研究生数值分析(16).ppt

2 2 ermite插值插值 虽然分段线性插值多项式具有良好的一致收虽然分段线性插值多项式具有良好的一致收敛性，但它是不光滑的，即在内节点敛性，但它是不光滑的，即在内节点处一阶导数不连续，这往往不满足实际应用的需处一阶导数不连续，这往往不满足实际应用的需要。为克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一要。为克服这个缺陷，一个自然的想法是添加一阶导数插值条件。阶导数插值条件。定义给定定义给定n+1个互异节点个互异节点已知已知以及以及其中其中使其满足条件使其满足条件此问题称为此问题称为ermite插值问题。称满足条件的插值问题。称满足条件的多项式为多项式为ermite插值多项式插值多项式。问题是：问题是：在次数不高于在次数不高于m+n+1的多项式集合中，的多项式集合中，求一多项式求一多项式定理定理2 设设n+1个节点个节点互异，互异，则在多项式集合中，唯一地存在多项式则在多项式集合中，唯一地存在多项式它满足条件它满足条件（）（）一般地，令一般地，令其中，其中，是满足是满足的的n次插值多项式次插值多项式证明证明 先证存在性先证存在性令令其中，其中，是满足插值条件是满足插值条件的的n次插值多项式次插值多项式显然显然并且，对任意的并且，对任意的，多项式，多项式已满足条件已满足条件由条件由条件得得因而有因而有此式是一个以此式是一个以为未知数的线性方程组为未知数的线性方程组因函数组因函数组在点集在点集上线性无关，故此线性方程组有唯一解上线性无关，故此线性方程组有唯一解因而多项式因而多项式被确定，它满足条件被确定，它满足条件再证唯一性再证唯一性设存在两个多项式设存在两个多项式它们都满足条件它们都满足条件记记，则有，则有因而因而r(x)有有m+1个二重零点和个二重零点和n-m个单零点。个单零点。由于由于2(m+1)+n-m=m+n+2，而，而所以只能所以只能即即证毕证毕定理定理3 设设是互异的实数，对于是互异的实数，对于给定的给定的x实质函数实质函数f(x)在区间在区间上具有上具有m+n+2阶导数阶导数是满足条件是满足条件()的的ermite插值多项式，插值多项式，则用则用近似代替近似代替 f(x)的余项为的余项为其中其中且依赖于且依赖于x。证明证明 当当x恰是某个节点恰是某个节点时时两边都为零，定理结论成立，两边都为零，定理结论成立，可为可为内任一点。内任一点。今设今设x易于所有的节点，易于所有的节点，构造辅助函数构造辅助函数易知，易知，是是的零点。的零点。根据根据Rolle定理，定理，在区间在区间内至少有内至少有n+1个个异于异于的零点；的零点；又又也是也是的零点，的零点，故故在区间在区间内至少有内至少有m+n+2个互异零点。个互异零点。继续使用继续使用Rolle定理，可知定理，可知在区间在区间内至少有内至少有一一个零点个零点，即，即其中其中且依赖于且依赖于x。但但用用 t=代入上式，并解出代入上式，并解出即得式即得式证毕证毕在几何上表示曲线在几何上表示曲线满足条件满足条件()的的ermite插值多项式插值多项式不仅要通过点不仅要通过点处曲线处曲线，而且在点，而且在点有共同的切线。有共同的切线。与曲线与曲线例例 求满足条件的求满足条件的ermite插值多项式。插值多项式。12324123解：解：由题知由题知ermite插值多项式为插值多项式为其中其中先求满足先求满足的二次插值多项式的二次插值多项式用用Newton插值多项式插值多项式再设再设由由求得求得，故所求的，故所求的ermite插值多项式为插值多项式为练习：给定函数表练习：给定函数表0121210-1求满足条件的求满足条件的ermite插值多项式插值多项式 。