流动阻力和水头损失课件.ppt

第四章第四章 流动阻力和水头损失流动阻力和水头损失4 4 4 41 1 1 1 流流流流动动阻力阻力阻力阻力产产生的原因及分生的原因及分生的原因及分生的原因及分类类 4 4 4 42 2 流流流流动动状状状状态态及流及流及流及流态转态转化化化化标标准准准准 4 4 4 43 3 实际实际流体运流体运流体运流体运动动微分方程式微分方程式微分方程式微分方程式 NavierNavierNavierNavierStokesStokesStokesStokes方程式方程式方程式方程式 4 4 4 44 4 量量量量纲纲分析和相似原理分析和相似原理分析和相似原理分析和相似原理 4 4 4 45 5 5 5 圆圆管管管管层层流分析流分析流分析流分析 4 4 4 46 6 6 6 紊流理紊流理紊流理紊流理论论分析分析分析分析 4 4 4 47 7 7 7 圆圆管紊流沿程水力摩阻的管紊流沿程水力摩阻的管紊流沿程水力摩阻的管紊流沿程水力摩阻的实验实验分析分析分析分析 4 4 4 48 8 8 8 局部水局部水局部水局部水头损头损失失失失 一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念 1、湿周湿周湿周湿周：管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。2、水力半径水力半径水力半径水力半径：断面面积和湿周长度之比。断面面积和湿周长度之比。4 41 1 流流动阻力阻力产生的原因及分生的原因及分类圆管：正方：3 3、绝对粗糙度：、绝对粗糙度：、绝对粗糙度：、绝对粗糙度：壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以表示。表示。4 4、相对粗糙度：、相对粗糙度：、相对粗糙度：、相对粗糙度：/D/D（D D管径）管径）4 41 1 流流动阻力阻力产生的原因及分生的原因及分类圆环流：明渠流：1、外因：、外因：（a a）管子的）管子的几何形状与几何尺寸几何形状与几何尺寸。定义水力半径。定义水力半径R R，它，它与阻力成反比。与阻力成反比。RR，h hf f （b b）管壁的）管壁的粗糙度粗糙度。，h hf f （c c）管长管长，它与，它与 h hf f 成正比。成正比。LL，h hf f 2、内因：、内因：流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质点由于相互摩擦所表现出的粘性，以及质点撞击引起速点由于相互摩擦所表现出的粘性，以及质点撞击引起速度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原因。因。二、阻力产生的原因二、阻力产生的原因二、阻力产生的原因二、阻力产生的原因沿程阻力沿程阻力：粘性造成的摩擦阻力和惯性造成：粘性造成的摩擦阻力和惯性造成的能量消耗。的能量消耗。是液流沿流程直管段上所产生是液流沿流程直管段上所产生的阻力。的阻力。局部阻力局部阻力：液流中流速重新分布，旋涡中粘：液流中流速重新分布，旋涡中粘性力做功和质点碰撞产生动量交换。性力做功和质点碰撞产生动量交换。是液流是液流经过管路进口、出口、大小头、弯头、阀门、经过管路进口、出口、大小头、弯头、阀门、过滤器等局部管件时产生的阻力。过滤器等局部管件时产生的阻力。3.流动阻力及水头损失的分类：流动阻力及水头损失的分类：如阀门、弯管、变形截面等 与之相对应，管路总水头损失可写为：与之相对应，管路总水头损失可写为：沿程水头损失沿程水头损失h hf f：液流因克服沿程阻力而产生的：液流因克服沿程阻力而产生的水头损失。水头损失。局部水头损失局部水头损失h hj j：液流因克服局部阻力而产生的：液流因克服局部阻力而产生的水头损失。水头损失。4 42 2 流流动状状态及流及流态转化化标准准一、流态转化演示实验一、流态转化演示实验：雷诺实验雷诺实验l实际液体运动中存在两种不同型态：实际液体运动中存在两种不同型态：层流和紊流层流和紊流l不同型态的液流，水头损失规律不同不同型态的液流，水头损失规律不同 雷诺实验揭示出雷诺实验揭示出雷诺试验装置雷诺试验装置 颜色水颜色水hfl一、雷诺实验一、雷诺实验一、雷诺实验一、雷诺实验颜色水颜色水hfl一、雷诺实验一、雷诺实验一、雷诺实验一、雷诺实验打开下游阀门，保持水箱水位稳定打开下游阀门，保持水箱水位稳定颜色水颜色水hfl再打开颜色水开关，则红色水流入管道再打开颜色水开关，则红色水流入管道层流：红色水液层有条不紊地运动，层流：红色水液层有条不紊地运动，红色水和管道中液体水相互不混掺红色水和管道中液体水相互不混掺（实验）（实验）颜色水颜色水hfl下游阀门再打开一点，管道中流速增大下游阀门再打开一点，管道中流速增大红色水开始颤动并弯曲，出现波形轮廓红色水开始颤动并弯曲，出现波形轮廓紊流：红颜色水射出后，完全破裂，形成漩涡，扩散至全管，使管紊流：红颜色水射出后，完全破裂，形成漩涡，扩散至全管，使管中水流变成红色水。中水流变成红色水。这一现象表明：液体质点运动中会形成涡体，各涡体相互混掺。这一现象表明：液体质点运动中会形成涡体，各涡体相互混掺。颜色水颜色水hfl下游阀门再打开一点，管中流速继续增大下游阀门再打开一点，管中流速继续增大颜色水颜色水hfl层流：流速较小时，各流层的液体质点有条不紊运动，层流：流速较小时，各流层的液体质点有条不紊运动，相互之间互不混杂。相互之间互不混杂。颜色水颜色水hfl紊流：当流速较大时，各流层的液体质点形成涡体，紊流：当流速较大时，各流层的液体质点形成涡体，在流动过程中，互相混杂。（在流动过程中，互相混杂。（紊流实验紊流实验）（1 1）.层流：层流：层流：层流：流体质点平行向前推进流体质点平行向前推进流体质点平行向前推进流体质点平行向前推进，各层之间无掺混。主要以，各层之间无掺混。主要以粘性力粘性力粘性力粘性力为主，表现为质点的为主，表现为质点的摩擦和变形摩擦和变形摩擦和变形摩擦和变形。为第一种流动状态。为第一种流动状态。（2 2）.紊流：紊流：紊流：紊流：单个流体质点无规则的运动单个流体质点无规则的运动单个流体质点无规则的运动单个流体质点无规则的运动，不断掺混、碰撞，整体以平，不断掺混、碰撞，整体以平均速度向前推进。主要以均速度向前推进。主要以惯性力惯性力惯性力惯性力为主，表现为质点的为主，表现为质点的撞击撞击撞击撞击和混掺和混掺和混掺和混掺，为第三种流动状态。，为第三种流动状态。（3 3）.过渡状态：过渡状态：过渡状态：过渡状态：层流、紊流之间有短暂的过渡状态。为第二种流动状态。层流、紊流之间有短暂的过渡状态。为第二种流动状态。实验方法实验方法实验方法实验方法：在实验管路在实验管路A、B两点装测压管测压降，用实两点装测压管测压降，用实测流量求流速。测流量求流速。水头损失规律水头损失规律 实验时，结合观察红颜色水的流动，量测两测实验时，结合观察红颜色水的流动，量测两测压管中的高差以及相应流量，建立水头损失压管中的高差以及相应流量，建立水头损失h hf f 和管和管中流速中流速v v的试验关系，并点汇于双对数坐标纸上。的试验关系，并点汇于双对数坐标纸上。颜色水颜色水hfl颜色水颜色水hfl试验按照两种顺序进行试验按照两种顺序进行:(1)流量增大流量增大（2）流量减小流量减小试验结果如下图所示。试验结果如下图所示。AC、ED：直线段直线段AB、DE：直线段直线段CDAvkB层流层流 紊流紊流EBDAvk层流层流 紊流紊流EBDAvkCvk60.363.445层流层流 过渡过渡 紊流紊流EBDAvkCvk45层流层流 过渡过渡 紊流紊流在双对数坐标上，点汇水头损失和流速的在双对数坐标上，点汇水头损失和流速的关系为：关系为：2 60.363.4EBDAvkCvk层流层流 过渡过渡 紊流紊流2 60.363.4层流层流1=45m=1紊流紊流2=60.363.4m=1.752.001 45E层流层流1=45m=1紊流紊流2=60.363.4m=1.752.00可见，欲求出水头损失，必须先判断流态。可见，欲求出水头损失，必须先判断流态。二、判别流动状态的标准二、判别流动状态的标准二、判别流动状态的标准二、判别流动状态的标准 雷诺发现，判断层流和紊流的临界流速与液体雷诺发现，判断层流和紊流的临界流速与液体密度、动力粘性系数、管径关系密切，提出液流型密度、动力粘性系数、管径关系密切，提出液流型态可用下列无量纲数判断态可用下列无量纲数判断 式中，式中，ReRe 为雷诺数，无量纲数。为雷诺数，无量纲数。液流型态开始转变时的雷诺数叫做临界雷诺数液流型态开始转变时的雷诺数叫做临界雷诺数下临界雷诺数下临界雷诺数上临界雷诺数上临界雷诺数CDAvkBDABvk层流层流 紊流紊流层流层流 紊流紊流下临界流速下临界流速上临界流速上临界流速EE大量试验证明大量试验证明l上临界雷诺数不稳定上临界雷诺数不稳定l下临界雷诺数较稳定下临界雷诺数较稳定上临界雷诺数：上临界雷诺数：随液流来流平静程度、来流有无扰动的情况随液流来流平静程度、来流有无扰动的情况而定。扰动而定。扰动小的液流其可能大一些。小的液流其可能大一些。将水箱中的水流充分搅动后再进行了实验，测得上临将水箱中的水流充分搅动后再进行了实验，测得上临界雷诺数达约界雷诺数达约1200020000。实验前将水箱中液体。实验前将水箱中液体静止几天后，测得上临界雷诺数达静止几天后，测得上临界雷诺数达50000。大量试验证明大量试验证明l上临界雷诺数不稳定上临界雷诺数不稳定l下临界雷诺数较稳定下临界雷诺数较稳定判别液流型态以下临界雷诺数为准。判别液流型态以下临界雷诺数为准。工程工程上一般取上一般取Re Re k k20002000，当当Re 2000时时，为层为层流，流，当当Re 2000时时，为为紊流。紊流。管内流速管内流速粘性系数粘性系数管径管径圆管圆管Re Re 的单位：的单位：的单位：的单位：无量纲数。无量纲数。无量纲数。无量纲数。例:水在内径100毫米的管中流动,流速V=0.5m/s,水在管中何种流态?油在管中流动,流速不变,油在管中何种流态?解:水的雷诺数 油的雷诺数Re Re 的物理意义：的物理意义：的物理意义：的物理意义：惯性力与粘性力的比值。惯性力与粘性力的比值。惯性力与粘性力的比值。惯性力与粘性力的比值。一、一、NavierNavierStokesStokes方程式方程式方程式方程式 粘性不可压缩流体运动微分方程式粘性不可压缩流体运动微分方程式粘性不可压缩流体运动微分方程式粘性不可压缩流体运动微分方程式 4 43 3 实际流体运流体运动微分方程式微分方程式 NavierNavierStokesStokes方程式方程式单位质量流体所受的单位质量流体所受的单位质量流体所受的单位质量流体所受的表面力表面力表面力表面力单位质量流体单位质量流体单位质量流体单位质量流体所受的所受的所受的所受的质量力质量力质量力质量力加速度加速度加速度加速度理想流体运动微分方程式理想流体运动微分方程式理想流体运动微分方程式理想流体运动微分方程式:理想流体与实际流体的比较理想流体与实际流体的比较理想流体与实际流体的比较理想流体与实际流体的比较比比比比较项较项较项较项 理想流体理想流体理想流体理想流体 实际实际实际实际流体流体流体流体 粘性粘性粘性粘性 无无无无 有有有有 法向法向法向法向应应应应力力力力 p px x=p py y=p pz z=p pn n p px xppy yppz z 切向切向切向切向应应应应力力力力 =0=0 0 0 微小六面体表微小六面体表微小六面体表微小六面体表面受力个数面受力个数面受力个数面受力个数 法向力法向力法向力法向力6 6个个个个 切向力切向力切向力切向力0 0个个个个 法向力法向力法向力法向力6 6个个个个 切向力切向力切向力切向力1212个个个个 变变变变形形形形 不不不不变变变变形形形形 变变变变形形形形 实际流体与理想流体的区别在于实际流体与理想流体的区别在于存在着存在着存在着存在着粘性力粘性力粘性力粘性力，因，因此，在推导粘性流体运动方程时要此，在推导粘性流体运动方程时要考虑粘性表面力考虑粘性表面力考虑粘性表面力考虑粘性表面力从运动着的流体中取出一块微小从运动着的流体中取出一块微小的长方体的长方体ABCDEFGH ABCDEFGH 边长边长边长边长：dx，dy，dz 质量质量质量质量：dxdydz 设设长方体中心点长方体中心点长方体中心点长方体中心点压强压强压强压强：p 粘性应力粘性应力粘性应力粘性应力：1.受力分析受力分析质量力质量力表面力表面力法向力（压力）：法向力（压力）：P p A 切向力（内摩擦力）：切向力（内摩擦力）：T A方方程程推推导导实际流体与理想流体的区别在于实际流体与理想流体的区别在于存在存在存在存在粘性力粘性力粘性力粘性力CDFGBEHAzyx 面面正正应应力力切向切向应应力力AE BH AC FH AG DH 第一个下脚标表示第一个下脚标表示第一个下脚标表示第一个下脚标表示作用作用作用作用面的法线方向面的法线方向面的法线方向面的法线方向 第二个下脚标表示第二个下脚标表示第二个下脚标表示第二个下脚标表示应力应力应力应力方向方向方向方向 受力分析表受力分析表 实际流体微团运动分析流体运动方式a.平移b.线变形c.角变形d.转动实际流体的流动是这几种运动方式的组合 切应力互等定律:作用在两相互垂直的平面上,且与两平面的交线垂直的切应力大小相等.证明:通过六面体形心且平行于Z轴取矩 3.压应力压应力NavierNavierStokesStokes方程方程方程方程二、二、二、二、NavierNavierNavierNavierStokesStokesStokesStokes方程式说明：方程式说明：方程式说明：方程式说明：1、对于、对于理想流体理想流体理想流体理想流体 0 0，(6)式式变变成成Eulerian运运动动微分方程式。微分方程式。2、当当当当u u0 0时时时时，NS方程方程变变成成Eulerian平衡微分方程式。平衡微分方程式。3、适用条件适用条件适用条件适用条件：不可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体不可压缩流体 4、方程可解性方程可解性方程可解性方程可解性：方程中有四个未知数：方程中有四个未知数p，ux，uy，uz，需与另外一，需与另外一个方程个方程联联立求解。立求解。NS方程求解是一个复方程求解是一个复杂问题杂问题，大部分情况，大部分情况下不能求解。下不能求解。5、方程物理意义：方程物理意义：方程物理意义：方程物理意义：单位质量流体所受质量力、表面力和粘性切应力单位质量流体所受质量力、表面力和粘性切应力单位质量流体所受质量力、表面力和粘性切应力单位质量流体所受质量力、表面力和粘性切应力在三个坐标轴的投影和等于加速度。在三个坐标轴的投影和等于加速度。在三个坐标轴的投影和等于加速度。在三个坐标轴的投影和等于加速度。(6)4 44 4 量量纲分析和相似原理分析和相似原理由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求得解答。因此，得解答。因此，实验实验实验实验常常是流动研究中最基本常常是流动研究中最基本常常是流动研究中最基本常常是流动研究中最基本的手段，而实验的理论基础则是的手段，而实验的理论基础则是的手段，而实验的理论基础则是的手段，而实验的理论基础则是相似原理相似原理相似原理相似原理，实，实验资料的数据分析则要应用验资料的数据分析则要应用量纲分析。量纲分析。量纲分析。量纲分析。4-4-1、量纲分析、量纲分析一、量纲和单位一、量纲和单位1 1、量纲、量纲、量纲、量纲 例例如如：长长度度、时时间间、质质量量三三种种物物理理量量，分分别别与与远远近近、迟迟早早、重重轻轻三三类类概概念念相相关关，这这是是三三个个性性质质完完全全不不同同的的物物理理量量，“质质”的表征。的表征。如长度量纲用如长度量纲用L表示。表示。（1 1）量纲）量纲）量纲）量纲(或因次或因次或因次或因次)：表征各种物理量性质和类别的标志。：表征各种物理量性质和类别的标志。（2 2）基本量纲和导出量纲）基本量纲和导出量纲）基本量纲和导出量纲）基本量纲和导出量纲基本量纲基本量纲 ：互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导：互不依赖，互相独立的，不能从其他量纲推导 出来量纲。如：质量出来量纲。如：质量MM、长度、长度LL、时间、时间T T 导出量纲导出量纲：可用基本量纲推导出来的量纲。：可用基本量纲推导出来的量纲。例如：例如：速度量纲就是导出量纲，因为速度量纲速度量纲就是导出量纲，因为速度量纲 v=L/Tv=L/T。（3 3）量纲公式）量纲公式）量纲公式）量纲公式：量纲表达式。量纲表达式。导出量纲一般可用基本量纲的指数乘积形式来表示。导出量纲一般可用基本量纲的指数乘积形式来表示。式中式中 任一物理量的量纲；任一物理量的量纲；LL、MM、TT长度、质量和时间的量纲；长度、质量和时间的量纲；a a、b b、c c可以是正负整数，也可以是正负分数或零。可以是正负整数，也可以是正负分数或零。量纲按基本量纲的指数量纲按基本量纲的指数a a、b b、c c的值，可分为三类的值，可分为三类 ：几何学量纲：几何学量纲：a a 0 0，b=0b=0，c=0c=0运动学量纲：运动学量纲：a a 0 0，b b 0 0，c=0c=0动力学量纲：动力学量纲：a a 0 0，b b 0 0，c c 0 022、单位、单位、单位、单位（Unit）：）：量度各种物理量数值大小的标准。量度各种物理量数值大小的标准。例如比较长度的大小，可以选择米、厘米、市尺作为单位。由例如比较长度的大小，可以选择米、厘米、市尺作为单位。由于选择单位的不同，同一长度可以用不同的数值表示，可以是于选择单位的不同，同一长度可以用不同的数值表示，可以是1(1(以米为单位以米为单位)，也可以是，也可以是100(100(以厘米为单位）。以厘米为单位）。3 3、无量纲数、无量纲数、无量纲数、无量纲数 a=0，b=0，c=0，则：，则：x=L0T0M01无量纲单位，它的大小与所选单位无关；无量纲单位，它的大小与所选单位无关；例如：判别流动状态的雷诺数例如：判别流动状态的雷诺数ReRe，其量纲式为，其量纲式为 例如：水力坡降例如：水力坡降 i=h i=hw w/l /l ，其量纲式，其量纲式i=Li=LL=1L=1就是一个无量纲数，它反映流体的总水头沿就是一个无量纲数，它反映流体的总水头沿流程减少的情况。不论所选用的长度单位是米还是流程减少的情况。不论所选用的长度单位是米还是英尺，只要形成该水力坡降的条件不变时，其值也英尺，只要形成该水力坡降的条件不变时，其值也不变。不变。二、量纲和谐原理二、量纲和谐原理 1 1、量纲和谐原理、量纲和谐原理（Theory of Dimensional Homogeneity）：验证连续验证连续性方程、伯努利方程、性方程、伯努利方程、动动量方程量方程 一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量一个正确、完整的反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲是一致的，这就是量纲一致性原理，或称量纲和谐原理。纲是一致的，这就是量纲一致性原理，或称量纲和谐原理。LT-1L2 LT-1L2=L3T-1 2、量纲和谐原理的重要性、量纲和谐原理的重要性 a a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。正确性和完整性。b、量、量纲纲和和谐谐原理可用来确定公式中物理量的指数。原理可用来确定公式中物理量的指数。c、可用来建立物理方程式的、可用来建立物理方程式的结结构形式。构形式。3、应用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系的方法应用量纲和谐原理来探求物理量之间的函数关系的方法 量纲分析法。量纲分析法。a a、适用于影响因素间的关系为单项指数形式的场合，、适用于影响因素间的关系为单项指数形式的场合，称称瑞利法瑞利法。b b、具有普遍性的方法，称具有普遍性的方法，称定理定理。1 1、确定与所研究的物理现象有关的确定与所研究的物理现象有关的n n 个物理量；个物理量；式中，式中，k为为无量无量纲纲数，数，1、2、.、n为为待定指数；待定指数；对对某一物理某一物理现现象，主要因素象，主要因素为为y y、x x1 1，x x2 2、x xn n。它。它们们之之间间待定的函数关系待定的函数关系为为 2 2、量纲只能由基本量纲的积和商导出；而不能相加减，写出各、量纲只能由基本量纲的积和商导出；而不能相加减，写出各物理量之间的指数乘积的形式，物理量之间的指数乘积的形式，3 3、表示为基本量纲指数乘积的形式。、表示为基本量纲指数乘积的形式。LaTbMc=La1T1b1Mc11 La2Tb2Mc22.LanTbnMcn n 三、量纲分析方法之一三、量纲分析方法之一雷利（雷利（雷利（雷利（RayleighRayleigh）法）法）法）法 变量少于变量少于变量少于变量少于4 4个时个时个时个时，直接应用，直接应用量纲和谐原理量纲和谐原理来分析。来分析。4、根根据据量量纲纲和和谐谐原原理理，即即等等式式两两端端的的量量纲纲应应该该相相同同，确确定定物物理量的指数关系式理量的指数关系式 L a=a11+a22+.+ann T b=b11+b22+.+bnn M c=c11+c22+.+cnn解解上上式式，求求出出特特定定指指数数1 1、2 2、.、n n。但但因因方方程程数数只只有有三三个个，当当n3n3时时，则则有有(n-3)(n-3)个个指指数数需需用用其其他他指指数数值值的的函函数数来来表表示。得到表示示。得到表示诸诸因素因素间间的函数关系式。的函数关系式。LaTbMc=La1T1b1Mc11 La2Tb2Mc22.LanTbnMcn n 例例1 1 实验揭示，流动有两种状态实验揭示，流动有两种状态:层流和湍流，流态相互转层流和湍流，流态相互转变时的流速临界流速。实验指出，恒定有压管流的下临界流变时的流速临界流速。实验指出，恒定有压管流的下临界流速速vcr与管径与管径d，流体密度，流体密度 p 流体动力粘度流体动力粘度有关。试用量纲有关。试用量纲分析法求出它们的函数关系。分析法求出它们的函数关系。解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为解：按瑞利法解本题，首先写出待定函数形式为vcr=f(d,)将上式写成指数乘积的形式为将上式写成指数乘积的形式为再写成量纲方程为再写成量纲方程为列方程列方程解得解得3=1，2=-1,1=-1将将这这些指数些指数值值代人指数乘代人指数乘积积函数关系式函数关系式 整理整理例：例：例：例：在圆管层流中，沿壁面的在圆管层流中，沿壁面的切应力切应力切应力切应力 0 0与与管径管径管径管径 d d、流速流速流速流速 V V 及及粘性系数粘性系数粘性系数粘性系数 有关，用量纲分析法导出此关系的一般有关，用量纲分析法导出此关系的一般表达式。表达式。按按MLT写出量纲式为：写出量纲式为：解解解解：n n4 4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的简单的指数方程指数方程指数方程指数方程：四、量纲分析方法之二四、量纲分析方法之二四、量纲分析方法之二四、量纲分析方法之二BuckinghamBuckinghamBuckinghamBuckingham定理定理定理定理 （白金（白金（白金（白金汉汉汉汉定理）定理）定理）定理）定理适用于定理适用于定理适用于定理适用于：变变量多于量多于4个个的复的复杂问题杂问题分析。分析。定理内容定理内容定理内容定理内容：某物理：某物理过过程包含有程包含有n n个物理量个物理量个物理量个物理量，g（a1，a2，an）0涉及到涉及到mm个基本量个基本量个基本量个基本量纲纲纲纲，则这则这个物理个物理现现象可由象可由n个物理量个物理量组组成成的的n nmm个无量个无量个无量个无量纲纲纲纲量量量量 所表达的关系式来描述，即所表达的关系式来描述，即f f（1 1，2 2，n nmm）0 0应应应应用用用用 定理的步定理的步定理的步定理的步骤骤骤骤（5 5步）：步）：步）：步）：1.确定影响此物理确定影响此物理现现象的各个物理量象的各个物理量,建立建立方程；方程；2 2、其中可选出、其中可选出m m个变量在量纲上是互相独立的，其余（个变量在量纲上是互相独立的，其余（n-n-m m）个变量是非独立的；那么，此物理方程，必然可以表示为）个变量是非独立的；那么，此物理方程，必然可以表示为(n-mn-m)个无量纲数的物理方程式个无量纲数的物理方程式m一般为一般为3，应使其中之一具有，应使其中之一具有长度量纲长度量纲长度量纲长度量纲，另，另一个具有一个具有运动量纲运动量纲运动量纲运动量纲，再一个具有，再一个具有质量量纲质量量纲质量量纲质量量纲，如如、V、d3 3.从三个基本物理量以外的物理量中，每次从三个基本物理量以外的物理量中，每次从三个基本物理量以外的物理量中，每次从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮轮轮轮取一个，取一个，取一个，取一个，连连连连同三个基本物理量同三个基本物理量同三个基本物理量同三个基本物理量组组组组合成一个无量合成一个无量合成一个无量合成一个无量纲纲纲纲的的的的 项项项项，一，一，一，一共写出共写出共写出共写出 n n3 3 个个个个 项项项项。4 4.根据量根据量纲纲和和谐谐原理，各原理，各项项的指数皆的指数皆为为零零 ，可以求出指，可以求出指数数 a ai i，b bi i，c ci i 5 5.写出描述物理写出描述物理写出描述物理写出描述物理现现现现象的无量象的无量象的无量象的无量纲纲纲纲关系式关系式关系式关系式 例题：例题：例题：例题：流体螺旋桨推力问题涉及的变量符号量纲如下表，试利用流体螺旋桨推力问题涉及的变量符号量纲如下表，试利用量纲分析方法建立变量间的无量纲关系式。量纲分析方法建立变量间的无量纲关系式。变量变量变量变量符号符号符号符号量纲量纲量纲量纲（1 1）轴推力轴推力轴推力轴推力P PMLTMLT2 2（2 2）直径直径直径直径D DL L（3 3）速度速度速度速度V VLTLT1 1（4 4）转数转数转数转数n nT T1 1（5 5）重力加速度重力加速度重力加速度重力加速度g gLTLT2 2（6 6）密度密度密度密度 MLML3 3（7 7）粘度粘度粘度粘度 L L2 2T T1 1 解：解：nn77 f f（P P，D D，V V，n n，g g，）00选选选选，V V，D D为基本的物理量为基本的物理量为基本的物理量为基本的物理量 建立建立建立建立n nmm7 73 34 4个个个个项项项项 据量据量纲纲和和谐谐原理原理求各指数求各指数ai，bi，ci 对于对于对于对于1项项：则等式两边对应指数相等。则等式两边对应指数相等。对于对于M：01+a1L：013a1+b1+c1T：02b1所以所以a11，b12，c12则：则：同理：同理：则：则：例例2.2.实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压实验观察与理论分析指出，恒定有压管流的压强损失强损失p p与管长与管长l l、直径、直径d d、管壁粗糙度、管壁粗糙度、运动粘、运动粘度度、密度密度、流速流速v v等因素有关。试用等因素有关。试用定理求出定理求出计算压强损失计算压强损失p p的公式及沿程损失的公式及沿程损失h hf f的公式。的公式。解：写出函数关系式解：写出函数关系式f(pf(p，l,dl,d，,v,v)=O)=O，选，选取取d,v,d,v,作为独立的作为独立的变变量量项应该有项应该有n-m=7-3=4个。即个。即解得解得1=-1，1=-1,1=0，将，将这这些指数些指数值值代人指数乘代人指数乘积积函数关函数关系式系式，得雷诺数形式，得雷诺数形式同理同理或或 或或 定定义义沿程阻力系数沿程阻力系数则则 4-4-2、相似原理、相似原理工程流体力学、水力学的问题，由于边界条件复杂，工程流体力学、水力学的问题，由于边界条件复杂，大多数不能单纯依靠解析法求得严谨的解答；即使大多数不能单纯依靠解析法求得严谨的解答；即使是少数可以求解的问题，也要做相当简化和假定；是少数可以求解的问题，也要做相当简化和假定；对于重要的工程，为确保工程安全，在付诸实施之对于重要的工程，为确保工程安全，在付诸实施之前，一般还要经过模型实验的验证。前，一般还要经过模型实验的验证。研究水流现象的模型，不仅要求形体上与原型相象，研究水流现象的模型，不仅要求形体上与原型相象，更重要的是能够体现原来现象的物理本质。或者说，更重要的是能够体现原来现象的物理本质。或者说，在模型中演示的现象与原型中的现象之间必须存在着在模型中演示的现象与原型中的现象之间必须存在着科学的关联。科学的关联。相似模型相似模型：能将某些物理现象：能将某些物理现象(例如水流例如水流)中的量缩小中的量缩小或扩大来进行实验的装置。或扩大来进行实验的装置。一、相似模型一、相似模型相似比尺相似比尺是指是指原型原型和和模型模型同名物理量之比值。同名物理量之比值。同名物理量同名物理量是指原型和模型中同一物理属性的量，即量纲相同是指原型和模型中同一物理属性的量，即量纲相同的物理量。的物理量。二、相似比尺二、相似比尺原型和模型上每一点的同名物理量之比均应满足同一个相似比尺：原型和模型上每一点的同名物理量之比均应满足同一个相似比尺：显然，没有必要把每一点处同名物理量之比一一列出，仅需着显然，没有必要把每一点处同名物理量之比一一列出，仅需着眼于某一个眼于某一个 就足够了，这个就足够了，这个 称为特征值或代表值。称为特征值或代表值。三三.相似现象的相似特征相似现象的相似特征(一）几何相似：在两个几何图形的相应长度都保持固定的在两个几何图形的相应长度都保持固定的比例关系。即把一个模型（或原型）的任一长度尺寸乘比比例关系。即把一个模型（或原型）的任一长度尺寸乘比例尺，便得到原型（模型）的相应长度。例尺，便得到原型（模型）的相应长度。流动相似指对应点上所有表征流动状况的对应物理量大小都流动相似指对应点上所有表征流动状况的对应物理量大小都维持各自的固定比例关系。维持各自的固定比例关系。（二）流动相似 模型和原型水流如何达到流动相似？模型和原型水流如何达到流动相似？几何相似运动相似动力相似流动相似流动相似表征液体运动有三种不同性质的物理量：表征流场几何形状表征液体运动有三种不同性质的物理量：表征流场几何形状的、表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。的、表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。即描述即描述水流运动的物理量可以分为三个类型：几何量、运动量、动水流运动的物理量可以分为三个类型：几何量、运动量、动力量。两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和力量。两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和动力相似。动力相似。1 1 1 1、几何相似、几何相似、几何相似、几何相似几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似，几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似，也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关系。例关系。长度比尺长度比尺长度比尺长度比尺：面积比尺面积比尺面积比尺面积比尺：体积比尺体积比尺体积比尺体积比尺：n n原型，原型，原型，原型，mm模型模型模型模型2 2、运动相似、运动相似、运动相似、运动相似 运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线是运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线是几何相似的，而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又是几何相似的，而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又是具有同一比例的。或者说两个流动的速度场具有同一比例的。或者说两个流动的速度场(或加速度场或加速度场)是几是几何相似的。何相似的。设时间比尺设时间比尺设时间比尺设时间比尺：则速度比尺则速度比尺则速度比尺则速度比尺：加速度比尺加速度比尺加速度比尺加速度比尺：n n原型，原型，原型，原型，mm模型模型模型模型3 3、动力相似、动力相似、动力相似、动力相似模型与原型中相应点上作用的各模型与原型中相应点上作用的各同名力同名力矢量互相平行均具有同矢量互相平行均具有同一比值。一比值。n n原型，原型，原型，原型，mm模型模型模型模型 例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向互相流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。平行、比值保持相等。一般作用在水流中的力有：重力一般作用在水流中的力有：重力G G、粘滞力、粘滞力T T、压力压力P P、表面张表面张力力S S、弹性力弹性力E E，如果作用于质点的合外力，如果作用于质点的合外力F F 00，将此力视为，将此力视为惯性力惯性力I I，则所有的力构成一个平衡力系，并组成一封闭的力，则所有的力构成一个平衡力系，并组成一封闭的力多边形。多边形。动力相似：模型与原型中任意相应点的力多边形相似，动力相似：模型与原型中任意相应点的力多边形相似，相应边（即同名力）成比例。相应边（即同名力）成比例。模 型原 型4、边界条件和初始条件相似对应瞬时tP的流速vM模型：原型：自由表面自由表面固体边壁固体边壁给定瞬时tP的流速vP几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件动力相似是是决定流动相似的主导因素运动相似是几何相似和动力相似的表现形式它们是一个统一的整体，缺一不可。四、相似准则牛顿数及相似判据（一）牛顿数惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯性物理力惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动就是惯性力和其它非总是力图改变液体的运动状态。液体的运动就是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。惯性物理力共同作用的结果。惯性力：非惯性力：F动力相似条件：其它物理力，包括：其它物理力，包括：其它物理力，包括：其它物理力，包括：G G，P P，f f，惯性力惯性力惯性力惯性力mama无量纲牛顿数：无量纲牛顿数：无量纲牛顿数：无量纲牛顿数：动力相似充要条件：动力相似充要条件：动力相似充要条件：动力相似充要条件：NeNe n n=NeNe mm两个流动相似，原型与模型的牛顿数一定相等。两个流动相似，原型与模型的牛顿数一定相等。这是标志两个流动相似的一般准则，称为这是标志两个流动相似的一般准则，称为牛顿相牛顿相似准则。似准则。完全动力相似完全动力相似完全动力相似完全动力相似：所有外力所有外力所有外力所有外力均满足动力相似条件，即牛顿均满足动力相似条件，即牛顿数相等。数相等。局部动力相似局部动力相似局部动力相似局部动力相似：部分外力部分外力部分外力部分外力满足动力相似条件。满足动力相似条件。(二)单项力作用下的相似准则1.重力相似准则重力是主要的力重力是主要的力流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重力，只要用重力代流经闸、坝的水流，起主导作用的力是重力，只要用重力代替牛顿数中的替牛顿数中的F，根据牛顿相似准则就可求出只有重力作用下，根据牛顿相似准则就可求出只有重力作用下液流相似准则。液流相似准则。无量纲数无量纲数佛劳德数佛劳德数重力的相似准数重力的相似准数作用力只有重力时，两个相似系统的佛作用力只有重力时，两个相似系统的佛劳德劳德数应相等，这数应相等，这就叫做重力相似准则，或称佛就叫做重力相似准则，或称佛劳德劳德准则，模型与原型之间准则，模型与原型之间各物理量的比尺不能任意选择，必须遵循佛各物理量的比尺不能任意选择，必须遵循佛劳德劳德数准则。数准则。2.2.雷诺相似准则雷诺相似准则粘性力是主要的力粘性力是主要的力无量纲数无量纲数雷诺数雷诺数粘性力的相似准数粘性力的相似准数 要粘滞力作用相似，则模型与原型的雷诺数必须相等要粘滞力作用相似，则模型与原型的雷诺数必须相等-雷诺准则雷诺准则3、压力相似准则压力是主要的力压力是主要