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第二章守恒定律第1页，本讲稿共76页目 录2-1 功 动能定理2-2 保守力 势能2-3 机械能守恒定律 能量守恒定律2-4 动量定理 动量守恒定律*2-5 质心 质心运动定理2-6 质点的角动量和角定量守恒定律*2-7 对称性与守恒定律第2页，本讲稿共76页三个定律三个定律牛顿第一定律牛顿第一定律牛顿第二定律牛顿第二定律牛顿第三定律牛顿第三定律三个定理三个定理动量动量定理定理角动量定理角动量定理动能动能定理定理三个守恒定律三个守恒定律动量守恒定律动量守恒定律角动量角动量守恒定律守恒定律机械能机械能守恒定律守恒定律守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，则称其为守恒量。物理量始终保持不变，则称其为守恒量。第3页，本讲稿共76页力的瞬时效应：牛顿第一、第二、第三定律与力的累积效应（空间累积、时间累积）相关的三个定理：动量定理、动能定理、角动量定理特殊情况下就有：动量守恒定律、机械能守恒定律、角动量守恒定律守恒量：对于物体系统内发生的各种过程，如果某物理量始终保持不变，则称其为守恒量。表面上看，能量、动量和角动量三个定律仅是牛顿第二定律的数学变形，但是实际上它们是更为基本的物理量，它们的守恒定律具有更广泛、更深刻的意义。第4页，本讲稿共76页空间累积效空间累积效应应时间累积时间累积效应效应瞬时效应瞬时效应第5页，本讲稿共76页2-1 功、动能定理一、功一、功力的力的空间积累空间积累外力作功是外界对系统过程的一个作用量外力作功是外界对系统过程的一个作用量AB（1）恒力的功）恒力的功（2）变力的功）变力的功元位移：元位移：元功：元功：积分形式积分形式微分形式微分形式第6页，本讲稿共76页直角坐标系中直角坐标系中若质点同时受到几个力的作用，则合力的功等于各分若质点同时受到几个力的作用，则合力的功等于各分力功之和。力功之和。单位：单位：焦耳（焦耳（J）功的其它单位：功的其它单位：1eV=1.6101eV=1.610-19-19J J第7页，本讲稿共76页功率功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功瞬时功率等于力与物体速度的标积瞬时功率等于力与物体速度的标积单位：瓦特单位：瓦特 W第8页，本讲稿共76页例例1 作用在质点上的力为作用在质点上的力为在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从处运动到处运动到处该力作的功：处该力作的功：1.质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线2.质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线XYO第9页，本讲稿共76页做做功功与与路路径径有有关关XYO第10页，本讲稿共76页例题例题2 劲度系数为劲度系数为k，原长为，原长为BC的轻质弹簧，一端固定在的轻质弹簧，一端固定在B点，点，另一端系一质量为另一端系一质量为m的物体，在力的物体，在力F的作用下，物体沿着半径为的作用下，物体沿着半径为R的光滑圆柱面切向匀速的由的光滑圆柱面切向匀速的由C移到移到D，如图所示，求力，如图所示，求力F对物对物体所做的功。体所做的功。解：分析受力，小球在解：分析受力，小球在4个力的作用下个力的作用下运动，根据功的定义：运动，根据功的定义：切向方向匀速运动切向方向匀速运动切向加速度为零切向加速度为零切向作用力平衡切向作用力平衡第11页，本讲稿共76页可见，力可见，力F的大小随着角度的变化而变化（变力）的大小随着角度的变化而变化（变力）功的大小与始末的位置有关功的大小与始末的位置有关第12页，本讲稿共76页ABD D rifi 二、质点的动能定理二、质点的动能定理 功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化末态动能末态动能初态动能初态动能动能是动能是相对量相对量做功做功第13页，本讲稿共76页合力对质点所合力对质点所做的功做的功等于质点等于质点动能的增量动能的增量。质点的动能定理质点的动能定理注意：注意：合力做正功时，动能增加，反之，动能减小合力做正功时，动能增加，反之，动能减小功是一个过程量；而动能是一个状态量功是一个过程量；而动能是一个状态量(物体的动能之所以会发生变化是因为外界对它做了功物体的动能之所以会发生变化是因为外界对它做了功)动能定理中功和动能都是标量，因此动能的变化只注动能定理中功和动能都是标量，因此动能的变化只注 重物体运动的初始状态，方便分析重物体运动的初始状态，方便分析动能定理只适于惯性系动能定理只适于惯性系第14页，本讲稿共76页对质点系：对质点系：m1 m2初速度：初速度：外力：外力：内力：内力：末速度：末速度：三三 质点系的动能定理质点系的动能定理对单一质点有动能定理对单一质点有动能定理第15页，本讲稿共76页两式相加得：两式相加得：外力的功之和内力的功之和外力的功之和内力的功之和=系统末动能系统初动能系统末动能系统初动能质点系的动能增量等于作用于同一时间内质点系的一切质点系的动能增量等于作用于同一时间内质点系的一切外力外力所做的功和一切所做的功和一切内力内力所做的功的代数之和所做的功的代数之和质点系的动能定理质点系的动能定理第16页，本讲稿共76页注意：注意：不能先求合力，再求合力的功不能先求合力，再求合力的功 只能先求每个力的功，再对这些功求和只能先求每个力的功，再对这些功求和内力虽然是成对出现，而且矢量和为零，但是内力虽然是成对出现，而且矢量和为零，但是 每一个每一个内力对应的位移不一定相同，故内力总内力对应的位移不一定相同，故内力总 功不一定为零功不一定为零例题例题 质量为质量为 的车上有一质量为的车上有一质量为 的木箱，车以速度的木箱，车以速度 沿沿水平方向行驶，若车紧急刹车，则经过某段时间后，车水平方向行驶，若车紧急刹车，则经过某段时间后，车与木箱同时静止，且木箱在车上相对于车滑行了与木箱同时静止，且木箱在车上相对于车滑行了 距离，距离，已知车与木箱的动摩擦系数为已知车与木箱的动摩擦系数为 ，车与地面的动摩擦系，车与地面的动摩擦系数为数为 ，求车滑行的距离。，求车滑行的距离。第17页，本讲稿共76页外力的功之和内力的功之和外力的功之和内力的功之和=系统末动能系统初动能系统末动能系统初动能第18页，本讲稿共76页例2-3 物体B的质量为m，弹簧劲度系数为 k，A板及弹簧质量忽略不计，求自弹簧原长 O 处，突然无初速地加上物体 B 时，弹簧的最大压缩量。题目中的A板质量忽略不计。可以视为不存在。物体受重力 P 和支持力N初始动能和末动能都等于0根据动能定理：第19页，本讲稿共76页如果将重物“缓慢放下”，则最后物体会达成静平衡。第20页，本讲稿共76页作业：P74 2-4，5第21页，本讲稿共76页一一 保守力与非保守力保守力与非保守力某些力对质点做功的大小只某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关，而，而与路与路径无关径无关。这种力称为保守力。这种力称为保守力。典型的保守力：典型的保守力：重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是与保守力相对应的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力：摩擦力摩擦力22 保守力 势能第22页，本讲稿共76页1、重力的功重力的功m在重力作用下由在重力作用下由a运动到运动到b，取地面为坐标原点取地面为坐标原点.可见，可见，重力是保守力重力是保守力。初态量初态量末态量末态量重力做功只与质点初、末位置有关，重力做功只与质点初、末位置有关，而与所经过的路径无关。而与所经过的路径无关。第23页，本讲稿共76页2、万有引力的功万有引力的功两个质点之间在万有引力作用下相对运动时两个质点之间在万有引力作用下相对运动时，以，以M所在处为所在处为原点原点,M指向指向m的方向为矢径的正方向。的方向为矢径的正方向。m受的引力方向与矢受的引力方向与矢径方向相反。径方向相反。可见，可见，万有引力是保守力万有引力是保守力。rabrdrFMmrdrab第24页，本讲稿共76页3、弹力的功弹力的功可见，可见，弹性力是保守力弹性力是保守力。弹簧振子弹簧振子 初态量初态量末态量末态量第25页，本讲稿共76页4、摩擦力的功摩擦力的功设一质点在粗糙的水平面上运动，滑动摩擦力的方向始终与设一质点在粗糙的水平面上运动，滑动摩擦力的方向始终与质点运动方向相反质点运动方向相反即摩擦力做功与质点运动的具体路程（路径）相关即摩擦力做功与质点运动的具体路程（路径）相关可见，可见，摩擦力是非保守力摩擦力是非保守力。第26页，本讲稿共76页v保守力：作功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历保守力：作功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关。的路径无关。例如：重力、弹性力、万有引力。例如：重力、弹性力、万有引力。v非保守力：作功与路径有关的力。非保守力：作功与路径有关的力。例如：摩擦力、磁力、冲击力。例如：摩擦力、磁力、冲击力。在保守力作用下，物体沿闭合路径运动一周，力所做的功在保守力作用下，物体沿闭合路径运动一周，力所做的功为零。为零。第27页，本讲稿共76页二、势能二、势能 在受保守力的作用下，质点从在受保守力的作用下，质点从A-B，所做的功与路径无关，而只与这，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引入一个只两点的位置有关。可引入一个只与位与位置有关的函数置有关的函数，A点的函数值减去点的函数值减去B点点的函数值，定义为从的函数值，定义为从A-B保守力所保守力所做的功，该函数就是势能函数。做的功，该函数就是势能函数。AB物体能够对外做功，说明物体具有能量物体能够对外做功，说明物体具有能量做功做功和和能量能量应该存在某种关系应该存在某种关系第28页，本讲稿共76页保守力所作的功等于保守力所作的功等于势能增量的负值势能增量的负值第29页，本讲稿共76页外力外力做正功做正功等于相应动能的等于相应动能的增加增加；外力外力做负功做负功等于相应动能的等于相应动能的减少减少。保守力保守力做正功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少；保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。势能的值与零点的选择有关势能的值与零点的选择有关重力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势能点）第30页，本讲稿共76页引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点）弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点）势势能能具具有有相相对对意意义义系统的系统的机械能机械能质点在某一点的质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。第31页，本讲稿共76页注意：注意：1、势能函数是与、势能函数是与位置相关位置相关的函数；对应于一种保守力的函数的函数；对应于一种保守力的函数就可以引进一种相应的势能函数。就可以引进一种相应的势能函数。2、计算势能、计算势能必须规定必须规定零势能参考点。势能是相对量，其量零势能参考点。势能是相对量，其量值与零势能点的选取有关。值与零势能点的选取有关。3、势能是由、势能是由保守力和相对位置保守力和相对位置所决定的，故它是属于整个所决定的，故它是属于整个物体系统所共有的。物体系统所共有的。4、保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力、保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统势能增加。加。第32页，本讲稿共76页三、势能曲线三、势能曲线三、势能曲线三、势能曲线几种典型的势能曲线几种典型的势能曲线（d）原子相互作用）原子相互作用 势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线:势能随位势能随位置变化的曲线置变化的曲线hEp（h）O21（a）lEp（l）O（b）rEp（r）OpE（c）r0Ep（r）Or2（d）（a）重力势能曲线）重力势能曲线（b）弹性势能曲线）弹性势能曲线（c）引力势能曲线）引力势能曲线第33页，本讲稿共76页势能曲线提供的信息势能曲线提供的信息1、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。、质点在轨道上任意位置时，质点系所具有的势能值。2、势能曲线上任意一点的斜率、势能曲线上任意一点的斜率 的负值，表的负值，表示质点在该处所受的保守力。示质点在该处所受的保守力。3、势能曲线在分子物理、原子物理、核物理、固体物理、势能曲线在分子物理、原子物理、核物理、固体物理等领域中有重要的应用。等领域中有重要的应用。第34页，本讲稿共76页23 机械能守恒定律 能量守恒定律一、功能原理一、功能原理回顾：质点系的动能定理回顾：质点系的动能定理机械能机械能E第35页，本讲稿共76页外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增外力对系统和系统非保守内力做功之和等于系统机械能的增量量-功能原理功能原理v功能原理根据动能原理推导而来，不同之处在于将保功能原理根据动能原理推导而来，不同之处在于将保守力所作的功用守力所作的功用势能势能代替（引入势能）代替（引入势能）系统的机械能增加系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变第36页，本讲稿共76页例题：例题：如图所示如图所示,一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m的山顶上点的山顶上点A沿冰道由静沿冰道由静止下滑止下滑.坡道坡道AB长长500m.雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停雪橇在水平冰道继续滑行若干米后停止在止在C.若雪橇与冰道的动摩擦系数为若雪橇与冰道的动摩擦系数为0.02。求此雪橇沿水平冰。求此雪橇沿水平冰道滑行的路程道滑行的路程.ABC解解:坡道上受力分析如图坡道上受力分析如图PFNFf以雪橇、冰道、地球为系统，只有以雪橇、冰道、地球为系统，只有非保守内力非保守内力摩擦力摩擦力作功和作功和保守内力保守内力重力做功重力做功h由功能原理由功能原理在在A点点 EP0=mgh,Ek0=0,在在C点点 EP=0,Ek=0 第37页，本讲稿共76页A非保非保摩擦力摩擦力 在坡道上的功为在坡道上的功为第38页，本讲稿共76页系统的机械能增加系统的机械能增加系统的机械能减少系统的机械能减少系统的机械能保持不变系统的机械能保持不变二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律:如果一个系统中只有保守内力作功，其它内如果一个系统中只有保守内力作功，其它内力和一切外力都不作功，则系统的总机械能能保持不变。力和一切外力都不作功，则系统的总机械能能保持不变。第39页，本讲稿共76页三、能量守恒定律三、能量守恒定律在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种形式能在一个孤立系统内，不论发生何种变化过程，各种形式能量之间无论怎样转换，但总的能量将保持不变，这就是量之间无论怎样转换，但总的能量将保持不变，这就是能能量守恒定律量守恒定律。（能量不能消失也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式）（能量不能消失也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式）*能量守恒定律是自然界中的普遍规律。不仅适用于物能量守恒定律是自然界中的普遍规律。不仅适用于物的机械运动、热运动、电磁运动、核子运动等物理运动的机械运动、热运动、电磁运动、核子运动等物理运动形式，而且也适用于化学运动、生物运动等运动形式。形式，而且也适用于化学运动、生物运动等运动形式。它体现了运动的守恒。它体现了运动的守恒。第40页，本讲稿共76页h解：（解：（1 1）以小球为研究系统）以小球为研究系统外力：重力、弹性力；内力：无。外力：重力、弹性力；内力：无。2.2.以小球以小球+地球地球+弹簧为研究系统弹簧为研究系统外力：无；内力：重力、弹性力；外力：无；内力：重力、弹性力；是保守力是保守力思考题思考题:一弹簧固定于水平桌面上一弹簧固定于水平桌面上,小球从高度以初速小球从高度以初速下落，撞到弹簧后，又反弹回高，速度仍为下落，撞到弹簧后，又反弹回高，速度仍为试分析试分析(1)(1)以小球为研究系统；以小球为研究系统；(2)(2)以小球以小球+地球地球+弹簧弹簧为研究系统，系统的机械能是否守恒为研究系统，系统的机械能是否守恒?第41页，本讲稿共76页例题例题1 质量为质量为m的小球，如图所示，系在绳的一端，另的小球，如图所示，系在绳的一端，另一端固定在一端固定在O点，绳长为点，绳长为 。若将小球以水平速度。若将小球以水平速度 从从A点抛出，使小球在竖直平面内绕一周。求证：点抛出，使小球在竖直平面内绕一周。求证：必须必须满足下列条件：满足下列条件：解：以小球、绳、地球为系统，经过分析，解：以小球、绳、地球为系统，经过分析，机械能守恒（机械能守恒（只有重力做功只有重力做功）以）以A点处为零点处为零势能点，则有：势能点，则有：使小球能绕平面绕一周的条件？使小球能绕平面绕一周的条件？第42页，本讲稿共76页在在B点点：完成圆周运动的条件完成圆周运动的条件第43页，本讲稿共76页解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。解：取绳索、光滑面、地球为系统，机械能守恒。取取AB面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为面为重力势能零点，系统初始状态的机械能为例题例题2 2 一质量为一质量为m m的均匀绳索长度为的均匀绳索长度为 L，t=0t=0时放在光滑面时放在光滑面ABCABC上，绳子在斜面上，绳子在斜面部分长为部分长为l l，如图所示，求绳索，如图所示，求绳索D D端滑到端滑到B B点时的速率。点时的速率。系统末状态的机械能为系统末状态的机械能为由机械能守恒：由机械能守恒：第44页，本讲稿共76页例题例题3 一链条总长为一链条总长为L，质量为质量为m。放在桌面上并使其下垂，放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数为设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链，令链条从静止开始运动，则：（条从静止开始运动，则：（1）到链条离开桌面的过程中，）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离开桌面时的速率是）链条离开桌面时的速率是多少？多少？al-a xO解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图注意：摩擦力注意：摩擦力作负功！作负功！第45页，本讲稿共76页(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理：前已得出：前已得出：第46页，本讲稿共76页（力对时间的积累效应）（力对时间的积累效应）冲量：冲量：力和力作用时间的乘积力和力作用时间的乘积（单位：牛顿（单位：牛顿秒秒(Ns)）动量：动量：质点质量质点质量 m 和速度和速度 的乘积的乘积 单位：千克单位：千克米米秒秒-1(kgms-1)恒力恒力变力变力在 dt 时间内的元冲量：在 t1至 t2 时间段内的冲量：2-4 动量 动量守恒定律第47页，本讲稿共76页一、质点的动量定理一、质点的动量定理可得：可得：作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内质点动量的增作用于质点上的合力的冲量等于同一时间内质点动量的增量量质点的动量定理质点的动量定理（力对时间的积累效应）（力对时间的积累效应）第48页，本讲稿共76页分量表示式分量表示式二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理第第i个质点受到的合外力为个质点受到的合外力为对第对第i个质点个质点运用动量定理有：运用动量定理有：第49页，本讲稿共76页因为：因为：三、动量守恒定律三、动量守恒定律 在某一时间间隔内，若质点系（系统不受外力作用）或所受在某一时间间隔内，若质点系（系统不受外力作用）或所受外力矢量和为零，则该时间内质点的总动量保持不变。即：外力矢量和为零，则该时间内质点的总动量保持不变。即：动量守恒定律动量守恒定律。在一段时间内作用于质点系上的合外力的冲量等于同一时间在一段时间内作用于质点系上的合外力的冲量等于同一时间内质点系动量的增量内质点系动量的增量质点系的动量定理质点系的动量定理第50页，本讲稿共76页q动量动量是动力学参量，动量大并不意味速度大；是动力学参量，动量大并不意味速度大；速度速度描述描述的是物体的运动状态的是物体的运动状态q动量动量是矢量，是力对时间的积累；是矢量，是力对时间的积累；动能动能是标量，是力对空是标量，是力对空间的积累间的积累q对对质点系质点系而言，若要判断而言，若要判断动量是否守恒动量是否守恒，只要关注系统所，只要关注系统所受外力是否为零（或外力与内力相比很小可以忽略不计）；受外力是否为零（或外力与内力相比很小可以忽略不计）；而要判断而要判断机械能是否守恒机械能是否守恒，需要关注所有的力所做的功，需要关注所有的力所做的功q动量定理只在惯性系中适用动量定理只在惯性系中适用第51页，本讲稿共76页解：欲求“小球给桌面的平均冲力”，可以根据牛顿第三定律，先求“桌面给小球的作用力”。因桌面光滑，桌面对小球的作用力是沿桌面法线方向。设平均冲力为 F。令小球弹起时的速度为 v2。小球受力及初、末速度如图所示。根据动量定理，有：v2v1例2-10 一弹性小球，质量一弹性小球，质量 m=20g，速率，速率v1=5.0m/s，与光，与光滑的水平桌面碰撞后跳回。设碰撞是完全弹性的，则跳回时速滑的水平桌面碰撞后跳回。设碰撞是完全弹性的，则跳回时速率不变，碰撞前后的速度方向和桌面法线所夹的角都是率不变，碰撞前后的速度方向和桌面法线所夹的角都是 60。设碰撞时间设碰撞时间t=0.050s，求小球给桌面的平均冲力。，求小球给桌面的平均冲力。第52页，本讲稿共76页(1)矢量作图法求解XY根据牛顿第三定律，小球给桌面的平均冲力的大小 FF2.2N，方向与F相反。(2)用分量式求解第53页，本讲稿共76页例题例题2-12 如图所示有一冲击摆。两根长度为如图所示有一冲击摆。两根长度为l的轻绳上的轻绳上端固定，下端悬挂着一个质量比子弹大的多的木块。子端固定，下端悬挂着一个质量比子弹大的多的木块。子弹沿水平方向射入木块后，镶入木块内，木块摆到一定弹沿水平方向射入木块后，镶入木块内，木块摆到一定的高度，设子弹的质量为的高度，设子弹的质量为m，木块的质量为，木块的质量为M，摆过的，摆过的角度为角度为，求子弹射入时的速度，求子弹射入时的速度 。解：分析运动状态，解：分析运动状态，一阶段一阶段以以子弹开始射入木块开始到子弹在子弹开始射入木块开始到子弹在木块内部不再运动木块内部不再运动子弹子弹在木块内的运动在木块内的运动是由于是由于初动能，克服摩擦力做功初动能，克服摩擦力做功机械能守恒机械能守恒？动量守恒？动量守恒？水平方向水平方向第57页，本讲稿共76页以子弹和木块为一个系统，水平方向用动量守恒定理以子弹和木块为一个系统，水平方向用动量守恒定理二阶段二阶段：子弹在木块内不再运动开始到子弹和木块一起：子弹在木块内不再运动开始到子弹和木块一起运动到一定的高度运动到一定的高度机械能守恒机械能守恒？选择最低点为零势能点选择最低点为零势能点第58页，本讲稿共76页例题例题3 如图，车在光滑水平面上运动。已知如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、人逆车运动方向从车头经人逆车运动方向从车头经t 到达车尾。到达车尾。求求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；2、车的运动路程；车的运动路程；3、若人以变速率运动，若人以变速率运动，上述结论如何？上述结论如何？解解：以人和车为研究系统，：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向取地面为参照系。水平方向系统动量守恒。系统动量守恒。第59页，本讲稿共76页1、2、3、第60页，本讲稿共76页2-6 2-6 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律一、角动量一、角动量 力矩力矩O质点相对质点相对O点的矢径点的矢径 与质点与质点的动量的动量 的的矢积矢积定义为该时定义为该时刻质点相对于刻质点相对于O点的角动量，点的角动量，用用 表示。表示。单位：单位：kgm2/s方向：右手螺旋定则判定方向：右手螺旋定则判定第61页，本讲稿共76页直角坐标系中角直角坐标系中角动量的分量表示动量的分量表示在圆周运动中：在圆周运动中：P Lrov力矩力矩单位：牛单位：牛米（米（N m）设在某时刻质点设在某时刻质点m对定点对定点O的位矢为的位矢为 ，作用在，作用在质点上的合力为质点上的合力为 ，则，则 与与 矢积定义为力矢积定义为力 对定对定点点O的力矩，用的力矩，用 表示：表示：第62页，本讲稿共76页O力矩的分量式力矩的分量式:对对轴轴的的力力矩矩（2）力）力 的作用线与矢径的作用线与矢径 共线（即共线（即 ）力矩为零的情况力矩为零的情况:（1）力）力 等于零；等于零；第63页，本讲稿共76页例题例题 一质量为一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：直角坐标下的矢径为：其中其中a、b、皆为常数，求该质点对原点的角动量。皆为常数，求该质点对原点的角动量。解：已知解：已知第64页，本讲稿共76页二、角动量定理二、角动量定理角动量角动量 力矩力矩第65页，本讲稿共76页质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受质点对某固定点的角动量随时间的变化率，等于质点所受的合力对该点的力矩。的合力对该点的力矩。表示成积分形式：表示成积分形式：冲量矩（合力矩在冲量矩（合力矩在t时时间内对定点的冲量矩）间内对定点的冲量矩）质点的角动量定理：质点的角动量定理：对同一固对同一固定参考点，作用于质点的定参考点，作用于质点的冲冲量矩量矩等于同一时间内质点等于同一时间内质点角角动量的增量动量的增量第66页，本讲稿共76页例2-16 试用角动量定理求质量为 m 的质点自由下落过程中的加速度。rRmvmg解 任取一固定点O为参考点，设某时刻质点自由下落速度为v，位矢为 r。质点 m 对固定点O的力矩 M 和角动量 L 的大小分别为：M=r mg sin L=r mv sin由右手螺旋法则确定，M、L 的方向均垂纸面向里。由图可知，r sin=R，得：M=Rmg，L=Rmv由 可得：Rmg=Rmdv/dt dv/dt=g第67页，本讲稿共76页三、角动量守恒定律三、角动量守恒定律如果对固定参考点，质点所受的合力矩为零，则此点对如果对固定参考点，质点所受的合力矩为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。该固定点的角动量矢量保持不变。注意：注意：1、这也是自然界普遍适用的一条基本规律。这也是自然界普遍适用的一条基本规律。2 2、M M0 0，可以是可以是r=r=0,0,也可以是也可以是F F=0,=0,还可能是还可能是r r与与F F同向同向或反向，例如或反向，例如有心力有心力情况。情况。第68页，本讲稿共76页 一内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直一内壁光滑的圆环形细管，正绕竖直光滑固定轴光滑固定轴 自由转动，环半径为自由转动，环半径为 R R，质量为，质量为 M M 的小球静止于管的最高的小球静止于管的最高点点 A A 处，由于微小扰动，小球向下滑动，处，由于微小扰动，小球向下滑动，判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。(1)(1)地球、环管、与小球系统的机械能不守恒。地球、环管、与小球系统的机械能不守恒。（2 2）小球的动量不守恒。）小球的动量不守恒。（3 3）小球对）小球对 轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。（1 1）不正确不正确。系统受外力为零。系统受外力为零则环与球之间的相互作用力恒与小球的则环与球之间的相互作用力恒与小球的速度方向垂直，不作功，重力是保守内速度方向垂直，不作功，重力是保守内力，故机械能守恒力，故机械能守恒（2 2）正确正确。小球所受外力为重力。小球所受外力为重力和支撑力，合力不为零，所以动和支撑力，合力不为零，所以动量不守恒。量不守恒。（3 3）不正确不正确。重力与轴平行，重力对轴的。重力与轴平行，重力对轴的力矩为零；支撑力既不平行于轴也不通过轴，力矩为零；支撑力既不平行于轴也不通过轴，所以对轴的力矩不为零，故小球对轴的角动所以对轴的力矩不为零，故小球对轴的角动量不守恒。量不守恒。第69页，本讲稿共76页例例2-17 2-17 用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速率圆周运动，其半径为周运动，其半径为r1，角速度为，角速度为1。现通过圆心处的。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小为小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小为r2 。求此过程。求此过程中小球的动能增量。中小球的动能增量。解：以小孔解：以小孔O为原点，为原点，绳对小球的拉力为绳对小球的拉力为有心力，其力矩为零。有心力，其力矩为零。则小球对点的角动量守恒。则小球对点的角动量守恒。因：因：v=r第70页，本讲稿共76页则小球的增量为：则小球的增量为：第71页，本讲稿共76页例 题 2-18 证明开普勒第二定律：对任一行星，它的位置矢量（以太阳中心为参考点）在相等的时间内扫过相等的面积。第72页，本讲稿共76页太阳对行星的引力为有心力，故行星角动量守恒，即 L 为常矢量，因此有：PP设太阳位于O点，质量为 m 的行星位于P点，位矢为r，经过时间 dt，行星运动到 P 点，位矢为r+dr。在dt 时间内，位矢 r 所扫过的面积 dS 等于OPP的面积：第73页，本讲稿共76页力力 力矩动量动量 角动量冲量冲量冲量矩力与动量力与动量力矩与角动量动量定理动量定理(冲量与动量)角动量定理(冲量矩与角动量)动量守恒动量守恒：某一时间间隔内，质点系所受外力矢量和始终为零，角动量守恒：对固定参考点而言，质点受到的合力矩始终为零，第74页，本讲稿共76页空间累积空间累积效应效应时间累积时间累积效应效应瞬时效应瞬时效应第75页，本讲稿共76页作业：P74-76212,15,19第76页，本讲稿共76页