高二参数方程.doc

年 级高二学科数学内容标题参数方程编稿老师胡居化一、教学目标1. 理解参数方程的含义，掌握直线的参数方程、圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程及其简单的应用.2. 体会等价转化的数学思想、数形结合的数学思想、方程的数学思想的应用.二、知识要点分析1. 参数方程的定义：在取定的坐标系中，若曲线上任意一点的坐标（x，y）都是某个变量t的函数，即（1）并且对于t的每一个允许取值，方程（1）确定的点M（x，y）都在这条曲线上，则方程组（1）叫做曲线的参数方程，联系x，y之间的变数叫参变数.相对于参数方程而言，直接给出的曲线上点的坐标关系的方程叫曲线的普通方程.注：在曲线的参数方程中，要注明参数的取值范围，这个范围确定了曲线的存在范围.2. 参数方程与普通方程的互化（1）由参数方程化为普通方程消参数.常用的方法：代入法、加减（乘除）消元法、三角代换法等.消参时注意参数的取值范围.（2）由普通方程化为参数方程选参数，选参数这一方法的多样性会导致参数方程不唯一.3. 几种常见的曲线参数方程（1）直线的参数方程的几种形式（i）两点式：已知点是直线AB上的两点（B点除外），则直线AB的参数方程是，的几何意义是：点（x，y）分所成的比.（ii）点斜式：参数方程为，其中是直线上一定点.表示直线的斜率.当a，b表示点M（x，y）在x轴方向与y轴方向上的分速度时，at、bt分别表示点M（x，y）在x轴方向、y轴方向上相对于（x0，y0）的分位移，t表示的物理意义是时间.（iii）标准式：过定点P0（，倾斜角为的直线的参数方程为：，（t为参数）t的几何意义：t是直线上的定点P0（到动点P（x，y）的有向线段的数量，即t|t| 表示定点P0（与动点P（x，y）之间的距离，即|=|t|当动点P（x，y）在定点P0（的上方时，t>0当动点P（x，y）在定点P0（的下方时，t<0（2）圆的参数方程：对于圆的参数方程是为参数）（3）圆锥曲线的参数方程：（i）椭圆的参数方程为：为参数）（ii）双曲线，（a>0，b>0）的参数方程为：为参数）（iii）抛物线的参数方程是：，（t为参数）【典型例题】知识点一：参数方程与普通方程的互化例1：已知曲线的参数方程是，则曲线的普通方程是（ ）A. B. C. D. 【题意分析】本题考查参数方程化为普通方程的方法.【思路分析】把x=两边平方消去参数，但要注意x的取值范围.【解题过程】，将（1）两边平方得：再把（2）代入得：.由，故曲线的普通方程是，选（C）.【解题后的思考】把参数方程化为普通方程的过程中，要注意选择合理的消参方法.同时要注意因参数的取值范围而导致的变量x或y的取值范围.本题易错点：忽视x的取值范围，误选（D）.例2：已知直线L1的参数方程是：，求直线L1与直线L2： x+y+1=0的交点P的坐标，及点P与A（1，2）的距离.【题意分析】本题考查利用将直线的参数方程化为普通方程解决问题的方法.【思路分析】把直线L1的参数方程：化为普通方程，然后解方程组求交点P的坐标.【解题过程】，由（1）得：t=22x代入（2）得：由解得：P（，另解：可把代入直线L2的方程解得：.然后再求x，y从而得到点P的坐标.【解题后的思考】对于含有参数的方程的问题可首先把参数方程化为普通方程，再解决有关问题.例3：对于曲线参数方程（1）若为常数（，t为参数，说明曲线的形状；（2）若为参数，t为常数，说明方程表示什么曲线？【题意分析】本题考查参数方程化为普通方程的方法，根据普通方程判断曲线的形状.【思路分析】第一步把曲线的参数方程化为普通方程.第二步判断方程表示的曲线.当为参数时，要注意的取值范围，【解题过程】（1）当t为参数时，消去参数t由得：由得：由，（知：表示双曲线的右支.（2）当t为常数，为参数时：（i）当t=0时，曲线的普通方程是：y=0，x=，即表示的曲线是的线段.（ii）若t不等于零时，消去参数由得：，恒成立.故曲线表示椭圆.【解题后的思考】对于给出曲线的参数方程要求判断曲线形状的题目，可把参数方程化为普通方程.要注意参数的取值范围.本题的易错点是第二问中忽视对t的讨论.【小结】在参数方程与普通方程互化的知识点中，主要是掌握参普互化的方法.要根据参数方程的形式采用合理的消参方法.知识点二：参数方程的简单应用例4：已知圆上任意一点P（x，y），都使恒成立，则m的取值范围是【题意分析】本题考查圆的参数方程的应用.【思路分析】圆的参数方程是，则P（，根据恒成立得到：对任意的都成立.从而确定m的取值范围.【解题过程】圆的参数方程是，故P（.对任意的都成立故.【解题后的思考】利用圆的参数方程解决问题，关键是要能求出圆的参数方程.例5：已知点M是椭圆上的动点，点M与短轴端点的连线分别与x轴交于P，Q两点.求的值.【题意分析】本题考查椭圆的参数方程的应用【思路分析】椭圆的参数方程是则，分别写出点M与两短轴连线的直线方程，然后求两直线MA，MB在x轴上的截距即可.【解题过程】设椭圆上的动点M（，A（0，b）B（0，b），MA的直线方程是：，则Q（，即，MB的直线方程是：，则P（，即，.【解题后的思考】本题利用了椭圆的参数方程表示M点的坐标，为解题带来了很大的方便.例6：设M，N是抛物线y2=2px（p>0）的对称轴上的两点，且它们关于顶点O对称，过M，N作两条平行线， 分别交抛物线于P1，P2，Q1，Q2，求证：|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2|.【题意分析】本题考查直线的参数方程的应用.【思路分析】可设M（a，0）， N（a， 0）（a>0），分别写出两条平行直线的参数方程，根据参数的几何意义证明.【解题过程】由已知可设M（a，0），N（a，0）（a>0），则直线MP1，NQ1的参数方程为：（1），其中t是参数，是倾斜角. 把（1）代入，由|t|的几何意义知：同理可得：|NQ1|·|NQ2|=，|MP1|·|MP2|=|NQ1|·|NQ2| 【解题后的思考】本题中应用了直线的标准参数方程中t的几何意义，即|t1|，|t2|为相应点到定点M的距离，据此证明了关于线段的等式问题. 有关直线与圆锥曲线相交的弦长问题常采用直线的参数方程，这时要理解t的几何意义.【小结】在应用曲线的参数方程这一知识点中，利用参数方程解决问题很简便，要充分理解消去参数、应用参数的意义，特别是直线与圆的参数方程的应用是考试的重点.【本讲涉及的数学思想、方法】本讲主要讲述参数方程的概念及其应用，在参数方程化为普通方程的过程中充分体现了代入法、加减消元法、三角代换法等数学方法的应用.在参数的应用过程中，体现了方程的数学思想、转化的数学思想的应用.【模拟试题】（答题时间：60分钟 满分60分）一、选择题（每题5分，满分20分）1. 直线的参数方程（t为参数）的倾斜角等于（ ）A. 30°B. 60°C. 45°D. 135°2. 下列可以作为直线2xy10的参数方程的是 （ ）A. （t为参数）B. （t为参数）C. （t为参数）D. （t为参数）3. 由方程x2y24tx2ty5t240（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（ ）A. 一个定点B. 一个椭圆C. 一条抛物线D. 一条直线4. 已知某条曲线的参数方程为（其中a0），则该曲线是 （ ）A. 线段B. 圆C. 双曲线的一部分D. 圆的一部分二、填空题（每题5分，共15分）5. 曲线经过点（，a），则a_.6. 一个圆的参数方程为（为参数），一条直线的方程为3x4y90，那么这条直线与圆的位置关系是_.7. 若x2y24，则xy的最大值是_.三、计算题（本题共2小题，共25分）8. 已知某条曲线C的参数方程为（其中t是参数，aR），点M（5，4）在该曲线上.（1）求常数a；（2）求曲线C的普通方程.（10分）9. 已知直线经过点P（1，3），倾斜角为，（1）求直线与直线：的交点Q与点P的距离|PQ|；（2）求直线和圆16的两个交点A，B与点P的距离之积.（15分）【试题答案】一、选择题 1. D 解析：由已知：.2. C 解析：消去参数t后得：2xy10.3. D 解析：设圆心C（，则，消去t得：.4. C 解析：，曲线的普通方程是.二、填空题 5. 解析：消去得：，故.6. 相交 解析：圆的普通方程是，圆心（0，0）到直线3x4y9=0的距离d<2故相交.7. 解析：圆x2y24的参数方程是故.三、计算题 8. 解：（1）由题意有故所以a1. （2）由（1）可得，曲线C的参数方程为由第一个方程得，代入第二个方程得（x1）24y即为曲线C的普通方程.9. 解：（1）直线经过点P（1，3），倾斜角为，直线的标准参数方程为，即（t为参数）代入直线： 得，整理，解得t=4+2t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几何意义可知：|t|=| PQ|，| PQ|=4+2.（2）把直线的标准参数方程（t为参数）代入圆的普通方程16，得，整理得：t28t+12=0，=824×12>0，设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆16的两个交点A，B所对应的参数值，则|t1|=|PA|，|t2|=|PB|，所以| PA|·| PB|=|t1t2|=12.第9页 版权所有 不得复制