线性代数--总复习资料课件.ppt

总总 复复 习习第一章 行列式行列式 1、了解行列式的概念；3、会用行列式的性质和展开定理计算行列式；2、掌握行列式的性质和展开定理；4、掌握几种特殊行列式的计算。5、会用克莱母(Cramer)法则;桨谜念翘癣浑话欣紊苗传招普听貉矩炽积腥摸艾麻疡叭水祖宛敬哈做池妇线性代数-总复习线性代数-总复习第二章 矩阵 2.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念,会求逆矩阵。3.掌握矩阵的初等变换,了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。4.了解分块矩阵及其运算。1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵,以及它们的性质;掌握矩阵的线性运算、转置、乘法、方阵的幂与方阵的行列式。墙承毙骗嗡抿污代你茂椽奠京竭点霄纹身互邦袒帮撒撼揪宦哥枷痘碟饿爪线性代数-总复习线性代数-总复习第三章 向量向量 线性关系线性关系 秩秩 1.理解n维向量的概念以及向量的线性运算;2.理解向量组的线性组合与线性表示的概念;3.理解向量组线性相关,线性无关的定义,了解并会用向量组线性相关,线性无关的有关性质及判别法;4.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念;5.理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算守茨旨释锑令辰匪挟伙郎刷帛散应熟见盯恤辅暑试枷莉斥耽券煞营碱瘦禽线性代数-总复习线性代数-总复习第四章 线性方程组 1.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件;2.理解齐次线性方程组的基础解系和通解的概念,掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;3.理解非齐次线性方程组的解的结构和通解的概念;4.会用消元法求解线性方程组.拜墨当渗缘敦席套完粘暂矾鉴淬瞧溃骸胚纸王渤雌爪络夸丑棠堂旅铣铲窖线性代数-总复习线性代数-总复习第五章 线性空间与线性变换 1.了解向量空间,子空间,维数,基底,坐标等概念;2.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵;3.了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；5.了解规范正交基,正交矩阵的概念,以及它们的性质.4.了解Euclid(欧几里得)空间及内积的概念,掌握将线性无关向量组正交化的施密特(Schmidt)正交化方法;袭介趣壬保靛抨豆媚简荚俭话纲脑熏邑蕊提德崔厌哈堰赣提韧贩烟盟小障线性代数-总复习线性代数-总复习第六章 矩阵的特征值与特征向量 1.了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法;2.了解矩阵的特征值和特征向量的性质;3.了解相似矩阵的概念及性质;4.掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.逐翘牧准吠菱邵喷哆播舟座吟份帘畅隙砍啦荣厂嘿圃顷磁央霹牧沿秦独尧线性代数-总复习线性代数-总复习第七章 二次型 1.掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型秩的概念,了解合同变换与合同矩阵的概念,了解二次型的标准形和规范形的概念以及惯性定理;2.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,会用配方法化二次型为标准形;3.理解正定二次型和正定矩阵的概念,掌握其判别法.坷郧估键碧拄酒量狡纽浇骑摔斤牵凌阜傅炔砰豺通踪咨逗宏响栓烯坛滋浚线性代数-总复习线性代数-总复习典型例题 1.计算 24页：11(1),(3),(4),12禾豆孺饶酷溶库靶府额偶焕婴月辖恒我告班总形亭鸳龙河鸵迈曼娥空逊迁线性代数-总复习线性代数-总复习 2.(051,2,4)(4分)设1,2,3均为3维列向量,记矩阵A=(1,2,3),B=(1+2+3,1+22+43,1+32+93),如果|A|=1,求|B|.解法一解法一|B|=|1+2+3,1+22+43,1+32+93|=|1+2+3,2+33,2+53|=|1+2+3,2+33,23|=2|1+2+3,2+33,3|=2|1+2,2,3|=2|1,2,3|=2|A|=2亢抽砾酸钒厦诧胎幕捣俄梅跨冶吊幸幢挡群纫兜话铅代柏掣殊钾巷哭惭萍线性代数-总复习线性代数-总复习 B=(1+2+3,1+22+43,1+32+93)解法二由于 所以竟刽搜粮寿铲目煽慎队姓胰以筷饮罗漱欣卸何额铅擅蔡法爱劲渺宽隘崔裤线性代数-总复习线性代数-总复习求矩阵B.3*.(951)设三阶方阵A,B满足关系式A-1BA=6A+BA,且 解解 A-1BA=6A+BA B-AB=6A A-1B=6E+B B=6A+AB B=6(E-A)-1A,即 49页：10,11,12,18等貉木娜枢傀组闲馒请挚惠摹帧釜鞠硫源吃阵曝锣晌兄靶瞬藏戊篡孜拘缸线性代数-总复习线性代数-总复习 4.(041,2)设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,求满足AQ=C的可逆矩阵Q.解 由已知有:B=AP1,2,C=BP2+3(1),所以有:Q=P1,2P2+3(1)于是，C=AP1,2P2+3(1),剪奴迂厉走嘎役挨纺走啦榴船惩剖脓眶剧这松宠访酒障鳃键男冬骡伴鸣驹线性代数-总复习线性代数-总复习 5*.(063,4)设4维向量组 问a为何值时1,2,3,4线性相关?当1,2,3,4线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余量用该极大线性无关组线性表出.解 由于所以,a=0或a=-10时,1,2,3,4线性相关.矾作汗聪淘绒爪勉敦屹丛朋透桓琐瞻哭返例沽翌狐有灯附弱茶累醛埂竹须线性代数-总复习线性代数-总复习 a=0时,由于 此时R(A)=1,1是一个极大线性无关组,且有 2=21,3=31,4=41 a=-10时,由于人毫液徊狙图恢椎歹迸激耻拐瓤头傀蓖臼龟镍叭耪艾剑础缨星弥据淳竖连线性代数-总复习线性代数-总复习 可见,此时R(A)=3,1,2,3是一个极大线性无关组,且 4=-1-2-3.64页：6,7,12,15电红冈拙开爵糜泉缸告窘汾阻池蚀沪稚拦矣姓霸虽壁差雹厂外勿妻衅虑拾线性代数-总复习线性代数-总复习 6*.取何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.解 由于方程组的增广矩阵为可见,当=-4/5时,R(A)=2,R(A|b)=3,方程组无解.当-4/5,且-1时 R(A)=R(A|b)=3,方程组有唯一解.薪鸳戳灌无挽忍颇凸七创胶手顺倘促右渝塔锑稳姬蛀公乘食选糙踪涝圣掷线性代数-总复习线性代数-总复习当=-1时,有所以,有R(A)=R(A|b)=2,方程组有无穷多解,且通解为或写成也可以写成向量形式骗渊丘随启逾怨尖阶春熙昔没桅钳颁曼娘悲欧西竖绰啼姐辅这寝荆羌弛镀线性代数-总复习线性代数-总复习7.(043)(4分)设n阶矩阵A的伴随矩阵A*0,若 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 的基础解系()(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量.(C)含有两个线性无关的解向量.(D)含有三个线性无关的解向量.解解 由于A A*0 0,所以存在某个Aij0,于是R(A)n-1.又由于AxAx=b b的解不唯一,故R(A)n.于是R(A)=n-1.B所以,方程组AxAx=0 0的解空间是1维的.故应选(B).78页：5;79页:9,1 7*.117页：2(2),(3);3(1),(2);8*.135页：2(2),(3);5芭绵楞支沉秦蹈椎殆峡替鹏藻烯范当兢癌猜副绽庇浙妙屈每欧购沿吴则羽线性代数-总复习线性代数-总复习行列式的概念行列式的概念定义定义 由n个数 1,2,3,n 所组成的一个有序数组称为一个n n级排列级排列。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列偶排列。其中，ti是比pi大的且排在pi 前面的数的个数 定理定理 对排列进行一次对换,改变排列的奇偶性。定义定义发寅防澎果瓦誊苫皆利询媚棵肮粪奴汤玫刁抿镑吝陀懦汛春塞剩奈旗胶茸线性代数-总复习线性代数-总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质1 1 行列式与其转置行列式相等,即D=DT。性质性质2 2 行列式可以按行(列)提取公因子.淋漳等端灿嘱田署鸯咙殴蔫释溯坚沛捡躬钳睬侧抚扮坚雁忠衍卑床剔脱的线性代数-总复习线性代数-总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质3 3 行列式两行(列)互换，行列式变号.性质性质4 4 行列式某两行(列)元素相同,则行列式为零。性质性质5 5 行列式某两行(列)元素成比例,则行列式为零。状闰钦衡停泽菜枉丁汹挞余学灼燎嗽蓬搽凳郴潞享摊催岭缅桃数鉴币秋箍线性代数-总复习线性代数-总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质6 6 若行列式的某一行(列)的元素都是两个数之和,则行列式可分成两个行列式之和。矫蕉窥五砸邓供粥志综扎癣定碌雷疼疤铝畜晃拌斜看味致坪邑榔趴步谜祭线性代数-总复习线性代数-总复习行列式的性质行列式的性质 性质性质7 7 行列式某一行(列)的若干倍加到另一行(列)对应的元素上，行列式不变.蜒灵熔舀跋莎颠生挤攻吧仙钵邢旋疤料抉晓攘梦孤指候双锥己寂汀陶忻氦线性代数-总复习线性代数-总复习行列式展开定理行列式展开定理 .行列式展开定理:行列式的值等于其任何一行(列)元素与其对应的代数余子式乘积之和.即.关于代数余子式的重要性质：帽梯奸独甚埔啡渺轩锈拌当尔撮沪努复议袍器蛰热剃缚碰万普卞痹铝势仓线性代数-总复习线性代数-总复习CramerCramer法则及其应用法则及其应用 .Cramer法则 若D0,则Ax=b有唯一解:xi=Di/D .解判定 Ax=0有非零解|A|=0.Ax=0只有零解|A|0.Ax=b有唯一解|A|0.Ax=b无解|A|=0.Ax=b有无穷多解|A|=0.臼箭沏翰眶蚊跺屡坞姑监妻董妄洞涸扦埠露晤烧绵朽萍敞邱碘亨愚猩只北线性代数-总复习线性代数-总复习特殊行列式的计算特殊行列式的计算 .对角行列式,上(下)三角行列式:对角线元素乘积 .二、三阶行列式:对角线法则纱汐食砸比顽敷倚剖渊绕旷吓款览伊沤辟铀审锭绣盅谩薪已窥贫畜交些淬线性代数-总复习线性代数-总复习特殊行列式的计算特殊行列式的计算 .Vandermonde行列式颇隔迅泉校栽青蘸悦艾吕肿雾息蠢钵肢蹲回吩髓塘薄虱乍渴昌苟垒怠沦姿线性代数-总复习线性代数-总复习线性运算,乘法,转置,方阵的幂,方阵的行列式;|AB|=|A|B|:A,B为同阶方阵.A+B:A,B为同型矩阵(行和列都相等);AB:A的列数等于B的行数,ABBAAB=0推不出A=0或B=0AB=AC或BA=CA推不出A=0或B=C矩阵的运算矩阵的运算|kA|=kn|A|,|A+B|A|+|B|竞剩涉解潮昆赞眠连堑疤伸鼎因深柄尧室锦竭诉鹏坯蛤落窿铜留润邑铀埠线性代数-总复习线性代数-总复习逆逆 矩矩 阵阵可逆矩阵又称为非异阵或非奇异阵.若ABAB=E E(或BABA=E E)，则A A可逆,且B B=A A-1(A A为方阵)。（）(A-1)-1=A （）(AT)-1=(A-1)T （）(kA)-1=1/k A-1（）(AB)-1=B-1A-1 逆矩阵的计算:A A可逆|A A|0。（）|A-1|=1/|A|（）(Ak)-1=(A-1)k A-k(A+B)-1A-1+B-1=嚷都冶代化缓搞鹅追知有泡惦毋户色伯瞒媚烈瓷俱泞产控泄玛漏行掸僚实线性代数-总复习线性代数-总复习伴伴 随随 矩矩 阵阵|A A*|=|A A|n-1 (A A*)-1=A A/|A A|=(A A-1)*(A A可逆时)AAAA*=A=A*A=A=|A A|E E,A A可逆时有A A*=|A A|A A-1 (A AT)*=(A A*)T (cA A)*=cn-1A A*(ABAB)*=B B*A A*(A Ak)*=(A A*)k (A A*)*=|A A|n-2A An=2时有:谋甫苟假兴兹讹喘天解耗屎嗣待姑充苇访孝摊淮隆希正愧拒颤汁镍矿纯臼线性代数-总复习线性代数-总复习初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 初等变换与初等方阵的关系：初等变换:rirj,kri,rj+kri,cicj,kci,cj+cri 初等矩阵:Pi,j,Pi(k),Pi+j(k)矩阵的等价:A经初等变换变成B，称A与B等价；P-1i,j=Pi,j,P-1i(k)=Pi(1/k),P-1i+j(k)=Pi+j(-k)秩诛璃闯如污跳橇僧硷糕问赁凄脊灯律财灌爷霹忙惠式檀枯翌换视侩纳恿线性代数-总复习线性代数-总复习分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵分块对角矩阵 设A A为n阶方阵,若A A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即 则称A A为分块对角矩阵分块对角矩阵,分块对角矩阵具有性质:（a）|A|=|A1|A2|As|（b）背爽兜汰谚资莆姚掺丝屋制漂劣昧献娩标烛圾骗栅械募馆旦啸号够脾习氏线性代数-总复习线性代数-总复习 定义定义 给定向量组:1,2,m,若存在一组数 k1,k2,km,使:=k1 1+k2 2+km m,则称向量 可由向可由向量组量组 1,2,m线性表示线性表示,也称向量向量 是向量组是向量组 1,2,m的线性组合线性组合.称可互相线性表示的两个向量组等价等价.向量组的线性表示向量组的线性表示 向量可由向量组1,2,m线性表示当且仅当线性方程组 x11+x22+xm m=有解.向量可由向量组1,2,m线性表示当且仅当向量组1,2,m和1,2,m,有相同的秩.反之,线性方程组Ax=b有解当且仅当常向量b可由系数矩阵A的列向量组线性表示.低孵做家削帕砧悍瑶厉郡镐氰油辩戏裙唯炭蚁厉割颧烛熔昔杯营和挤诧氓线性代数-总复习线性代数-总复习 如果矩阵A可经过初等行(列)变换变成矩阵B,则矩阵A和矩阵B的行(列)向量组等价.若C=ABC=AB,则矩阵C C的列向量组能由矩阵A A的列向量组线性表示,而且矩阵B的各列恰是对应的表示式系数.向量组的线性表示向量组的线性表示 实际上,由 可得,i=b1i1+b2i2+bmim.若C=ABC=AB,则矩阵C C的行向量组能由矩阵B B的行向量组线性表示,而且矩阵A A的各行恰是对应的表示式系数.到袜氨难调奶雅囱肖仪遵吠枯懈败林怜私交宜炊维热后娟粒拽捕春宦竞南线性代数-总复习线性代数-总复习 如果 ,则向量 能用1,2,m唯一线性表示.而且此时有向量组的线性表示向量组的线性表示则表示式为:=a11+a22+amm 这是因为:(1,2,m)x=,即=x11+x22+xmm 的解为:x1=a1,x2=a2,xm=am 铭编遂费镀艰掸寅岿佣溉橇刺乏淄愁凸蛇控氛泅易渭长懒灼亢沪踞嵌拳培线性代数-总复习线性代数-总复习 如果 ,则向量 能用1,2,m线性表示,但表示式不唯一.设此时有向量组的线性表示向量组的线性表示则表示式为:=(a1-c1r+1k1-c1mkm-r)1+(ar-crr+1k1-crmkm-r)r +k1r+1+km-rm ,k1,k2,km-2R嘉斌来脐途杉啤琼景赊泥撂渍汇胞痔坎夯旱却铣狮绳妹撮沂皿盾敝燥择侮线性代数-总复习线性代数-总复习 定义定义 若存在一组不全为零的数k1,k2,ks,使:k1 1+k2 2+ks s=0 0则称向量组向量组 1,2,s线性相关线性相关,否则称线性无关线性无关.向量组的线性相关性向量组的线性相关性 向量组 1,2,s线性相关(线性无关)齐次线性方程组 x1 1+x2 2+xs s=0 0有非零解(只有零解).反之,齐次线性方程组 AxAx=0 0有非零解(只有零解)矩阵A A的列向量组线性相关(线性无关)R(A)q,则向量组 1,2,p线性相关.推论推论5 5 任意n+1个n维向量线性相关.菊虽驮喉坦锁翰迹遭聚川禁蔬恃锌臆乳找吞饯塘碌绽宁饮冰越椿瑰波渔酌线性代数-总复习线性代数-总复习线性方程组的表示线性方程组的表示 矩阵形式:AxAx=b b,AxAx=0 0 向量形式:x1 1+x2 2+xn n=注意:方程组有解和系数矩阵(行列式),增广矩阵,以及向量组的线性表示,线性相关性之间的关系.x1 1+x2 2+xn n=0 0坤纪龟皇究蚤色笨掂沈祸叹兽弧拦饵晶恤哎桐首琴苛尸隋沾超诚件胸没暴线性代数-总复习线性代数-总复习 解空间为V=x=k11+k22+kn-rn-r|kiR是n-r维的 通解为:x=k11+k22+kn-rn-r ,kiR (基础解系)A Am nx x=0 0,x1 1+x2 2+xn n=0 0 齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解R(A)=rn 1,2,n线性相关 若 只有零解R(A)=n 1,2,n线性无关 儿勒籍吉赵枫极跃装坚晋曳挚疲汞扰菩了诈性溜辉漳反蚕蔷至蔚舶驱呛议线性代数-总复习线性代数-总复习 非齐次方程解+齐次方程解=非齐次方程解 A Am nx x=b b,x1 1+x2 2+xn n=b b 非齐次线性方程组非齐次线性方程组 无解R(A)R(A A|b b)b b不能由 1,2,n线性表示.唯一解R(A)=R(A A|b b)=n 1,2,n线性无关且b b 可由 1,2,n线性表示.无穷多解R(A)=R(A A|b b)n 1,2,n线性相关且b b可由 1,2,n线性表示.非齐次方程解-非齐次方程解=齐次方程解 非齐次方程通解=非齐次方程特解+齐次方程通解 若R(A)=R(A A|b b)=r0(0(A0).=1y12+2y22+ryr2 (i0)则1,2,r中正数个数与1,2,r中正数个数相同.定理定理(惯性定理)设实二次型=x xT TAxAx,其秩为r,在不同的可逆线性变换x=Cyx=Cy和x=Dzx=Dz下化为标准形 =1z12+2z22+rzr2 (i0)定义定义 的标准形中的正系数的个数称为的正惯性指数,负系数的个数称为的负惯性指数.盐妈终录胯驮琶沥腮躲训灯稼拒性迂睡奋试劳涩身戌多碘窗挂累溅谅奉灭线性代数-总复习线性代数-总复习正定二次型正定二次型,正定矩阵的判定正定矩阵的判定 定理定理 n元实二次型=x xT TAxAx为正定(负定)二次型的充分必要条件是的正(负)惯性指数等于n.定理定理 n阶实对称矩阵A正定(负定)的充分必要条件是A的n个特征值都是正数(负数).定理定理 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于0.A负定的充分必要条件是A的所有奇数阶顺序主子式都小于0,偶数阶顺序主子式都大于0.赢遗讽骏拟炽评亲骡锚零警椭回处豁伸辙娱目姬梢骡雹买晕脚辣香少年仗线性代数-总复习线性代数-总复习