2019八年级数学上册 专题突破讲练 如何选择参赛选手试题 （新版）青岛版.doc

1如何选择参赛选手如何选择参赛选手一、方差、标准差的有关概念一、方差、标准差的有关概念1. 方差：设在一组数据中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是nxxx,21，那么我们求它们的平均数，即为 2222 121()()() nSxxxxxxn注意：注意：方差反映的是这组数据的波动大小，方差越大，数据波动越大，反之，越稳定。如：在方差的计算公式 s =（x 20） +（x 20） +（x20） 中，数字2 10112 22 10210 和 20 分别表示的意义是_。解析：10 是对应公式中数据的个数，20 是对应公式中的平均数。2. 标准差：方差的算术平方根，我们把它称为这组数据的标准差，即222 121()()() nSxxxxxxn注意：注意：标准差反映的这组数据的波动情况，标准差越大，数据波动越大，反之，越稳定。方法归纳：方法归纳：方差、标准差的理解应注意以下几点：方差标准差反映情况数据的波动情况数据的波动情况单位与原数据的吻合情况不一样一样二、方差、标准差的的求法二、方差、标准差的的求法1. 方差的求法：计算方差的步骤为：“先平均，后求差，平方后，再平均” 。如：数据 100，99，99，100，102，100 的方差=_。2S解：“先平均” 100100102100999910061）（x“后求差” （100100） ， （99100） ， （99100） ， （100100） ， （102100） ， （100100） “平方后”，2100100）（210099）（210099）（2100100）（2100102）（2100100）（“再平均”1)100100()100102()100100()10099()10099(100100612222222）（S故填 1。22. 标准差的求法：对方差进行开方运算，取其算术平方根。如：若一组数据的方差为 9，则标准差为 。解：9 的算术平方根为 3，即这组数据的标准差为 3故填 3。例题例题 1 1 在一组数据 x1，x2，xn中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，即x叫做这组数据的“平均差”。“平均差”也能描述一组数据的）（xxxxxxnTn 211离散程度。“平均差”越大说明数据的离散程度越大。因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度。极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量。一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞 10 条鱼称得重量如下：（单位：千克）甲鱼塘：3，5，5，5，7，7，5，5，5，3乙鱼塘：4，4，5，6，6，5，6，6，4，4请分别计算出甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差；完成下面的表格：极差方差平均差甲鱼塘乙鱼塘解解析析：根据极差的公式：极差=最大值最小值，找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各变量值与其平均值的差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算。答答案案：解：甲组数据中最大的值 7，最小值 3，故极差=73=4，510276523）（甲x，6 . 110535553222 2 ）（）（）（ 甲S组数据；）（）（甲甲甲甲8 . 05355531011 21 xxxxxxnTn中最大的值 6，最小值 4，故极差=64=2；，510462544）（乙x3；）（）（乙乙乙乙8 . 0545454101121 xxxxxxnTnS2乙=（45）2+（45）2+（55）2+（65）2+（65）2+（55）2+（65）2+（65）2+（45）2+（45）2÷10=0.8，极差方差平均差甲鱼塘41.60.8乙鱼塘20.80.8点拨：点拨：此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。例题例题 2 2 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业） 。甲、乙两人射箭成绩统计表：第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲成绩94746乙成绩757a 7（1）a= ，= ；乙x（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；（3）观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙” ） 。参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断。请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中。解解析析：（1）根据他们的总成绩相同，得出 a=307757=4 环，进而得出。=30÷5=6乙x4环；（2）根据（1）中所求得出 a 的值进而得出折线图即可；（3）观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中。答答案案：解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30 环，则 a=307757=4 环，=30÷5=6 环，故答案为：4 环，6 环；乙x（2）如图所示：（3）观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；因为乙的成绩为：7，5，7，4，7，=6 环乙x所以×（76）2+（56）2+（76）2+（46）2+（76）2=1.6 环2512乙S由于，所以上述判断正确。22 甲乙SS因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲的成绩稳定，22 乙甲SS所以乙将被选中。点拨：点拨：方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出 a 的值进而利用方差的意义比较稳定性即可。在实际生活中的应用在实际生活中的应用学习方差，我们知道方差是反映一组数据波动大小的特征数，当一组数据的方差较小时，说明这组数据较稳定。但在实际问题中，我们要根据具体问题具体分析，并不一定选择方差小的。例题例题 甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：5选手组数12345678910甲98908798999192969896乙85918997969798969898（1）根据上表数据，完成下列分析表：平均数众数中位数方差极差甲94.59616.6512乙94.518.65（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？解析：解析：（1）分别根据众数、中位数和极差的概念填充表格即可；（2）根据方差即可确定选择哪位选手参加比赛。答答案案：解：（1）根据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示：平均数众数中位数方差极差甲94.5989616.6512乙94.59896.518.6513（2），22 乙甲SS甲的成绩比较稳定，选择甲选手参加比赛。点拨：点拨：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，所以选择方差较小的，也就是发挥越稳定的选手参赛。（答题时间：（答题时间：4545 分钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 为了解某射击运动员的射击成绩，从一次训练中随机抽取了该运动员的 10 次射击成绩，纪录如下；8，9，8，8，10，9，10，8，9，10。这组数据的极差是（ ）A. 9 B. 8.9 C. 8 D. 2*2. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了 1000 米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶 10 次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是 99.68 环，甲的方差是 0.28，乙的方差是 0.21，则下列说法中，正确的是（ ）A. 甲的成绩比乙的成绩稳定B. 乙的成绩比甲的成绩稳定C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同D. 无法确定谁的成绩更稳定6*3. 某班期末英语考试的平均成绩为 75 分，方差为 225，如果每名学生都多考 5 分，下列说法正确的是（ ）A. 平均分不变，方差不变 B. 平均分变大，方差不变C. 平均分不变，方差变大 D. 平均分变大，方差变大*4. 已知 20 个数据的平均数为 6，且这 20 个数据的平方和为 800，则这组数据的方差等于。（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题二、填空题5. 数据2，1，0，3，5 的方差是_。*6. 已知一组数据 5，8，10，x，9 的众数是 8，那么这组数据的方差是_。*7. 甲、乙两名射击手的 50 次测试的平均成绩都是 8 环，方差分别是S甲20.4，S乙21.2，则成绩比较稳定的是 _（填“甲”或“乙”）*8. 一组数据 1，3，2，5，x 的平均数是 3，则这组数据的标准差是_。三、解答题三、解答题9. 已知 A 组数据如下：0，1，2，1，0，1，3（1）求 A 组数据的平均数；（2）从 A 组数据中选取 5 个数据，记这 5 个数据为 B 组数据，要求 B 组数据满足两个条件：它的平均数与 A 组数据的平均数相等；它的方差比 A 组数据的方差大。你选取的 B 组数据是 _，请说明理由。10. 甲，乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；（1）将下表填完整：身高176177178179180甲队（人数） 340乙队（人数） 211（2）甲队队员身高的平均数为 _厘米，乙队队员身高的平均数为 _厘米；（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由。7*11. 博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动。这两位同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）第一次第二次第三次第四次甲75708590乙85827578（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分。（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为 S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？请说明理由*12. 小华和小明参加某体育项目训练，近期的 8 次测试成绩（分）如下（1）小华和小明近期的 8 次测试成绩，谁比较稳定？（2）历届比赛表明，成绩达到 13 分就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 14 分就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？*13. 小明同学参加某体育项目训练，将近期的十次测试成绩得分情况绘制成如图的扇形统计图，试求出十次成绩的平均数和方差81. D 解：这组数据的最大数是 10，最小数是 8，则这组数据的极差是 108=2；故选 D。2. B 解：甲的方差是 0.28，乙的方差是 0.21，S甲2S乙2，乙的成绩比甲的成绩稳定；故选 B。3. B 解：平均成绩为 75 分，每名学生都多考 5 分，平均分增加 5 分，平均分变大，方差不变；故选 B。4. D 解：，1202021 xxx802 202 22 1 xxx2 022 22 12)6()6()6(201 xxxS=720)(12)(20120212 202 22 1 xxxxxx=72012012800201=4故选：D。5. 解析：这组数据2，1，0，3，5 的平均数是（21+0+3+5）÷5=1，534则这组数据的方差是：，534) 15() 13() 10() 11() 12(512 2222故答案为：。5346. 2.8 解析：一组数据 5，8，10，x，9 的众数是 8，x 是 8，这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）÷5=8，这组数据的方差是： 8 . 2)89()88()810()88()85(5122222故答案为：2.8。7. 甲 解析：S甲20.4，S乙21.2，9S甲2S乙2，成绩比较稳定的是甲；故答案为：甲。8. 解析：由题意知：x=15（1+3+2+5）=42方差2)34()35()32()33()31 (51222222S故五个数据的标准差是22SS故填。29. 解：（2）所选数据为1，2，3，1，1；理由：其和为 0，则平均数为 0，各数相对平均数 0 的波动比第一组大，故方差大。故答案为：1，2，3，1，1。 （答案不唯一）10. 解：（1）身高176177178179180甲队（人数） 03430乙队（人数） 21412（2）17801803179417831770176101）（甲x。17818021791178417711762101）（乙x（3）甲仪仗队更为整齐。理由如下：；6 . 01781793178178417817731012222）（）（）（甲S8 . 1)178180(217817917817841781771781762101222222）（）（）（）（乙S；因为甲，乙两支仪仗队队员身高数据的方差分别为 0.6 和 1.8，因此，可以认为甲仪仗队更为整齐。（也可以根据甲，乙两队队员身高数据的极差分别为 2 厘米，4 厘米判断） 。1011. 解：（1），（2）乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差。12. 解：（1）小明和小华 8 次成绩的平均数分别为：×（10+10+11+10+16+14+16+17）=13，81x×（11+13+13+12+14+13+15+13）=13，81x小明和小华 8 次成绩的方差分别为：，25. 8)1317()1310()1310(812222S；25. 1)1313()1313()1311(81'2222SS2S2，小明近期的 8 次测试成绩，比较稳定；（2）成绩达到 13 分的小华有 4 次，小明有 6 次，为了夺冠应选小明参加这项比赛；成绩达到 14 分的小华有 4 次，小明有 2 次，为了打破记录应选小华参加这项比赛。13. 解：由扇形统计图，可得这十次测试成绩得 13 分的有 3 次，得 14 分的有 4 次，得 15 分的有 3 次；则这十次测试成绩的平均数=（13×3+14×4+15×3）÷10=14（分） ，方差为3×（1413）2+3×（1514）2+4×（1414）2÷10=0.6。