温州市龙湾中学数学组2010年优秀案例集.doc

温州市龙湾中学数学组优秀案例集 “09数赛”引发探究性学习的一个案例温州市龙湾中学 鲁兴冠（注：本案例获2010年温州市高中数学优秀案例评比二等奖）内容提要：通过对2009年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对椭圆中的简单研究，类比到双曲线、抛物线。并结合2009年全国及各省市高考试题及举例说明这类问题的一些常规应用，通过激烈的讨论，思维的撞击，建立更好的知识结构。关健词 数赛 探究 案例1 问题提出与背景：10月11日上午在市第二十一中学进行的2009年全国高中数学联合竞赛刚刚结束，同学们都议论纷纷，一位学生神秘兮兮告诉我一个好消息：有一个7分填空题我上课时己讲了。当时我也很迫切想知道是怎样一道题？又是何时讲？由于学生心情很激动或许考试太紧张吧，该学生一时说不出具体试题，只回答我：反正您讲了。然后，我说：返校后好好回忆再用纸条写给老师。下午上课前，一群己参09数赛学生把题目写好了送给我：椭圆（）上任意两点，若，则乘积的最小值为 （2009年全国高中数学联合竞赛一试试题第5题）2原问题寻找及问题解决：看了试题后，说实话作为高中教师解答该题并不难，难的是学生硬说老师上课讲了，并且讲的时间还不长，可我自己记不起何时讲解过。我翻遍了自己的备课本也没有找到该试题，又快上课了，我只好要求找到该试题的同学第一时间告诉我。下午刚一放学，一位同学拿着课本选修4一4一路跑来说：“找到了”。原来我备课简单，对课本上这些题目没有具体写出来而这样略写：讲解“P15页习题1.3第6题”，这正是翻遍备课本也没有找到的原因。这样我第二天数学课进行“补牢”工作。己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点，求证：（1）为定值 （2）求面积的最大值和最小值 （人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4一4坐标系与参数方程第15页习题1.3第6题）生1：证明：由题意椭圆方程为 ，因为 ，设OA所在的直线斜率为，则OB所在的直线斜率为由得所以同理可得，所以 师：生1的结果是否正确？生2：肯定正确。师：敢肯定？！理由？生2：特值法，当，时显然对了。师：太聪明了！生3：生1的结果是正确，但过程不完整，OA所在的直线斜率可能不存在，这种情况没有讨论。生4：（很迫切）那OA所在的直线斜率为0也没有讨论。师：同学们考虑问题要周到全面呀！那怎样说简洁明了？生1：（我自己知道了必须补上）当OA或OB所在的直线的斜率有一个为0时，（定值）生5：（参加了数学竞赛并提出该问题的同学）老师：我正是用这个定值做的。生5展示解法：由课本知 又根据基本不等式 （当且仅时取等号）师：不错，不错！对课本比老师还熟悉。3问题的应用：师：暑假我把全国各省市高考题全部做了，我在你们、特别是生5的提示下，请大家共同欣赏2009山东卷理22题设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。生6：解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）由课本知：，又设AB边上的高为h,由 可得显然以原点为圆心，h为半径的圆就符合题意。所以, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.由得 () 其中设且函数在上是减函数上是增函数,综上, |AB |的取值范围为: 师：:（1）生6真是现买现卖，牛！比高考答案还方法还要好。用上了这个定值，还构造了典型函数，并利用其单调性来求范围。（2）本题是2009山东卷压轴题，其题源背景就是课本上作业题，因的高h也为定值，课本上第二问求面积的最大值和最小值就与这道高考题第二问实质上是一样了。(3)本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法。师：若过O作于M，则M的轨迹是什么？生7：是以原点为圆心以h为半径的圆（原点除外）。师：真严密！“原点除外”没有移漏。4提出并探究新问题：师：看来09全国数学竞赛考了，09高考也考了，同学们能否探究它的逆命题是否成立？问题1 己知椭圆中心为O,长轴、短轴的长分别为2a , 2b（a>b>0）,A,B分别为椭圆上的两点，试研究是否成立？生8：证明：由题意椭圆方程为 ，因为（1）当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，不妨设OA所在的直线的斜率为0，则 由（1）得 从而有（2）设OA所在的直线斜率为，OB所在的直线斜率为由得所以同理可得，所以 化简得师：大胆探究，小心化简。（边巡视边提示）由此可见，不一定成立。当OA或OB所在的直线的斜率为有一个为0时，或当OA,OB所在的直线的斜率异号时，成立。师：我们今天仅对椭圆行进了研究，我们把这一问题想开去。这个问题在双曲线中、抛物线中又怎样？课后分组讨论、交流。以下的问题有老师提出的，有同学提出的步，最后搜集整理如下：问题2：己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b（b>a>0） , A , B分别为双曲线上的两点，求证：为定值小组1：证明：（1）因为b>a>0，所以OA、OB所在的直线的斜率一定存在且不为0 （2）只需把探究1中的结论换成就可得（定值）问题3： 己知双曲线中心为O,实轴、虚轴的长分别为2a , 2b（b>a>0） , A , B分别为双曲线上的两点，试研究： 是否成立？小组1： 证明：仿照椭圆知：不一定成立，也即命题2的逆命题不成立。当且仅当OA,OB所在的直线的斜率异号时，才成立。小组1例举：已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.wu.c.o（2009北京高考卷理19）小组1解:（）由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.（）由直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点可知：的边AB上的高为定值, OA,OB所在的直线的斜率异号 又由命题2知：， 的大小为.wu.c.o.m 问题4 己知抛物线E：（p >0）, A , B分别为抛物线上的两点，求证：直线AB恒过定点小组2证明：由题意可设OA所在的直线的斜率，则OB所在的直线斜率为由得同理可得，所以直线的斜率为直线的方程为又在上述方程令,得 直线AB恒过定点C问题5：己知抛物线E：（p >0）, 过点C作直线AB交抛物线于A , B两点，求证： 小组2证明：证明：由题意可设OA所在的直线的斜率，OB所在的直线斜率为由得 同理可得，（1）若即轴时，,，显然成立（2）时，则直线的斜率为直线的方程为,直线过C将，代入上述方程得 综合上述：小组2例举：己知抛物线（p>0）, A , B分别为抛物线上的两点，过O作于M，求：M点的轨迹方程（2004上海春高考卷理22）小组2解：由命题3可知：直线AB恒过定点C于MM点的轨迹是以线段OC为直径的圆且原点O除外所求M点的轨迹方程为：5教后启示 （1）本节课在参加09数赛同学的提示下，通过对2009年全国高中数学联合竞赛真题引发探究性学习，对圆锥曲线中的简单研究，并结合2009年全国及各省市高考及举例说明这类问题的一些常规应用来复习了圆锥曲线，起到了意想不到的效果（2）在研究性学习中，师生之间是轻松和谐氛围中进行。教师要不断吸取新的知识，投入新课程教学研究中，才能适应时代的发展。教师要乐意，虚心地接受学生的见解、观点。实现“沟通、理解、创新”，培养学生的学习兴趣与创新精神。荷兰著名的教育专家·费赖登塔尔指出：“数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的”。因此作为数学教育工作者应加强对案例教学法的研究、应用，使案例教学法在中学教学课堂上展现无穷魅力。（3）圆锥曲线往往是高考压轴题，看来其题源来于课本，变于课本，高于课本。这让我们一线的数学教师反思：怎么教？学生怎么学?基础怎么去落实？解决问题的通性通法是什么？在教学中多问“为什么？还有么？”等等。学思结合，举一反三，基础知识的掌握和落实尤为重要，课本中的定义、定理、例题、习题要吃透、消化，高三复习要回归课本。我认为这正是高考命题专家的用心良苦，也说明专家们驾驭课本的能力，知识的渊博。通过对圆锥曲线中的简单探究，反映了几种圆锥曲线之间的内在关系，又一次体现了数学美。参考文献1 2009年高考数学试卷山东卷2 2009年高考数学试卷北京卷3 2004年上海市春季高考数学试卷4 人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书选修4一4坐标系与参数方程5 2009年全国高中数学联合竞赛试题基于预设与生成理性思考的数学教学 -归纳推理教学案例分析温州市龙湾中学 孔白芬（注：本案例获2010年温州市高中数学优秀案例评比三等奖）内容摘要： 高中数学教学中预设与生成的合理处理能提高课堂效率、实施有效教学。本案例就是针对归纳推理教学，对数学本质的挖掘，对教学进行大胆尝试预设与生成处理的一个很好构思、实践及反思。关键词： 预设与生成 高中数学课堂 数学本质 数学深层思维随着新课程改革的不断深入，预设和生成的理念也越来越多地融入我们的课堂教学。华东师范大学叶澜教授指出：“要从生命的高度、动态生成的观点看课堂教学”；崔允滸教授则认为：“预期的学习结果表明是教学设计时关注的重点，是课堂教学过程的决定因素，也是教学效益中可评价的那一部分。” 目前理论界对教学中预设和生成的处理依然有争议，在数学课堂教学实践中某些看起来开放和活跃的课堂教学，大多有盲目生成之嫌，如未能围绕课程的教学目标进行，或未能注意生成时间的制约性等，从而出现不负责任的课堂或缺乏生成的不精彩的课堂。因而如何设计教学预设促使数学课堂恰当精彩生成、在课堂中处理好生成，充分发挥师生的能动性和创造性，成为提高课堂效率、实施有效教学的重要问题。本案例就是对数学教学的预设和生成的一个粗浅探讨。案例背景：我校高二数学备课组围绕本学期校本活动教研主题：数学课堂教学预设和生成的研究展示了一节归纳推理探究课，探索校本教研活动的有效方式。这节课上的成功之处主要在于有了比较多的不同声音，得到所期待的讨论。在准备前期，备课组内部也有过争论。焦点为：因为本课内容曾是2007年温州市级优质课评比活动和浙江省级优质课评比活动的课题，是否以其中优秀的教学设计或其教学设计中的优秀片段进行截取整合。传统过程：通过一或二个引例，就提出本课的主题：归纳推理，然后在通过几个例题加以深化与落实。归纳推理是学生在小学几何中就开始接触的解决问题的思考方法，G波利亚的数学的发现第二卷它的内容，方法和意义中讲解了这种思考方法、思维路线等；合情推理这个概念最早是G波利亚在怎样解题中得到总结，随后又在他的合情推理上下册中广泛而深刻地阐述。因此，可以说G波利亚的理论已深刻展示了数学的本质。而2007年的优质课的共同特点是没有很好地抓住这一数学本质，未能充分体现学生自己的归纳推理体验。为充分体现学生自己的归纳推理体验，立足于“数学教学是数学本质的教学”理念，对教学课堂的预设与生成尤为重要。我们作了如下尝试：在教学中安排几个典型生活与游戏的问题来探究，最后得出概念。这长长的前奏，让学生经历从隐性被动到显性主动，从而达到自主探索、实践创新的效果。其中明线是：感觉到最后才给出了归纳推理的概念及由此方法得到的重大发现，实际上的暗线是：在解决数学问题中，不断地渗透过程与方法（实验、观察、概括、推广、猜测）、情感态度价值观（大胆猜想，小心求证）。探索问题的预设：选择典型生活与游戏的问题，创设情境，让学生饶有兴趣地、自觉地去试验、观察，得到猜想，分析其发现动机和合情推理，让学生得到充分的归纳推理体验。爬楼梯问题：现有10级楼梯，每次只能走一级或二级，问有多少种走法? 谢宾斯基三角形问题：上世纪初，波兰的数学家谢宾斯基想要找到一个图形，当它的面积无限减小时，它的周长则无限增大（用几何画板进行迭代演示）。将上述迭代过程逐一展示，问谢宾斯基三角形的第n个图形中，灰色三角形的个数为多少？灰色、黑色三角形的总个数又为多少呢?汉诺塔问题:规则：把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用。（1）每次只能移动1个圆环； （2）较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 请你试着推测：把n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?（最后借助小软件直观的验证学生的思维过程）区域数问题:平面被n 条直线最多分成几个区域？要达到数学教学预设与生成的适配，老师就要能“跳出教材”，从“教材外”看教材。大胆地处理教材，把教材作为可利用的资源中的一种来使用，引导学生自主探究、自主发展。而从学生发展层面看，既要预设性发展，也要生成性发展。因此，准确把握教材、学生，抓牢生成的基点：学生的现有发展水平；把握预设的要点：足够的预留弹性空间如教学目标和教学方式的弹性化，是预设与生成成功教学的基础。这几个问题的选择是集高二备课组所有老师在教学中的尝试和收获所得，既能促进学生积极思考，又能恰到好处地开放，很好地实践了课堂的预设与生成。教学过程的生成：教师课堂教学之前须了解学生的个体差异，课堂上了解学生的真实学习水平；教学后反思学生的种种表现，以准确把握学生的现有发展水平。对教学过程进行假设：学生会怎么说？我该怎么引导？学生说的与预想的不一致，我该怎么办？如何根据学生的当场反馈，调整问题的难易程度？以下就孔老师执教的两堂试验课与一节展示课加以说明：1、 爬楼梯问题学生尝试用分类列举、数数问题：你是怎么想的，结论是多少？学生得到1，2，3，5，, 89问题：你是如何得到？你是根据哪点得出的？学生得到由此可以得到问题：这个规律怎么发现的，这样走楼梯的内在规律是怎样的？开始这种方法也可以吗？错在哪？师：比较两种方法，前者麻烦，不清晰。后者先考虑简单的走1级、2级、3级分别会有几种走法，然后找出规律，得到n级的情况。这种方法挺好。因为起点高，学生可能暂时解决不了这个问题，则教师处理成：这个问题我们一下了还无法解决，那先放一放吧，说不定过一会，我们就有了灵感了。先来看下一个问题。生成有：1、在理科班的实验课上学生中出现结果为25的答案。这是属于理解角度与认知起点不同引起的非常生成，学生的回答让孔老师有点措手不及，因为学生的回答她在课前尚未想到，而学生又不能畅述清楚自己的思路，当时解决得不是很好。2、展示课班级为文科学生，一位学生尝试列举出方法的总数，但是又因为思维的无序性、分类思想的不成熟，没办法整理出最后的结果。这是自然流露的正常生成，孔老师在在倾听中发现学生困惑的焦点，并引导采用分类的方法成功解决问题。3、因为这个问题对文科生来说起点较高，在文科班的实验课中学生暂时解决不了，教师采用了提示：10级太多了，不好考虑？怎么办？为了更好的生成，在讨论后我们处理成：暂时委婉避过，先对后面的问题作思考，再回过头由学生自行解决。当课堂中出现不稳定性的生长点时，可采用引领策略促进师生的共同发展。这里是一种可预设生成的引领，当然其中有悖于常规思路的反常生成。教师要学会倾听，在倾听中发现学生困惑的焦点、理解的偏差、观点的创意、批评的价值，从而许多不曾预约的精彩将不期而至。同时及时调整，在生成中适时“替换”探究主题。因为来自学生的信息大多处于原生态，往往是零星的、片面、模糊的。教师要在众多纷繁复杂的信息中通过比较、判断、鉴别，选择有价值的信息作为教学的新契机。这也是许多数学教师上探讨预设与生成开放型课的一个害怕点。但是这种课的研究又是很必要的，所以孔老师自称很有幸能成为“实验品”。2、谢宾斯基三角形问题 学生易得（1）1，3，9，27,2n-1问题：这个你是怎么得到的，在图形中的体现是怎样的？（铺垫）（2）学生容易先得出前三项为1，4，13。方法一（代数方法）从前三项的数值上也可以发现：，方法二（代数方法）（）问题：你是怎么发现的?3n-1怎么得来？对吗？你能从具体的背景中给出解释吗？方法三（几何方法）从第二个图象起，每一个图象可以看成由前一个图象的三份缩影加上中间一个黑三角形。因此，。分图示例（1）方法四（几何方法）从第二个图象起，每一个图象是在前一个图象的每个灰三角形中挖走一个中心三角形，这样如图所示的圈内一个三角形就变为四个三角形，增加三个三角形。在第个图形中，灰三角形的个数为，所以，即。 分图示例（2）问题：你是如何得到？你是从哪里得出？师：当我们面对较为一个复杂的图形时，很难一眼看清其全貌的话，可以先从几个简单的入手多角度去寻找出其递推关系，再解决一般情况。在老师的开放性问题：你是怎样想到？你是怎样思考的？等等的引导下，以上的几种方法就是学生精彩的生成。孔老师在实验课的第二节中也遇到了不少学生的表述不清的如b1 =1,b2=3+1,b3 =32+3+1 b=33+32+3+1思维摸索过程，她很好的把握住是与方法四实质相同，引导学生从数形结合阐明他的观点，也梳理了其他的同学的理解过程。课堂中孔老师在处理此题时营造了互动对话的氛围：你们认同他的思路吗？同意他的想法；当学生阐述不清或理解片面或没有头绪时，她的鼓励和等待：没关系，你试一试，你没讲完整也没关系，你也许可以为其它同学的思考指明方向。师生各自向对方敞开精神和彼此接纳。判断教学是不是在“对话”，关键取决于教育者的教育意向与教育互动的实质。其中构建动态开放的时空让学生感觉到：只要是我提出的问题，老师都会很重视，并和我共同体会和研究。常此以往，随着时间的推移，学生的智慧潜能就会火山爆发般地喷涌出来。3、汉诺塔问题学生会尝试移1个、2个、3个圆环统计数据，得到1，3，7，15，。，2n-1追问：如何得到？在具体操作中移动次数的内在规律是怎样的？怎么找到？学生得到an=2an-1+1问题：你从哪儿发现有这个规律？师：开始思考前面几个少的圆环移动的情况，找到递推规律，再到n个圆环时也属于这种情况，把问题解决。在这个过程中，因为有充分的时间让学生思考，也基于之前的成功经验，学生在没有任何提示下漂亮的从数与具体的操作上都做到了很好的归纳推理。这么水到渠成的生成让师生为之喝彩。这是课前所没有预料到的。这个过程说明了，在打造智慧高效的课堂中，教师做到：注意人文关怀和科学素养二者的兼顾，则生成是师生知识、能力、情感态度的超越性获得或发展。4、区域数问题平面被n 条直线最多分成几个区域？问题：拿到这样一个问题，你又会怎样考虑？研究的顺序是怎样的，是一个先什么再怎样的一个过程？学生讲述解决问题的思路。于是归纳推理的定义只要孔老师抛出一个：问题：回顾这四个问题的解决过程，你能说归纳出思维方式上的共同点吗？也就是研究方法上有什么共同特征？ 这样一个教师想说又不能说，而努力让学生说出来的教学过程，是实现教学预设与生成的成功尝试。让观课的教师觉得看见了学生、师生间碰撞出的思想火花。有效反思: 从这个不断尝试修正的教学过程中我们发现：课堂教学必须要有几套“预案”，而成功的预案建立在对数学知识有本质的把握与学生深层次数学思维学习的需要。一是处理好展示的教学文本的平台，如前面案例中几个典型问题的预设、先深入体验再最后概念形成的流程安排；二是处理好教学过程展示的平台，如每一环节开放性预设处理、学生可能出现情况的多方位的考虑等。预设充分了，在运用教师的智慧应对和处理教学偶发情况基础上，智慧高效的生成课堂就得以获得。教学预设与课堂生成性教学之间，实为已知与未知、理想状态与意外因素、主体信息和多元信息之间的关系。预设追求的是显性的、结果性的目标，而生成追求的是隐性的、过程性的。只有学习结果内隐变化的性质与教学策略的特点恰当匹配，才能起到促进教学的作用。同时课堂教学中的偶发事件大都是不可复生的教学资源，因而教师也可容忍暧昧而促使反思，延缓评价或歪打正着，充分利用其积极的一面，为促进课堂生成服务。为实现数学教学中成功的预设与生成，教师要不断加强自身素养，对教学资源所提供的丰富多彩的内容深入钻研，对现实蕴含的数学思想、数学模型和本质理解到位，对学生原有建构的数学水平充分了解，提高因势利导捕捉和发掘教育契机的能力与素质。这样，才能运筹于帷幄之中，使教与学都达到理想的境界。参考文献：1叶澜让课堂焕发生命的活力J.教育研究，（）2 朱志平预设与生成的关系是教学的基本问题J.当代教育科学，（）对数学预设与生成的教学理性思考 J.教育研究，（）究竟“”还是“”呢？温州市龙湾中学 潘芳芳（注：本案例获2010年温州市高中数学优秀案例评比三等奖）【内容摘要】：本文通过对函数的定义域为或值域为这类题型的引导分析，让学生真正理解“”还是“”，体现了在课堂教学中教师有效引导的重要性。【关键词】：问题；有效；引导；【案例背景】： 我们经常碰到关于函数的定义域为或值域为的题型，尽管老师讲解多次，但学生还是会重复同样的错误。到底在课堂中老师该如何分析这种题型？该如何引导学生才能使我们的教学更有效？下面我将结合一道习题的教学，谈谈自己的想法。【案例描述与分析】：在学习了对数函数及其性质一后，我布置了浙江省教育厅教研室编写的必修1作业本上相应的题目，其中第39页，第8题是这样的：（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围。（2）已知函数的值域为，求实数的取值范围。从作业情况可以发现对于第（1）小题的解答学生容易理解，基本上都能做对。令，要使定义域为，只需对一切的恒成立，所以有，解得。但对于第（2）小题，大部分学生无从入手，个别学生还是写，几乎没有人能全对。一、最初的分析思路第二天在课堂上我解释如下：这是复合函数，令，则，要使函数的值域为，则要取尽所有的正实数，所以的图像与轴必须要有交点，即，解得。原以为按上面的讲解思路，学生应该已经理解。但事与愿违，课后好几个学生过来提问，说还是不太明白到底“”还是“”？看来我的讲解思路存在问题，不够透彻。那又该如何分析，引导学生才能真正理解题意呢？二、调整后的分析思路针对这个困惑，我再次深入地研究这道题目。其实，这里主要是让学生明白两个关键点。第一点，为什么值域为时，要取尽所有的正实数？第二点，为什么当取尽所有的正实数时，？这也正是这道题目的难点，为了突破难点，我在另一个班级上课时重新调整了讲解思路：我先提问：“要想函数值域为，需要满足什么条件？”生：“，因为对数的真数必须为正数。”学生回答得很好，对概念掌握得比较扎实。我又问：“那可以吗？此时真数肯定是正数。”学生一脸疑惑，想了一会儿，有个别学生回答不可以。我追问原因，有两三个思维反应迅速的学生回答此时值域为，听到这个解释，周围的同学也纷纷点头表示赞同。我笑了笑，解释道：“没错，结合对数函数的图像，如图1，可以发现，则值域为，所以指要取尽所有正实数，这样才可以取尽所有的实数，才会使值域为。”学生恍然大悟。我马上追问：“那怎样才能使取尽所有的正实数呢？”学生的答案五花八门，主要有如下几种：，。我作出的图像，如图2，分析道：“关于的图像无非就三种情况，与轴没有交点，一个交点，两个交点。假设没有交点，此时能取尽所有的正实数吗？”学生回答：“不行，存在最小值，比最小值小的正数取不到。”我补充道：“是的，所以，取不尽所有正实数。那一个交点或者两个交点可以吗？”大部分学生点头表示可以，但个别学生还是流露出疑惑的表情，这时有个学生问：“老师，如果有交点，不就会取到0和负数吗？”我解释道：“没错，要想函数有意义，所以我们只需取正实数，不需要考虑为零或负数。因此只要能取尽所有正实数就可以了。”我追问：“图像与轴有交点说明什么？”学生回答：“或。”到此，学生基本上能真正理解为什么“”。三、问题的引申为了加强学生对题目的理解，我准备了两道引申问题：引申1：第（1）题中定义域为，那值域是什么？第（2）题中值域为，那定义域是什么？ 分析：第（1）题中，。第（2）题中，当时，则定义域为；当时，定义域为。引申2：已知函数的值域为，求实数的取值范围。分析：令，这时需要讨论二次项系数的取值范围。当，则，可以取尽所有正数，值域为，所以满足条件。若，想要取尽所有正数，则，解得。综上所述，。【案例反思】：我们总埋怨或责怪学生对于同一类型题目会重复同样的错误，其实我们教师也该自我反思一下。我们的讲解是否欠透彻，而导致学生没有把握住问题的本质。倘若学生没有追根问底的学习习惯，那这些问题就得不到根本性的解决，下次碰到难免还是会错。其实教师不仅要讲解透彻，还要学会灵活多变。变题的主要意图是培养学生从多种角度分析问题，加强对知识的理解及接受的能力，使学生不仅知其然，更知其所以然。而我们教师要善于以典型例题为原型，导出同类的异型，把它们集中在一起，对解题思路、解题策略以及解题过程中的误区进行归纳总结。所以教师在课堂教学中的引导作用是不容忽视的，只有正确科学地引导学生进行思考，探索，提出问题，积极反思，才能提高课堂质量，才能让我们的教育教学更有效。【参考文献】：1、普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社2、浙江省普通高中新课程作业本数学必修1 浙江教育出版社3、新课程背景下高中数学课堂教师如何有效引导 吴其湘给你一点空间，还我一片精彩 基本不等式的证明复习课的案例分析温州市龙湾中学 董连武（注：本案例获2010年龙湾区高中数学优秀案例评比一等奖）内容提要：怎样的复习课才是有效的？这个问题时常困扰着我。一次基本不等式的证明复习课的实践，让我对这个大问题有了一点点小的认识。文中结合课堂过程的再现，谈谈对三个相关问题的粗浅看法，分别是：数学公式、定理的教学与复习应关注哪些方面？复习课中如何设计“三基”训练？复习课中如何协调教师的导与学生的学？关键词：复习课 基础 主导 主体1、背景介绍2009年11月12日，学校组织市内学科专家来校开展教学诊断与指导活动，我很珍惜这次与专家“零距离”的接触，在课前进行了认真的教学设计，并准备了几个疑难问题请教他们。班级里来了客人，学生们比平时更加兴奋与专注，开放性的教学问题设计，民主和谐的课堂氛围使学生们能带着自己的知识、经验、思考、灵感参与课堂活动，从而使课堂呈现出多变性和复杂性，并有了更多的“生成性资源”，这为课后的交流提供了丰富的素材。2、情境描写2.1基本不等式的直接证明课堂问候礼后，我直接出示问题1：如何证明基本不等式？看到学生迷茫状，我补了一句：回忆一下，不等式证明有哪些常用的方法？这下立即有了反应。生：可以用比较法证明，作差可得。（好简单，同学们微微点头。）生：也可以由推得，那是综合法。对，还有分析法。 生：我觉得反证法也行！（真的，学生们笑开了。）学生齐答，我板书分析法：要证， 即证，只要证 ，这显然成立，所以，成立。我马上追问：不等式中等号何时取到，、的取值有何要求？回顾证明过程，学生很容易给出了答案。（问题1的设计不仅让学生回忆了证明不等式的基本方法和相应的表述特点，还使学生认识到不等式与“实数的平方是一个非负数”的本质联系。）2.2基本不等式的构造证明当学生在回味以上简洁的证明时, 我又提问：上面的证明方法都很好，我们还能用其它数学知识证明吗？刚才还较热闹的课堂一下子又安静了下来。几分钟过去了，没有学生举手。师：这些式子能让我们联系什么数学知识？不妨画几何图形试试。经提示，学生回忆起构造如下平面图形，用面积说明不等关系（也可以说是它的变形），此时、取正实数。aabba-babab（通过引导学生回忆不等式的几何证法，加强数形联系、转化能力，丰富学生对基本不等式几何含义的认识。）师：我们知道，数学中的一些知识，如三角、向量紧密地联系着代数与几何，我们能否用这些知识证明以上不等式呢？学生的思维再次被激发，经过讨论、补充，结合几何图形，又整理出以下2种证法：三角方法：在中，设则所以，当且仅当时，即时，等号成立。向量方法：设，则，由得，当且仅当时，等号成立。（通过引导学生构造三角、向量关系再证不等式，既加深了对的认识，又拓宽了证明不等式的方法，提高对代数、几何、三角、向量等数学知识相关性的理解。）2.3基本不等式的变形再证明以上我们从多个角度证明了，如果将变形为，等形式，还能通过联系、构造加以证明吗，试试看？充满期待、信任的目光，促使学生积极思考，不久，有学生举起了手。生：让我觉得它可能与一元二次方程根的判别式有关，但？看到他有了想法但还没考虑成熟，我马上说：同学们，小李同学的想法对吗？“很对！”学生们大声地说。在同学们的鼓励下，小李继续回答：可以构造以为两根的一元二次方程，它的判别式肯定大于或等于零，即。太棒啦！同学们投以钦佩的目光。谁能说说对的想法呢？我将学生们的注意力引向第2种变形。“构造双钩函数”，让我惊奇的是有不少学生喊出了想法。我再次板演：设，构造函数，易得当 时，单调递减；当 时，单调递增；所以当 时，成立。师：“为什么要加上这个条件，能将它去掉吗？”“这是因为”学生还来不及回答，这时下课的音乐响了起来，但我相信学生们的思维正处于高潮中。3、分析与反思3.1数学公式、定理的教学与复习应关注哪些方面？基本不等式可看成是数学公式和定理，平时在教学和复习数学公式和定理时容易产生“掐头去尾烧中段”的情况，也就是“一背二套”、“公式加例题”的形式，这种形式的教学往往使学生头脑里只留下公式、定理的外壳，忽视它们的来龙去脉，不明确它们运用的条件和范围。事实上在公式与定理的教学与复习时应关注：本源，推导（证明），限制条件和特例，变形与联系，应用等。通过教学与复习，应使学生达到以下目标：一是要用准确的数学语言表述公式与定理的内容，明确其使用的条件和适用的范围；二是要正确地掌握其证明及推导方法，并适当变形，联系其它知识构造再证明；三是要探讨对一些重要的公式和定理能否作适当的引申与推广；四是整理公式与定理的应用规律。我们在教学中，必须以适当的方式将公式和定理的发生、发展、变化过程展示给学生，让学生通过自主学习获取知识，并领悟公式和定理所包含的数学思想方法，灵活地掌握知识，应用知识，达到提高分析问题，解决问题的能力。避免死记硬背，生搬硬套，做到“活学活用”。3.1复习课中如何设计“三基”训练？复习的目的是使学生进一步系统地掌握基础知识、基本技能和基本方法，进一步提高运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力以及综合运用数学知识灵活地分析和解决问题的能力。在设计复习问题时，既要关注知识交叉点的训练，又要注重问题的能力立意，同时不忘解题技能练习和书写规范，最后强调解题后的反思，悟出解题策略、思想方法的精华。本课在复习基本不等式的同时，设计了不等式4种基本证明方法（比较法、综合法、分析法和反证法）及相应的表述训练，强化数形结合思想，函数、方程与不等式的联系与转化能力的应用，加深对代数、几何、三角、向量等数学知识相关性的理解。总之，复习课教学内容的选择上应按学生的认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开，既考虑知识的广度与联系度，又关注课堂学生的思维、能力、思想与方法的训练量，提高综合运用知识解决问题的水平。3.3复习课中如何协调教师的导与学生的学？学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西。复习课不能由教师一人讲解，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”与“绝活表演”的舞台，而要让学生成为学习的主人，让他们在主动积极地探索活动中实现创新、突破，展示自己的才华智慧，提高数学素养和悟性。在解决课堂问题中学生难免出现“思维障碍”，教师恰时恰点的指导至关重要，但我们大可不必在外围处进行浅表性的启发诱导，而要在关键处引导学生探寻突破口，让学生的思维在要点处闪光，继而暴露问题，磨砺意志，提高能力。本节课改变平时复习课先整理知识，然后讲解例题的模式，而是先直接提出问题让学生思考。可能这样提问过于直接，学生一时还没头绪，这时，我及时引导，学生的思维随即展开。在完成了用4种基本方法证明基本不等式后，我又引导学生分别用几何、三角、向量知识再证明不等式。这一环节给学生充分的时间，自主思考，合作交流，学生的解答顺畅又完整。第三环节变形再证明，学生在信任和鼓励的氛围中，思维高度活跃，结果令人惊喜。因此，课堂教学中，特别是复习时，教师通过优化问题设计，留足学生思考的时间，保护学生的自信心，适时引导与激励，就能强化学生自主学习的意识，激发学习内驱力。“导”得有效，“学”得才高效！参考文献：       1 钱珮玲走进课堂高中数学新课程教学设计案例与评析M高等教育出版社，2005 2 金华芳浅谈高中数学公式和定理的教学C上海外国语大学嘉定外国语实验学校3 李果民中学数学教学建模M广西教育出版社，20034 许闰生如何上好高三数学复习课J中外教育研究2008（11） 在反思中提质，追求高效课堂-基于新课标立体几何的教学案例分析温州市龙湾中学 陈华云（注：本案例获2010年龙湾区高中数学优秀案例评比二等奖）内容摘要：新课程在课程结构、课程内容等方面有了较大的变化，让老师感触最深的是新课程的理念，这些理念的提出为教师和学生的发展提供了机会和空间。但同时也给老师带来了很多的困惑和挑战。我们在适应新课程的同时，也在不断调整自己的角色，改变传统的教育方式，追求自己的可持续发展，提高自身的素养是责无旁贷的。关键词：反思 高效新的高中数学课程标准对立体几何作了适当的调整，调整之后的立体几何教学建议以现实三维空间为背景，遵循“直观感知操作确认思辨论证度量计算”四个层次的认识过程展开，把具体与抽象、直观与论理、感性与理性、动手与动脑有机地结合在一起，因此更符合学生的认识规律，更能