教学中“混而不错”现象的思辨——由一则教学案例说.pdf

2 0 1 4 年3 月案例点对初中数学教学中“混而不错”现象的思辨一、由一则教学案例说起由一则教学案例说起安徽省太和县马集乡中心学校丁前鹏(2)若正方形C E 粥的边长为口，正方形A 曰C D 的边长为6，猜想s 一的大小，并结合图证明你的猜想下面是笔者最近一次习题课上的教学片断A案例1例题：正方形A B C D 与正方形C E 粥的位置如图1 所示，点G 在线段C D 或C D 的延长线上分别连接肋、B F、肋，得到删D 胃(1)在图1。中，若正方形蚀粥的边长分别为1、3、4，且正方形A 日C D 的边长均为3，请通过计算填写下表：l 正方形c E 粥的边长134曰刃的面积F图1呈现这道例题后，不少同学都在埋头求解，不到3 0秒，学生小杭就东张西望，似乎在找人确认他的答案，笔者走近他后，发现他的答案全对!于是笔者示意大家停认识到各种方式的结合在教学的深度和广度上有着极为重要的作用，它将学生的基本知识和知识链接、能力进行了有效的整合，提高了课堂教学的有效性对后进生数学解题能力的培养，必须有一个循序渐进的过程，通过文中案例描述的问题，给学生一种心理暗示，认清问题的解决方向和提高解决问题的能力，重视知识的联系性，对应对数学进一步的学习大有益处文中还体现了有效性教学的一些特点1 参与性对数学问题层层递进的教学，对问题的主动认知和主动归纳总结是学习的最终目标教师要帮助学生主动认知问题的本质和表现活动之间的内在联系，积极去参与解决问题的过程，学习过程的最高境界就是深刻理解表象和本质之间的内在联系可以看到，上述教学过程中(诸如案例1)大部分想法都来自后进生，切勿教师一讲到底2 反思性数学概念的抽象性、推理的严谨性和表述的特殊性等，决定了正处于思维上升阶段的中学生不可能一次性掌握数学学习的本质，必然要经过多次反复思考、继续反思，才可能洞察数学学习的本质特征那么对于教师而言，在教学中、解题中，要合理引导学生对问题进行反思、思辨，其数学学习的能力得到培养和提高必然经过这样一个不断反复、螺旋上升的过程，进而提高学生的综合能力总之，通过教学有效性的探究，旨在引导后进生数学学习的方向，对进一步养成自主学习、对问题进行多角度解读的学习习惯、数学知识的熟练掌握打下扎实的基础，有利于激发后进生对数学的浓厚兴趣，使他们感受到数学知识是自己亲自发现的、数学问题是亲自解决的，懂得数学学习必须注重数学的基本知识和概念、注重解题中的图形化策略、特殊化策略等，只有做到学习为了用，才真正能感受到数学学习的无穷乐趣笔者认为，本文对后进生教学的探索还是很粗糙的，与真正意义上的探究有一定的差距，值得下一阶段教师继续去研究和深化参考文献：1 章飞问题解决方法多样性的一些思考与认识 J 中国数学教育(初中版)，2 0 0 5(1)2 张优幼感受理念，关注个体 J 中小学教材教学，2 0 0 4(1)3 章建跃发挥数学的内在力量。为学生谋取长期利益 J 数学通报，2 0 1 3(2)圈圈初中版中7 擞7 一万方数据例点评2 0 1 4 年3 月笔，听小杭说他的理解小杭：我没有计算，我用的是小学中学过的一个公式，曰肋韵面积等于正方形AB C D 面积的一半直接写L2出答案!Z师：不错!小学里的公式是怎么来的?小杭：是老师直接告诉我们的，让我们解题时可以直接用!师：噢，那你有没有思考过这个公式可以推理或证明呢?小杭：没有师：那让我们一起来证明吧，看看小学里老师说的一个公式如今到了八年级怎样推理证明接着经过师生的分析，得出G证明过程，如下所示如图2，连接AC F，由正方形的性质，可知 D B C=彤E=4 5。，则B D C F 则B 肋与B c D 的B D 边上的高相廿量B1I 型Z等则s 脚庐J s 坳=6 jZ也有学生提及可根据关系式S 跚=S 肋+S 梯形一S 脏来求得S 肿的大小，也能获得证明师：同学们，小学数学中有很多性质往往是直观的，我们虽然一直在用，却没有深入思考理由，刚才小杭同学记得的这个公式在小学时难以解释理由，但如今我们八年级了，有了数式运算的经验，有了平行线间距离处处相等的性质，就可以推理证明了事实上，这也是初中数学与小学数学的一个重要不同，即初中数学往往要说理、追问理由、给出证明教学后记1：小杭同学在课后的反思日记中对这节课有如下的感悟：“今天的课堂上，我觉得那幅图好熟悉，仔细一想，我小学的时候就做过，于是立即用小学时学过的公式给出了答案，很多同学都跟着我说出了这个公式可是我从没有思考过还要证明它，我只是靠死记记下来的后来经过证明，我发现小学数学和初中的确实有不同，虽然小学时也用到初中的知识，但到了初中需要补上证明这一环节”教学后记2：周末放假后，小杭同学给我发来Q Q 消息“老师，我问过小学时的数学老师储老师了，储老师说小学讲那个公式时也说过理由，是我忘了，只记住了结论”我告诉他“很好!小学老师淡化了证明的要求，处理得很机智，中小学数学在不同学段、年级，有些知识的学习需要有所侧重、有的放矢，这也是混而不错现象，比如七年级我们学习的负负得正的约定，深追下去一时也能自圆其说”再后来，小杭同学在我的建议下，完成了一篇数学写作“混而不错”现象由一道习题说起一十。7 擞-?初中版二、同类教学案例分享苏步青先生有一句名言“中小学教材可以混而不错”1 “不错”是大前提，关注的是大方向、本质“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真在上面的“案例l”及“教学后记”的师生对话中，笔者想说的正是这种“混而不错”现象事实上，这样的教学案例在初中阶段还有很多，为了抛砖引玉，一时想到几个，举例如下案例2 在一次数学作业中，笔者曾设计下题已知半径为r。的圆的面积是半径为r：和r，的两个圆的面积之和，求r 的值(1)当乍2，r 3=3 时，求抽g 值；(2)当r l=5，乍4 时，求r 3 的值；(3)当r l-1 3，r 3=1 2 时，求r 2 的值；(4)练习上面几题后，你发现了什么规律?能解释其中的道理吗?教学后记：不少学生在回答第四问时，都提及“勾股定理”、“勾股数组”等，笔者都给予了正确的评价功、公室有同事却据理力争“回答勾股定理是正确的，但是回答勾股数组恐怕有问题，因为勾股数组一定是正整数组”笔者却表达了不同的观点：“就这道题目而言，是想训练二次根式的化简，学生在练习之后联想到勾股定理、勾股数组，值得鼓励，不必囿于所谓严谨的勾股数组的约定就让他们混而不错吧订正时可以指出来，或者让学生在勾股数组上加个引号”案例3 下面是笔者最近开设的一次函数教研课的情境引入片断r 1L 趔竺!：竺!：2 正比帅丘比舅的空霭啊阙麟E姗一=：=_ 墨 t t-歌兰：?畔呻“l：瘦!兰：!竺：!：-t t 毋t 知t 矗一-置-的-矗托 1 1 I I昼蒜m 墨问题2：你能结台情境l 读懂。并写出下面“常量”和”变量”的定义吗?在一个变化过程中我们称数值发生变化的量为变量有些量的数值是始终不变的我们称它们为常量一一一一一一一一|一一一一一一一h似一一应的度和度一题所n眦墒渡嘀嫩_|堡一磴淼瓣躲黼的境有定邵一能比一一一一一一一一一一澈万方数据2 0 1 4 年3 月案例点教学后记：初中阶段引入正比例函数有多种方式，笔者从小学教材中寻找到正比例关系的情境，并加以开发利用，预设了上述的情境引入，一方面是加强中小学数学的衔接教学，另一方面也是让学生感受到日常生活中的一些现象可以用新的观点、概念或工具加以研究，就上述体积与高度的变化关系来说，小学阶段通过实验现象的观察只是在整数范围内发现并定义了正比例关系，而初中阶段引入变量与函数后，可以对问题的认识更进一步，但又与以前在小学阶段的学习内容兼容不悖三、相关反思1 唤起学生已有的数学活动经验美国教育心理学家戴维奥苏贝尔曾说：“影响学习的最重要的因素是学生已经知道了什么，要根据学生的原有知识状况进行教学”由上面的案例1 3 可以发现，学生的头脑并不是一张白纸，他们此前的数学学习中已积累一些数学活动经验、解题心得、模式图形等，在遇到新问题、新概念时，启发、引导学生联系、联想到已有经验，是很关键的这既是对话教学的需要，也能促进学生对旧情境、新问题的深刻理解特别是基于“学生已经知道了什么”而预设好的问题才能有效唤起学生已有的数学活动经验这里可提及美国学者巴拉布与达菲对预设“好的问题”的建议：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导，这是参与性的，不是指示性的；其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题”：也就是说能够提出恰当的问题正是唤起数学活动经验的有效保证2 引导学生回顾旧知并学会追问通过预设“好的问题”，引起学生对此前数学学习经验的回顾之后，教师需要把握时机展开追问像案例1中，通过追问小杭同学的理解，出现了只知用公式而忘了公式的理由的现象，也就自然地展开了继续证明的教学进程还有，如在案例1“教学后记2”中，学生跟小学老师交流后提及“小学讲那个公式时也说过理由，是我忘了，只记住了结论”，即使学生记得小学时证明的理由，就小学“说点理”的要求，也不会如初中阶段这样“从头说起”，即像案例1 中的证明需要用到“平行线间距离处处相等”，而这个性质在小学时也只能是“混而不错”的“直观约定”，直接加以利用，而“平行线间距离处处相等”，教学中往往安排在平行四边形的性质之后加以证明这样一路上追，自然能帮助学生在回顾旧知的情况下，生成新知，感受到在不同学段所学数学知识的“混而不错”现象此外，关于有效追问的前提还可提及日本著名教育学者佐滕学的观点：“教师的关键不在于说而在于听我也认识到当今世界很多优秀的教师，大家都认为教师的工作重心是倾听对学生来讲同样如此，只有更好的倾听，才能达到更好的学习效果我们需要明确的是互相学习和互相说是完全不同的两件事”3】可见，课堂教学中的互相倾听更需要教师的耐心，联想到一些初任教师由于片面追求课堂的高效或者教条执行某种教学模式，对学生的发言缺乏耐心的倾听，当学生说错、表达不规范时，往往迫不急待地打断，由自己帮助修正、优化，这样看似高效了，但学生学习的实效何在呢?3 思辨“混而不错”就是追求“深刻理解”上面三个案例中，情境在小学阶段都能找到，但是初中阶段仍然对其进行研究，在这种情况下，在解题反思或点评阶段引导学生对“混而不错”的思辨是有积极意义的事实上，对“混而不错”的思辨就是追求问题的“深刻理解”，也就是指旅美独立学者马立平博士在名著小学数学的掌握与教学中指出的“深刻理解”，她认为“数学知识的深刻理解(P U F M)”4 是“能够从深度、广度和完整度方面深刻理解”，并进一步指出深刻理解的教与学常常有四种特性，即“关联度、多角度、基本思想、纵向融会贯通”如在案例2 中，学生在变式练习三个圆的面积的关系后，联系到此前学过的勾股定理、勾股数组，就是追求了数学知识的关联度、多角度、纵向融会贯通而在案例3 中，学生通过对小学正比例关系的情境问题的再认识，达到了对正比例关系、正比例函数的深刻理解四、结束语佐滕学在文3 中还指出“学校的责任与使命在于不让一名学生掉队，保障每个学生的学习权利，保障每个学生都得到高质量的教学除此之外还有个重要的使命：不让一名老师掉队，促进每一位老师作为教育专家不断成长”可以发现，数学教学中跟学生一起思辨“混而不错”现象，就是追求教学相长，达到师生对数学问题、数学概念的“深刻理解”参考文献：1 张奠宙大众化和“简单化”J 数学教学，2 0 1 2(5)2 乔纳森，等，主编学习环境的理论基础 M 上海：华东师范大学出版社。2 0 0 Z3 日 佐滕学2 1 世纪学校改革的方向 J 人民教育，2 0 1 4(1)4 马立平，著小学数学的掌握和教学 M 李士锖，吴颖康，等，译上海：华东师范大学出版社，2 0 1 1 函初中版中。?般吁l万方数据