第二章解线性方程组的迭代法精选PPT.ppt
第二章解线性方程组的迭代法第1页，本讲稿共39页对方程组做等价变换从某一初值 x(0)出发，我们可以构造序列若同时：所以，序列收敛与初值的选取无关与初值的选取无关如令A=D-L-U，于是 x=D-1(L+U)x+D-1b,第2页，本讲稿共39页定义5.1：设G为n阶方阵，若Gk0，则称G为收敛矩阵定理：即矩阵G为收敛矩阵，当且仅当G的谱半径1由知，若有某种范数则，迭代收敛第3页，本讲稿共39页迭代法的收敛性迭代法的收敛性定理定理：迭代法X(m+1)=GX(m)+g 收敛的充分必要条件是迭代矩阵G为收敛矩阵，即G的谱半径(G)1。定理定理：迭代法X(m+1)=GX(m)+g 的迭代矩阵G的某种范数|G|qeps)x1=x2;for(i=0;i=n;i+)x2i=0;for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x1j for(j=i+1;j1.Jacobi迭代不收敛。迭代矩阵为G的特征值为：1=4.02408,2=-2.01204 3.10115 i,1=4.02408；2,3=3.69668第11页，本讲稿共39页将方程组变形，化为：第12页，本讲稿共39页G的谱半径(G)=0.308507 1.Jacobi迭代收敛。此时迭代矩阵为G的特征值分别为：0.308507,-0.154254+0.18304 i,-0.154254-0.18304 i第13页，本讲稿共39页 收敛条件收敛条件 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径eps)for(i=0;in;i+)for(j=0;ji;j+)x2i+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)x2i+=Aij*x2j x2i=-(x2i-bi)/Aii 4、输出解x2Gauss-Siedel迭代算法第17页，本讲稿共39页 迭代矩阵迭代矩阵是否是原来的方程的解？A=(D-L)-UGauss-Siedel迭代法的收敛性迭代法的收敛性第18页，本讲稿共39页 收敛条件收敛条件 迭代格式X=GX+g 对任意的初值X0和向量g，收敛的充要条件充要条件是G的谱半径 (G)1.Jacobi迭代不收敛。G的谱半径(G)=0.5eps)for(i=0;in;i+)temp-0 for(j=0;ji;j+)temp+=Aij*x2j for(j=i+1;jn;j+)temp+=Aij*x2j temp=-(x2i-bi)/Aii x2i=(1-omega)*x2i+omega*temp 4、输出解x2第30页，本讲稿共39页 迭代矩阵迭代矩阵定理：松弛迭代收敛定理：A对称正定，则松弛迭代收敛是否是原来的方程的解？第31页，本讲稿共39页 SORSOR方法收敛的快慢与松弛因子的选择有密切关系.但是如何选取最佳松弛因子,即选取=*,使(G)达到最小,是一个尚未很好解决的问题.实际上可采用试算的方法来确定较好的松弛因子.经验上可取1.41.6.当松弛因子1时，称该算法为超松弛因子法；第32页，本讲稿共39页 定理定理 若SORSOR方法收敛,则02.证证 设SORSOR方法收敛,则(G)1,所以|det(G)|=|12 n|1而 det(G)=det(D-L)-1(1-)D+U)=det(E-D-1L)-1det(1-)E+D-1U)=(1-)n于是|1-|1,或 02第33页，本讲稿共39页 定理定理 用SORSOR法法解方程组Ax=b，证证 设是G 的任一特征值,y是对应的特征向量,则 (1-)D+Uy=(D-L)y于是 (1-)(Dy,y)+(Uy,y)=(Dy,y)-(Ly,y)1）若A是对称正定矩阵,则当02时收敛；2）若矩阵A按行(列)严格对角占优,则当00 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y)=-i 0(Ay,y)=(Dy,y)-(Ly,y)-(Uy,y)=-2所以第35页，本讲稿共39页当02时,有 (-+)2-(-)2=(2-)(2-)=(2-)(2-)0所以|21,因此(G)1,即S0R方法收敛.可得 =2/设是B的任一特征值,y是对应的特征向量,则 (L+U)y=Dy于是 (Ly,y)+(Uy,y)=(Dy,y)第36页，本讲稿共39页当A对称正定时,即2-0时,|0而 (2D-A)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y)=+2即,当A对称正定时,JacobiJacobi迭代法收敛2D-A正定.第37页，本讲稿共39页共轭梯度法给定对称正定矩阵ARnn，求解方程组AX=b的共轭梯度法如下：1.选定初值X(0)Rn,设r(0)=d(0)=b-AX(0);2.r(k+1)=r(k)-(k)A d(k);其中3.d(k+1)=r(k+1)+(k)d(k);其中4.X(k+1)=X(k)+(k)d(k);第38页，本讲稿共39页定理：设矩阵ARnn对称正定，X(k)为用共轭梯度法求解方程组AX=b所产生的迭代序列，并取条件数那么：1)用不超过n次迭代即可获得精确解；2)对每次迭代结果的误差估计为：其中范数|X|A=(AX,X)第39页，本讲稿共39页
