角.(2).当当 x y 时时，0 是是 x 与与 min 之间的之间的夹角夹角.(3).当当 x=y 时时，0=45，则确定则确定主应力方向主应力方向的具体的具体规则规则如下如下若约定若约定|0|45即即 0 取值取值在在 45范围范围内内主应力主应力的的方向方向可由可由单元体单元体上上切应力切应力情况情况直观判断直观判断出来出来.22三三.最大切应力及方位最大切应力及方位1.最大切应力的方位最大切应力的方位:令令 1 1 和和 1 1+90+90o o 确定确定两个互相垂直两个互相垂直的的平面平面,一个是一个是最大最大切应力切应力所在的所在的平面平面,另一个是另一个是最小切应力最小切应力所在的所在的平面平面。232.最大切应力最大切应力将将 1 和和 1+90代入代入公式公式得到得到 max 和和 min 比较比较和和可见可见24例题例题4 简支梁简支梁如图所示如图所示.已知已知:mm 截面截面上上 A 点点的的弯曲弯曲 正应力正应力和和切应力切应力分别为分别为 =-70MPa，=50MPa.确定确定:A 点点的的主应力主应力及及主平面的方位主平面的方位.A mmal A 解：解：把从把从 A 点处点处截取的截取的单元体单元体放大如图放大如图25因为因为 x y，所以所以 0=27.5 与与 min 对应对应xA A 0 1 3 1 326 x y xy例题例题 5 图示图示单元体单元体。已知已知:x=-40MPa，y=60MPa，xy=-50MPa。试求试求:ef 截面截面上的上的应力应力情况及情况及主应力主应力和和主单元体主单元体的的方位方位。n30ef(1)求求 ef 截面上截面上的的应力应力27(2)2)求主应力求主应力和和主单元体主单元体的的方位方位 x=-40MPa y=60 MPa xy=-50MPa=-30因为因为 x 0例题例题 6 求求:平面纯剪切应力状态平面纯剪切应力状态的的主应力主应力及及主平面方位主平面方位.xy所以所以 0=-45与与 max 对应对应45（2）求主应力）求主应力 1=，2=0，3=-1 330 8-3 平面应力状态分析平面应力状态分析-图解法图解法 一一.莫尔圆莫尔圆将将斜截面斜截面应力计算公式应力计算公式改写为改写为把上面把上面两式等号两式等号两边两边平方平方,然后然后相加相加便可消去便可消去 ,得得31 因为因为 x，y，xy 皆为皆为已知量已知量,所以所以上式上式是一个以是一个以 ,为为变量变量的的圆周方程圆周方程。当。当斜截面斜截面随随方位角方位角 变化时变化时,其上的其上的应力应力 ,在在 -直角坐标系直角坐标系内的内的轨迹轨迹是一个是一个圆圆。1.圆心的坐标圆心的坐标2.圆的半径圆的半径此此圆圆习惯上称为习惯上称为 应力圆应力圆,或称为或称为莫尔圆。莫尔圆。32(1)建建 -坐标系坐标系,选定选定比例尺比例尺。o 二二.应力圆作法应力圆作法1.步骤步骤xy x x yx xy y y10MPa33D xyo o (2)量取量取OA=xAD=xy得得 D 点点xy x x yx xy xAOB=y(3)量取量取BD=yx得得 D点点 yB yxD(4)连接连接 DD两点两点的的直线直线与与 轴轴相交于相交于 C 点点(5)以以 C 为为圆心圆心,CD 为为半径半径作作圆圆,该圆该圆就是相应于该就是相应于该单元体单元体的的应力圆应力圆.C34(1).该该圆圆的的圆心圆心 C 点点到到 坐标原点坐标原点的的距离距离为为(2).该该圆半径圆半径为为D xyo xA yB yxDC2.证明证明35三三.应力圆的应用应力圆的应用1.求单元体上任一求单元体上任一 截面上的应力截面上的应力 从从应力圆应力圆的的半径半径 CD 按按方位角方位角 的的转向转向,转动转动 2 ,得到得到半径半径 CE.圆周圆周上上 E 点点的的坐标坐标就依次为就依次为斜截面斜截面上的上的正应力正应力 和和切应力切应力 。D xyo o xA yB yxDC2 0FE2 xya x x yx xyef n36证明证明:372.几种对应关系几种对应关系1).点面对应点面对应 应力圆应力圆上上某一点某一点的的坐标值坐标值 对应着对应着微元微元某一某一方向方向截面截面上上的的正应力正应力和和切应力切应力;2).转向对应转向对应 起量线起量线(截面外法线截面外法线与与半径线半径线)相对应相对应,半径线旋转方向半径线旋转方向与与法线方位角法线方位角旋转旋转 方向方向一致一致;3).二倍角对应二倍角对应 半径半径转过转过的的角度角度是是方位角旋转方位角旋转 角度角度的的两倍两倍。38点点 面面 对对 应应caA39C转向对应、二倍角对应转向对应、二倍角对应q q2q2qaA AA A ayx402.求主应力数值和主平面位置求主应力数值和主平面位置(1)主应力数值主应力数值A1 和和 B1 两点两点为与为与主平面主平面对应的对应的点，点，其其横坐标横坐标 为为主应力主应力 1，2 1 2D xyo xA yB yxDC2 0FE2 B1A1412 0D xyo xA yB yxDC 1 2A1B1(2)主平面方位主平面方位由由 CD 顺时针转顺时针转 2 0 到到 CA1 所以所以单元体上单元体上从从 x 轴轴顺时针顺时针转转 0（负值负值）即即到到 1 对应的对应的主平面主平面的的外法线外法线 0 即即 1 对应的对应的主平面方位主平面方位.423.求最大切应力求最大切应力G1 和和 G 2 两点两点的的纵坐标纵坐标分别分别代表代表最大最大和和最小最小切应力切应力 2 0D xyo xA yB yxDC 1 2A1B1G1G2因为因为最大最小最大最小切应力切应力等于等于应力圆应力圆的的半径半径43 o例题例题7 从从水坝体内某点处水坝体内某点处取出的取出的单元体单元体如图所示如图所示,x=-1MPa,y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx=0.2MPa,(1)绘出相应的绘出相应的应力圆应力圆(2)确定此确定此单元体单元体在在 =30o 和和 =-40o 两斜面两斜面上的上的应力应力。x y xy解解:(1)画应力圆画应力圆量取量取 OA=x=-1,AD=xy=-0.2,定出定出 D 点点;ACBOB=y=-0.4 和和 BD=yx=0.2 ,定出定出 D点点.(-1,-0.2)DD(-0.4,0.2)以以 DD 为为直径直径绘出的绘出的圆圆即为即为应力圆应力圆。44将将半径半径 CD 逆时针转动逆时针转动 2 =60到到半径半径 CE,E 点点的的坐标坐标就代表就代表 =30斜截面斜截面上的上的应力应力。(2)确定确定 =30斜截面斜截面上的上的应力应力E60(3)确定确定 =-40斜截面斜截面上的上的应力应力将将半径半径 CD 顺时针转顺时针转 2 =80到到半径半径 CF,F 点点的的坐标坐标就代表就代表 =-40 斜截面斜截面上的上的应力应力。F80ADC BoD 30 40 40 30 30=-0.36MPa 30=-0.68MPa-40=-0.26MPa-40=-0.95MPa45例题例题8 两端简支两端简支的的焊接工字钢梁焊接工字钢梁及其及其荷载荷载如图所示，如图所示，梁梁的的横截面尺寸横截面尺寸示于示于图中图中。试试:绘出绘出截面截面 c 上上 a,b 两点两点 处处的的应力圆应力圆,并用并用应力圆应力圆求出这求出这两点处两点处的的主应力主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC46+200kN50kN+80kN.m解解:(1)首先计算首先计算支反力支反力,并作出并作出梁梁的的剪力图剪力图和和弯矩图弯矩图Mmax=MC=80 kNmFSmax=FC左左 =200 kN250KN1.6m2mABC4712015152709zab(2).横截面横截面 C 上上 a 点点的的应力应力为为a 点点的的单元体单元体如图所示如图所示a x x xy yx48由由 x，xy 定出定出 D 点点,由由 y，yx 定出定出 D点点。以以 DD为为直径直径作作应力圆应力圆,O C(3).做应力圆做应力圆 x=122.5MPa，xy=64.6MPa y=0，yx=-64.6MPa。AB(122.5,64.6)D(0,-64.6)DA1 1 3A2A1,A2 两点两点的的横坐标横坐标分别代表分别代表 a 点点的的两个主应力两个主应力 1 和和 3.A1 点对应于点对应于单元体单元体上上 1 所在的所在的主平面主平面49 a x x x x xyxy yxyx 0 0 1 1 3 312015152709za ab b(4).横截面横截面 C 上上 b 点点的的应力应力B 点点的的单元体单元体如图所示如图所示b x x x x50 b 点的三个点的三个主应力主应力为为 1 所在的所在的主平面主平面就是就是 x 平面平面,即即梁梁的的横截面横截面 Cb x x(136.5,0)D(0,0)D 151例例:一点处一点处的的应力状态应力状态如图所示。如图所示。试试:用用应力圆应力圆求求主应力主应力。120o201152例例:一点处的一点处的应力状态应力状态如图所示如图所示(应力单位应力单位为为 MPa)。试试:用用应力圆应力圆求求主应力主应力及其及其作用平面作用平面。20053已知已知:受力物体内某一点处三个主应力受力物体内某一点处三个主应力 1 1、2 2、3 3利用利用应力圆应力圆确定确定该点该点的的最大正应力最大正应力和和最大切应力最大切应力。一一.空间应力状态下的最大正应力和最大切应力空间应力状态下的最大正应力和最大切应力8-4 三向应力状态分析三向应力状态分析 3 1 2 2 3 154 首先首先研究研究与与其中一个主平面其中一个主平面(例如例如主应力主应力 3 所在的所在的平面平面)垂直垂直的的斜截面斜截面上的上的应力。应力。用用截面法截面法,沿沿求应力求应力的的截面截面将将单元体单元体截为截为两部分两部分,取取左下部分左下部分为为研究对象研究对象 2 1 1 2 2 1 355 主应力主应力 3 所在的所在的两平面两平面上是一对上是一对自相平衡自相平衡的的力力，因而该因而该斜面斜面上的上的应力应力 ,与与 3 无关无关,只由只由主应力主应力 1,2 决定决定.与与 3 垂直垂直的的斜截面斜截面上的上的应力应力可由可由 1 ,2 作出的作出的 应力圆应力圆上的点来表示上的点来表示(看成二向应力状态看成二向应力状态)2 1 56该该应力圆应力圆上的上的点点对应于对应于与与 3 垂直的垂直的所有所有斜截面斜截面上的上的应力应力;与与主应力主应力 2 所在所在主平面主平面垂直垂直的的斜截面斜截面上的上的应力应力 ,可用由可用由 1,3 作出的作出的应力圆应力圆上的点来表示上的点来表示;与与主应力主应力 所在所在主平面主平面垂直的垂直的 斜截面上斜截面上的的应力应力 ,可用由可用由 2,3 作出的作出的 应力圆应力圆的的点点来表示来表示.A 1 O 2BC 3 2 157 abc 截面截面表示与三个表示与三个主平面主平面斜交斜交的的任意斜截面任意斜截面,可以证明：可以证明：该该截面截面上上应力应力 和和 对应的对应的 D 点点,必必位于位于上述上述三个应力圆三个应力圆所所围成围成 的的阴影阴影内内.n A 1 O 2BC 3 三个三个应力圆应力圆圆周圆周上的上的点点及由它们及由它们围成围成的的阴影部分阴影部分上的上的 点点的的坐标坐标，代表了，代表了空间应力状态空间应力状态下下所有截面所有截面上的上的应力应力。D58 A 1 O 2BC 3结结 论论1.三个应力圆三个应力圆圆周上圆周上的的点点及由它们围成的及由它们围成的阴影部分阴影部分上的上的 点点的的坐标坐标代表了代表了空间应力状态空间应力状态下下所有截面上所有截面上的的应力应力。2.该点处该点处的的最大正应力最大正应力(指指代数值代数值)应等于应等于最大应力圆最大应力圆上上 A 点的点的横坐标横坐标 1 即即 3.最大切应力最大切应力则等于则等于最大最大的的 应力圆应力圆的的半径半径4.最大切应力最大切应力所在的所在的截面截面,与与 2 所在的所在的主平面主平面垂直垂直,并与并与 1 和和 3 所在的所在的主平面主平面成成 450 角。角。5.与与二向应力状态二向应力状态一样一样,有：有：=常量常量59例题例题9 单元体单元体的的应力应力如图所示如图所示,作作应力圆应力圆,并并求出求出主应力主应力和和最大切应力值最大切应力值及其及其作用面方位作用面方位。解解:该该单元体单元体有一个有一个已知主应力已知主应力 因此因此与与该该主平面正交主平面正交的各的各截面上截面上的的应力应力与与主应力主应力 z 无关无关,依据依据 x 截面截面和和 y 截面截面上的上的应力应力画出画出应力圆应力圆,求求另外两个另外两个主应力主应力。40MPaxyz20MPa20MPa20MPaz=20MPa60由由 x，xy 定出定出 D 点点,由由 y，yx 定出定出 D点点.以以 DD为为直径直径作作应力圆应力圆A1，A2 两点两点的的横坐标横坐标分别代表分别代表另外两个主应力另外两个主应力 1 和和 3 A1A2D O D DC 1 3 1=46MPa 3=-26MPa该该单元体单元体的三个的三个主应力主应力 1=46MPa 2=20MPa 3=-26MPa根据上述根据上述主应力主应力,作出三个作出三个应力圆应力圆,可量出可量出61一一.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律 讨论讨论空间应力状态空间应力状态下下应力应力与与应变应变之间的之间的关系关系 1.符号规定符号规定 (1).正应力正应力:拉应力拉应力为为正正,压应力压应力为为负负.(2).切应力切应力:对对单元体单元体内任一点内任一点取矩取矩,若产生的若产生的矩矩为为顺时针顺时针，则，则为为正；反之正；反之为为负负.(3).线应变线应变:以以伸长伸长为为正正,缩短缩短为为负负；(4).切应变切应变:使使直角减小直角减小为为正正,增大增大为为负负.8-5 广义广义胡胡克定律克定律 62 x 方向方向的的线应变线应变 用用叠加原理叠加原理,分别计算出分别计算出 x ,y ,z 分别分别单独单独存在时存在时,x，y，z 方向方向的的线应变线应变 x,y，z ,然后然后代数相加代数相加。2.各向同性材料的广义胡克定律各向同性材料的广义胡克定律单独存在单独存在时时单独存在单独存在时时 单独存在单独存在时时xyz z z x x y yxyz z z x x y y63在在 x 、y、z 同时存在同时存在时时,x 方向方向的的线应变线应变 x 为为同理同理，在，在 x 、y 、z 同时存在同时存在时时,y,z 方向方向的的线应变线应变为为在在 xy，yz，zx 三个面内三个面内的的切应变切应变为为64上式上式称为称为 广义胡克定律广义胡克定律 沿沿 x、y、z 轴轴的的线应变线应变 在在 xy、yz、zx 面内面内的的角应变角应变65 对于对于平面应力状态平面应力状态(假设假设 z=0，xz=0，yz=0)xyz xy x y yx x y xy yx663.主应力主应力-主应变的关系主应变的关系 二向应力状态下二向应力状态下：设设 3=0已知已知 1 1、2 2、3 3；1 1、2 2、3 3 为为主应变主应变或或67二二.各向同性材料的体积应变各向同性材料的体积应变 1 2 3a1a2a3构件构件每每单位体积单位体积的的体积变化体积变化,称为称为体积应变体积应变用用表示表示.各向同性材料各向同性材料在在三向应力状态三向应力状态下的下的体积应变体积应变：如图所示的如图所示的单元体单元体,三个边长三个边长为为 a1,a2,a3变形变形后的后的边长边长分别为分别为变形变形后后单元体单元体的的体积体积为为a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 V1=a1(1+a2(1+2 a3(1+3 单元体单元体的的单位体积变化单位体积变化为为 体积应变体积应变68体积应变体积应变为为代入代入广义胡克定律广义胡克定律略去略去应变应变的的二次二次以上以上微量微量或或691.纯剪切纯剪切应力状态应力状态下的下的体积应变体积应变即在即在小变形小变形下下,切应力切应力不引起不引起各向同性材料各向同性材料的的体积改变体积改变.2.三向等值应力三向等值应力单元体单元体的的体积应变体积应变三个主应力三个主应力的的平均值平均值为为单元体单元体的的体积应变体积应变 m m m平均应力平均应力 1 2 3a1a2a3体积应变体积应变胡克定律胡克定律70这两个这两个单元体单元体的的体积应变体积应变相同相同 m m m 1 2 3a1a2a3单元体单元体的三个的三个主应变主应变为为71 如果如果变形变形前前单元体单元体的的三个棱边三个棱边成某种成某种比例比例,由于由于三个三个棱边棱边应变应变相同相同,则则变形变形后的后的三个棱边三个棱边的的长度长度仍保持这种仍保持这种比例比例。所以在所以在三向等值应力三向等值应力 m 的作用下的作用下,单元体单元体变形后变形后的的形状形状和和变形前变形前的的相相似似,称这样的称这样的单元体单元体是是形状不变的形状不变的.在一般的在一般的空间应力状态空间应力状态下下,材料材料的的体积应变体积应变只与只与三个三个线应变线应变 x，y，z 有关有关,仿照上述仿照上述推导推导有：有：在在任意形式任意形式的的应力状态应力状态下下,各向同性材料各向同性材料内内一点处一点处的的体积应变体积应变与与通过该点通过该点的的任意三个相互垂直任意三个相互垂直的的平面平面上的上的正应力之和正应力之和成成正比正比,而与而与切应力切应力无关无关.切应力切应力只与只与单元体单元体的的形状改变形状改变有关。有关。72例题例题10 边长边长 a=0.1m 的的铜立方块铜立方块,无无间隙间隙地放入地放入体积体积 较大较大,变形变形可略去不计的可略去不计的钢凹槽钢凹槽中中,如图如图所示所示.已知：已知：铜铜的的弹性模量弹性模量 E=100GPa,泊松比泊松比 =0.34,受到受到 F=300kN 的的均布压力均布压力作用。作用。求：求：该该铜块铜块的的主应力、体积应变以主应力、体积应变以及及最大切应力最大切应力.解：解：铜块横截面铜块横截面上的上的压应力压应力aaaFzyx z x y铜块受力铜块受力如图所示如图所示,变形条件变形条件为为73联立联立解解两个式子两个式子，解，解得得铜块铜块的的主应力主应力为为最大切应力最大切应力体积应变体积应变为为74例题例题11 一一直径直径 d=20mm 的的实心圆轴实心圆轴,在在轴轴的的的的两端两端加加 扭矩扭矩 m=126Nm.。在。在轴轴的的表面表面上上某一点某一点 A 处处用用变形仪变形仪 测出测出与与轴线轴线成成 -45方向方向的的应变应变 =5.0 10-4。试求试求:此此圆轴材料圆轴材料的的剪切弹性模量剪切弹性模量 G。mmA45x75解解：围绕：围绕 A 点点取一取一单元体单元体A 1 3 x y-45A76Dtymkx例题例题12 壁厚壁厚 t=10mm,外径外径 D=60mm 的的薄壁圆筒薄壁圆筒,在在表面表面 上上 k 点点与其与其轴线轴线成成 45和和135角角，即，即 x,y 两方向两方向分别分别 贴上贴上应变片应变片，然后在，然后在圆筒两端圆筒两端作用作用矩矩为为 m 的的扭转力偶扭转力偶，如图所示。如图所示。已知：已知：圆筒材料圆筒材料的的弹性常数弹性常数为为 E=200GPa 和和 =0.3,若该若该圆筒圆筒的的变形变形在在弹性范围弹性范围内，且内，且 max=80MPa。试求：试求：k 点处点处的的线应变线应变 x ,y 以及以及变形后变形后的的筒壁厚度筒壁厚度.77解解:从从圆筒表面圆筒表面 k 点处点处取出取出单元体单元体,其其各面上各面上的的应力分量应力分量如图所示可求得如图所示可求得Dtymkx-45xyk 1 3 max maxk78K 点点处处的的线应变线应变 x ,y 为为（压应变）（压应变）（拉应变）（拉应变）圆筒表面圆筒表面上上 k 点处点处沿沿径向径向(z 轴轴)的的应变应变和和圆筒圆筒中中任一点任一点(该点该点到到圆筒横截面中心圆筒横截面中心的的距离距离为为 )处的处的径向应变径向应变为为因此因此,该该圆筒圆筒变形后变形后的的厚度厚度并并无变化无变化,仍然为仍然为 t=10mm。79bhzb=50mmh=100mm例题例题13 已知：已知：矩形外伸梁矩形外伸梁受力受力 F1，F2 作用作用,弹性模量弹性模量 E=200GPa,泊松比泊松比 =0.3,F1=100KN,F2=100KN。求求（1）A 点处点处的的主应变主应变 1,2 ,3 。（2）A 点处点处的的线应变线应变 x ,y ,z 。aAF1F2F2l80解：解：梁为拉伸与弯曲的组合变形梁为拉伸与弯曲的组合变形.A 点点有有拉伸拉伸引起的引起的正应力正应力和和弯曲弯曲引起的引起的切应力切应力。（拉伸）拉伸）（负）负）A x=20 x=30(1)A 点处点处的的主应变主应变 1,2 ,3 :81(2)A 点处点处的的线应变线应变 x ,y,z :82例题例题14 简支梁简支梁由由 18 号工字钢号工字钢制成制成.其上作用有其上作用有力力 F=15kN，E=200GPa,=0.3。求求:A 点点沿沿 00，450，900 方向方向的的线应变线应变0.50.50.25FA04590h/483解：解：yA，Iz，d 查表查表得出得出为为图示面积图示面积对对中性轴中性轴 z 的的静矩静矩zAh/4A A=50.8 A=68.8840.5F13500.50.25A04590h/4A A=50.8 A=68.8858-6 复杂应力状态的应变能密度复杂应力状态的应变能密度（比能）（比能）一一.应变能密度的定义应变能密度的定义二二.应变能密度的计算公式应变能密度的计算公式1.单向应力状态单向应力状态下下,物体物体内所积蓄的内所积蓄的应变能密度应变能密度为为物体在单位体积内所积蓄的应变能（比能）物体在单位体积内所积蓄的应变能（比能）2.三个三个主应力同时存在主应力同时存在时时,单元体单元体的的应变能密度应变能密度为为86uV 表示与表示与单元体体积改变单元体体积改变相应的那部分相应的那部分应变能密度应变能密度，称为称为 体积改变能密度体积改变能密度 ud 表示与表示与单元体形状改变单元体形状改变相应的那部分相应的那部分应变能密度应变能密度,称为称为形状形状改变能密度改变能密度（畸变能密度）畸变能密度）把把应变能密度应变能密度分成两部分：分成两部分：将将广义胡克定律广义胡克定律代入代入上式上式,经整理得经整理得87(a)1 2 3(b)1-m 3-m 2-m 图图 a 所示所示单元体单元体的三个的三个主应力主应力不相等，不相等，因而，因而，变形后变形后既发生既发生体积改变体积改变也发生也发生形状改变。形状改变。图图 c 所示所示单元体单元体的三个的三个主应力主应力相等，相等，因而，因而，变形后变形后的的形状形状与原来的与原来的形状相似形状相似，即只即只发生体积改变发生体积改变而无而无形状改变。形状改变。则：图则：图 b 所示所示单元体单元体只发生只发生形状改变形状改变而无而无体积改变。体积改变。(c)m m m=(1+2+3)/3=+应变能密度应变能密度的计算：的计算：88图图 c 所示所示单元体单元体的的体积改变能密度体积改变能密度a 单元体单元体的的比能比能为为空间应力状态空间应力状态下下单元体单元体的的 畸变能密度畸变能密度 1 2 3(c)m m m=(1+2+3)/389一一.强度理论的概念强度理论的概念 1.引言引言8-7 强度理论强度理论轴向拉、压轴向拉、压弯曲弯曲剪切剪切扭转扭转弯曲弯曲 切应力强度条件切应力强度条件正应力强度条件正应力强度条件 90 上述上述强度条件强度条件具有如下具有如下特点特点:(1).危险点危险点处于处于单向应力状态单向应力状态或或纯剪切应力状态纯剪切应力状态。(2).材料材料的的许用应力许用应力,是通过是通过拉拉(压压)试验试验或或纯纯剪剪试验试验 测定测定试试件件在在破坏时破坏时其其横截面横截面上的上的极限应力极限应力,以此以此 极限应力极限应力作为作为强度指标强度指标,除以适当的除以适当的安全系数安全系数而得而得,即根据相应的即根据相应的试验结果试验结果建立的建立的强度条件强度条件。都没考虑。都没考虑 材料破坏材料破坏的的形式形式和和原因原因。工程实践工程实践和和试验试验都都证明证明:发生发生不同形式不同形式的的破坏破坏时时,引起破坏引起破坏的的原因原因不同。为了不同。为了全面全面研究研究材料材料的的强度问题强度问题,提出了提出了强度理论强度理论的的概念。概念。2.强度理论强度理论的的概念概念 关于关于构件构件发生发生某种某种形式破坏形式破坏时时,引起破坏引起破坏的的主要因素主要因素 的的的的假说假说。914.基本观点基本观点 构件构件受受外力作用外力作用而而发生破坏发生破坏时时,不论不论破坏破坏的的表面现象表面现象如何复杂如何复杂,其其破坏形式破坏形式总不外乎总不外乎几种类型几种类型,而而同一类型同一类型的的破坏破坏则可能是则可能是某一个某一个共同因素共同因素所引起所引起的。的。而这些而这些因素因素的的极限值极限值可利用可利用材料材料在在单向应力状态单向应力状态时时的的试验来测定。试验来测定。这样就这样就可利用可利用材料材料在在单向应力状态单向应力状态时时的的试验结果试验结果,来来建立建立材料材料在在复杂应力状态下复杂应力状态下的的强度条件强度条件。二二.材料破坏的两种类型材料破坏的两种类型(常温、静载荷常温、静载荷)1.屈服失效屈服失效：材料材料出现出现显著的显著的塑性变形塑性变形而丧失其而丧失其正常正常的的工作能力。工作能力。2.断裂失效：断裂失效：(1).脆性断裂脆性断裂:无无明显明显的的变形变形下下突然断裂。突然断裂。(2).韧性断裂韧性断裂:产生大量产生大量塑性变形塑性变形后后断裂。断裂。92引起破坏引起破坏的某一共同的某一共同因素因素形状改变形状改变比能比能最大切应力最大切应力最大线应变最大线应变最大正应力最大正应力l 以以脆断脆断作为作为破坏破坏的的标志标志l 以出现以出现屈服现象屈服现象作为作为破坏破坏的的标志标志93根据根据:当作用在当作用在构件构件上的上的外力外力过大时过大时,其其危险点危险点处的处的 材料材料就会沿就会沿最大拉应力最大拉应力所在所在截面截面发生发生脆断破坏脆断破坏。1.最大拉应力理论（最大拉应力理论（第一强度理论第一强度理论）基本假说基本假说:最大拉应力最大拉应力 1 是引起是引起材料脆断破坏材料脆断破坏的的因素。因素。脆断破坏脆断破坏的的条件：条件：1=b 四四.第一类强度理论第一类强度理论强度条件强度条件:1 =b/n 试验证明：试验证明：这一这一理论理论与与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等等脆性材料脆性材料的的拉断结果拉断结果相符相符,这些这些材料材料在在轴向拉伸轴向拉伸时的时的断裂破坏断裂破坏发生于发生于拉应力拉应力最大的最大的横截面横截面上。上。脆性材料脆性材料的的扭转破坏扭转破坏,也是沿也是沿拉拉应力最大应力最大的的斜面斜面发生发生断裂断裂,这些都与这些都与最大拉应力理论相符。最大拉应力理论相符。但这个但这个理论理论没有考虑没有考虑其它两个主应力其它两个主应力的的影响影响。（单向拉伸单向拉伸下）下）942.最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论(第二强度理论第二强度理论)根据根据:当作用在当作用在构件构件上的上的外力外力过大时过大时,其其危险点危险点处的处的材料材料 就会沿就会沿垂直垂直于于最大伸长线应变最大伸长线应变方向的方向的平面平面发生发生破坏破坏。基本假说基本假说:最大伸长线应变最大伸长线应变 1 是引起是引起材料脆断破坏材料脆断破坏的的因素因素。脆断破坏的条件脆断破坏的条件最大伸长线应变最大伸长线应变强度条件强度条件试验证明：试验证明：煤煤,石料石料或或砼砼等等材料材料在在轴向压缩试验轴向压缩试验时时,如如端部无摩擦端部无摩擦,试件试件将沿将沿垂直于压力垂直于压力的的方向方向发生发生断裂断裂,这一这一方向方向就是就是最大最大伸长线应变伸长线应变的的方向方向,这与这与第二强度理论第二强度理论的的结果结果相近。相近。（单向拉伸单向拉伸下）下）95 1.最大切应力理论最大切应力理论(第三强度理论第三强度理论)基本假说基本假说:最大切应力最大切应力 max 是引起是引起材料屈服材料屈服的的因素。因素。根据根据:当作用在当作用在构件构件上的上的外力外力过大时过大时,其其危险点危险点处的处的材材料料 就会沿就会沿最大切应力最大切应力所在所在截面截面滑移滑移而发生而发生屈服失效屈服失效。屈服条件屈服条件五五.第二类强度理论第二类强度理论 在在复杂应力状态复杂应力状态下下一点处一点处的的最大切应力最大切应力为为强度条件强度条件 第三强度理论第三强度理论曾被许多曾被许多塑性材料塑性材料的的试验结果试验结果所证实所证实,且且稍偏安全稍偏安全。这个这个理论理论所提供的所提供的计算式计算式比较简单比较简单,故它在故它在工程设计工程