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有限元分析理论基础山东交通学院汽车工程系车辆工程教研室材料力学与弹性力学材料力学与弹性力学 本课程中所指的是有限单元法在弹本课程中所指的是有限单元法在弹性力学问题中的应用。因此要用到弹性力性力学问题中的应用。因此要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。本章将简学的某些基本概念和基本方程。本章将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。限单元法的预备知识。预备知识预备知识弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。相当的构件。弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 3、研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。并确定它们的适用范围。材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学弹性力学弹性力学 区别与联系区别与联系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：料性质的假定：弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(1)物体是连续的，物体是连续的，亦即物体整个体积内部被组成这种物体亦即物体整个体积内部被组成这种物体的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如的介质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，如应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。应力、应变、位移等等才可以用座标的连续函数来表示。(2)物物体体是是完完全全弹弹性性的的，亦亦即即当当使使物物体体产产生生变变形形的的外外力力被被除除去去以以后后，物物体体能能够够完完全全恢恢复复原原形形，而而不不留留任任何何残残余余变变形形。这这样样，当当温温度度不不变变时时，物物体体在在任任一一瞬瞬时时的的形形状状完完全全决决定定于于它它在在这这一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。一瞬时所受的外力，与它过去的受力情况无关。(3)物物体体是是均均匀匀的的，也也就就是是说说整整个个物物体体是是由由同同一一种种材材料料组组成成的的。这这样样，整整个个物物体体的的所所有有各各部部分分才才具具有有相相同同的的物物理理性性质质，因因而物体的弹性常数而物体的弹性常数(弹性模量和波桑系数弹性模量和波桑系数)才不随位置座标而变才不随位置座标而变。弹性力学中关于材料性质的假定弹性力学中关于材料性质的假定(4)物物体体是是各各向向同同性性的的，也也就就是是说说物物体体内内每每一一点点各各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。(5)物物体体的的变变形形是是微微小小的的，亦亦即即当当物物体体受受力力以以后后，整整个个物物体体所所有有各各点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体的的原原有有尺尺寸寸，因因而而应应变变和和转转角角都都远远小小于于1，这这样样，在在考考虑虑物物体体变变形形以以后后的的平平衡衡状状态态时时，可可以以用用变变形形前前的的尺尺寸寸来来代代替替变变形形后后的的尺尺寸寸，而而不不致致有有显显著著的的误误差差；并并且且，在在考考虑虑物物体体的的变变形形时时，应应变变和和转转角角的的平平方方项项或或乘乘积积项项都都可可以以略略去去不不计计，这这就就使使得得弹弹性性力力学学中中的的微微分分方方程程都都成成为为线线性性方方程。程。2-1 外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法外力、应力、应变与位移在有限元法中的表示方法一、外力一、外力外力可以分为体积力、面积力和节点之中力*，分别用以下符号表示：1）体积力2）表面力3）节点集中力节点集中力是广义力，可以是力，也可以是力矩。1/20/20239爱学习,爱交院二、应力二、应力空间三维问题 平面问题三、应变三、应变空间三维问题 平面问题四、位移四、位移空间三维问题 平面问题一维问题 一维问题 一维问题 1/20/202310爱学习,爱交院2-2 弹性力学的基本方程弹性力学的基本方程一、平衡方程一、平衡方程在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的直于坐标轴，而棱边的长度分别为，PA=dx，PB=dy，PC=dz，如上图2-1所示。以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得：1/20/202311爱学习,爱交院1/20/202312爱学习,爱交院整理后得到：在上式中消掉得到利用和还可以得到另外两个方程，即：弹性体平衡微分方程该方程给出地是微元体的平衡条件，即平衡的微分条件。也就是说如果整个结构处于平衡状态，结构内部任意点（微元体）都必须满足的条件。1/20/202313爱学习,爱交院二、几何方程二、几何方程给出弹性体内部任意点处的应变与位移之间的微分关系。1 1、应变与位移的关系、应变与位移的关系以为例，弹性体内任意点的应变与位移的关系如图示：在结构取一微小线段，两个端点变形前的坐标分别为：、两个端点变形后的坐标分别为：、1/20/202314爱学习,爱交院在小变形情况下，变形后微小线段的长度可以近似表示为为：根据应变的定义可得：1/20/202315爱学习,爱交院同理可推导出其它5个应变分量。则弹性体内任意点的6个应变分量可以表示为：对于平面问题，应变-位移关系可以简化为：对于一维问题，应变-位移关系可以进一步简化为：1/20/202316爱学习,爱交院2 2、应变、应变-位移关系的矩阵表示位移关系的矩阵表示三维情况令：其中称微分算子，称算子矩阵。1/20/202317爱学习,爱交院二维问题的应变-位移关系可简化为：一维问题的应变-位移关系可进一步简化为：则应变-位移关系可以简记为统一的矩阵形式：1/20/202318爱学习,爱交院三、物理方程（本构关系）三、物理方程（本构关系）1、有限元本构关系的矩阵形式为：对于三维情况有：1/20/202319爱学习,爱交院2 2、对于二维平面应力问题的定义平面应力由此可以得出此时有3 3、对于二维平面应变问题的定义平面应变由此可以得出 此时有 1/20/202320爱学习,爱交院四、相容方程（协调方程）四、相容方程（协调方程）相容方程给出弹性体的变形协调性条件，弹性体在变形之前是连续的，变形后仍然要保持连续。即弹性体内部各点的位移必须是单值连续的，不能出现重叠或开裂现象。由于有限元采用的多项式位移插值函数全部满足相容条件，只要求了解这一概念，具体形式不作要求。1/20/202321爱学习,爱交院虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a示示一一平平衡衡的的杠杠杆杆，对对C点点写力矩平衡方程：写力矩平衡方程：图图1-8b表表示示杠杠杆杆绕绕支支点点C转转动动时时的刚体位移图：的刚体位移图：综合可得：综合可得：即：即：式式(1-15)是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图图a的的平平衡衡力力系系在在图图b的的位位移移上上作作功功时时，功功的的总总和和必必须须等于零。这就叫做等于零。这就叫做虚功原理虚功原理。虚功原理虚功原理 进进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处处于于平平衡衡状状态态时时，和和 这这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但但是是如如果果某某种种原原因因，例例如如人人为为地地振振一一下下让让它它倾斜，一定满足倾斜，一定满足(1-15)式的关系。式的关系。将将这这个个客客观观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普普遍遍的的原原理理，去去指指导导分分析和计算结构。析和计算结构。对对于于在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑虑它它是是否否真真正正发发生生了了位位移移，而而假假想想它它发发生生了了位位移移，(由由于于是是假假想想，故故称称为为虚虚位位移移)，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这这个个虚虚位位移移上上的的总总功功必必定定等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也也称称虚虚功功原原理理。在在图图1-8a中中的的 和和 所所作作的的功功就就不不是是发发生生在在它它本本身身(状状态态a)的的位位移移上上，(因因为为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移)，而而是是在在状状态态(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见见，这这个个位位移移对对于于状状态态(a)来来说说就就是是虚虚位位移移，亦即是状态亦即是状态(a)假象的位移。假象的位移。虚功原理虚功原理 必必须须指指出出，虚虚功功原原理理的的应应用用范范围围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对对于于力力来来讲讲，它它必必须须是是在在位位移移过过程程中中处处于于平平衡衡的的力力系系；对对于于位位移移来来讲讲，虽虽然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可可以以任任意意发发生生的的。它它必必须须是是和和约约束束条条件件相相符符合的微小的刚体位移。合的微小的刚体位移。还还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约约束束条条件件下下发发生生时时，则则在在该该约约束束力力方方向向的的位位移移应应为为零零，因因而而该该约约束束力力所所作作的的虚虚功功也也应应为为零零。这这时时该该约约束束力力叫叫做做被被动动力力。(如如图图1-8中中的的反反力力 ，由由于于支支点点C没有位移，故没有位移，故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零)。反之，如图。反之，如图1-8中的中的 和和 是是在在位位移移过过程程中中作作功功的的力力，称称为为主主动动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动动力力，哪哪些些是是被被动动力力，而而在在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理虚功原理表述如下：表述如下：在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在位位移移上上所所作作的的总总功功(各各力力所所作作的的功功的的代代数数和和)恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是这就是虚功方程虚功方程，其中其中P和和 相应的代表力和虚位移相应的代表力和虚位移。虚功原理虚功原理-用于弹性体的情况用于弹性体的情况 虚虚功功方方程程(1-16)是是按按刚刚体体的的情情况况得得出出的的，即即假假设设图图1-8的的杠杠杆杆是是绝绝对对刚刚性性，没没有有任任何何的的变变形形，因因而而在在方方程程(1-15)或或(1-16)中没有内功项出现，而只有外功项。中没有内功项出现，而只有外功项。将将虚虚功功原原理理用用于于弹弹性性变变形形时时，总总功功W要要包包括括外外力力功功(T)和和内内力力功功(U)两两部部分分，即即：W=T-U ；内内力力功功(-U)前前面面有有一一负负号号，是是由由于于弹弹性性体体在在变变形形过过程程中中，内内力力是是克克服服变变形形而而产产生生的的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得：T -U=0 外力虚功外力虚功 T =内力虚功内力虚功 U 弹弹性性力力学学中中的的虚虚功功原原理理可可表表达达为为：在在外外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的弹弹性性体体，如如果果发发生生了了虚虚位位移移，那那么么所所有有的的外外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功(外外力力功功)等等于于整整个个弹弹性性体体内内应应力力在在虚虚应应变变上上的的虚虚功功(内力功内力功)。有限元分析的一般过程有限元分析的一般过程一、结构的离散化一、结构的离散化将结构或弹性体人为地划分成由有限个单元，并通过有限个节点相互连接的离散系统。这一步要解决以下几个方面的问题这一步要解决以下几个方面的问题:1、选择一个适当的参考系，既要考虑到工程设计习惯，又要照顾到建立模型的方便。2、根据结构的特点，选择不同类型的单元。对复合结构可能同时用到多种类型的单元，此时还需要考虑不同类型单元的连接处理等问题。3、根据计算分析的精度、周期及费用等方面的要求，合理确定单元的尺寸和阶次。4、根据工程需要，确定分析类型和计算工况。要考虑参数区间及确定最危险工况等问题。5、根据结构的实际支撑情况及受载状态，确定各工况的边界约束和有效计算载荷。1/20/202327爱学习,爱交院在有限元法中通常选择多项式函数作为单元位移插值函数，并利用节点处的位移连续性条件，将位移插值函数整理成以下形函数矩阵与单元节点位移向量的乘积形式。位移插值函数需要满足相容（协调）条件，采用多项式形式的位移插值函数，这一条件始终可以满足。但近年来有人提出了一些新的位移插值函数，如：三角函数、样条函数及双曲函数等，此时需要检查是否满足相容条件。二、选择位移插值函数二、选择位移插值函数1、位移插值函数的要求1/20/202328爱学习,爱交院形函数的性质：形函数的性质：1）相关节点处的值为1，不相关节点处的值为0。2）形函数之和恒等于1。2、位移插值函数的收敛性（完备性）要求：、位移插值函数的收敛性（完备性）要求：1）位移插值函数必须包含常应变状态。2）位移插值函数必须包含刚体位移。3、复杂单元形函数的构造、复杂单元形函数的构造对于高阶复杂单元，利用节点处的位移连续性条件求解形函数，实际上是不可行的。因此在实际应用中更多的情况下是利用形函数的性质来构造形函数。以阶梯轴的形函数为例两个形函数分别为在节点有：在节点有：在任何点有：这里我们称为的相关节点，为的相关节点，其它点均为不相关节点。1/20/202329爱学习,爱交院使用最小势能原理，需要计算结构势能，由弹性应变能和外力虚功两部分构成。结构已经被离散，弹性应变能可以由单元弹性应变能叠加得到，外力虚功中的体力、面力都是分布在单元上的，也可以采用叠加计算。1、计算单元弹性应变能 单元体积。由几何关系代入前式有：令：称单元刚度矩阵，简称单刚。这样单元弹性应变能可以表示为：三、单元分析单元分析目的：目的：计算单元弹性应变能和外力虚功。1/20/202330爱学习,爱交院2 2、计算单元外力功、计算单元外力功1)体力虚功令：称单元等效体力载荷向量。单元体力虚功可以表示为：2)表面力虚功单元上外力已知的表面,注意！这里只考虑结构的边界表面。令：称单元等效面力载荷向量。单元表面力虚功可以表示为：1/20/202331爱学习,爱交院从从前面推导可以看出：前面推导可以看出：单元弹性应变能可计算的部分只有单元刚度矩阵，单元外力虚功可计算的部分只有单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。在实际分析时并不需要进行上述推导，只需要将假定的位移插值函数代入本节推导得出的单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量的计算公式即可。所以我们说有限元分析的第三步是计算单元刚度矩阵、等效体力载荷向量和等效面力载荷向量。几点说明：几点说明：1）单元刚度矩阵具有正定性、奇异性和对称性三各重要特性。所谓正定性指所有对角线元素都是正数，其物理意义是位移方向与载荷方向一致；奇异性是说单元刚度矩阵不满秩是奇异矩阵，其物理意义是单元含有刚体位移；对称性是说单元刚度矩阵是对称矩阵，程序设计时可以充分利用。2）按照本节公式计算的单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量称为一致载荷向量。实际分析时有时也采用静力学原理计算单元等效体力载荷向量和等效面力载荷向量，实际应用表明在大多数情况下，这样做可以简化计算，同时又基本上不影响分析结果。1/20/202332爱学习,爱交院四、整体分析四、整体分析目的：目的：计算整个结构的势能，代入最小势能原理：1、计算整个结构的弹性应变能。令：结构整体刚度矩阵（总刚）此时结构的弹性应变能可以表示为：结构的弹性应变能可计算的部分只有所以我们说，结构的弹性应变能的计算就归结为总刚的计算。1/20/202333爱学习,爱交院2、计算整个结构的外力虚功。将变换形式写成将变换形式写成外力虚功可以表示为：令：结构整体等效节点载荷向量。外力虚功可以进一步表示为：结构的外力虚功可计算的部分只有所以我们说，结构的外力虚功可计算就归结为结构整体等效节点载荷向量的计算。1/20/202334爱学习,爱交院3、计算整个结构的势能并代入最小势能原理。将结构弹性应变能及外力虚功的表达式代入结构势能表达式，则结构的势能可以表示为：将上式代入泛函的极值条件或可以得到移项后有结构近似平衡方程。结构近似平衡方程的物理意义与平衡微分方程等价，但该方程放松了对平衡的要求，给出的仅仅是近似的平衡条件。这非常有利于进行近似求解。1/20/202335爱学习,爱交院4、实际应用时结构近似平衡方程的生成 实际应用时我们完全可以根据单元刚度矩阵、单元等效体力载荷向量、单元等效面力载荷向量及节点集中载荷向量直接生成结构近似平衡方程，现在举例说明生成过程。例3-1一图示桁架结构，各节点自由度编号如图：1/20/202336爱学习,爱交院5、整体刚度矩阵的性质1）稀疏性整体刚度矩阵是一个大型稀疏矩阵，非零元素不到10%，对于大型实际问题可能只有2%5%。3）对称性整体刚度矩阵也是是对称矩阵。程序设计时可以充分利用这些特性来达到节约内存，提高计算效率的目的。例如：实际程序中通常采用半三角存储、一维等带宽存储和一维变带宽存储等紧缩存储方案。2）带状分布带状分布是说整体刚度矩阵的非零元素全都分布在对角线附近的一个带状区域内。带状区域的宽度称为带宽，它与模型的节点编序有关，合理的节点编号，可以减小带宽。因此，很多有限元前处理软件都有带宽优化模块。1/20/202337爱学习,爱交院五、约束处理五、约束处理 引入已知位移边界条件，消除刚体位移，使方程具有唯一解。七、计算单元应力七、计算单元应力一般来说是坐标的函数，实际分析是往往取几个固定值（点）进行计算，这些点称应力输出点，做强度校核还要计算等效应力。六、方程求解六、方程求解求解近似平衡方程可以得到全部节点位移。可以利用节点位移评价结构的静刚度1/20/202338爱学习,爱交院单元几何矩阵单元几何矩阵单元刚度矩阵单元刚度矩阵 单元等效体力载荷向量单元等效体力载荷向量单元等效面力载荷向量单元等效面力载荷向量结构整体刚度矩阵（总刚）结构整体刚度矩阵（总刚）单元应力计算公式单元应力计算公式 小小 结结1/20/202339爱学习,爱交院