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一、条件概率一、条件概率二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式三、小结三、小结1.4 1.4 条件概率条件概率 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式.)()()|(, 0)(,条条件件概概率率发发生生的的发发生生的的条条件件下下事事件件为为在在事事件件称称且且是是两两个个事事件件设设ABBPABPBAPBPBA1. 定义定义1.8 ABAB一、条件概率一、条件概率);()()()( ) 3(212121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 2. 性质性质; 1)(0:) 1 ( BAP有界性有界性0)B|(PBP 1,)(2)规范性规范性例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解解: )()()|(BPABPBAP解解: 设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义21366363则有则有且且, 0)(121 nAAAP, 2,21 nnAAAn个事件个事件为为设设推广推广则有则有且且为事件为事件设设, 0)(, ABPCBA()( ) () ().P ABCP A P B A P C AB).()()(, 0)(APABPABPAP 则有则有设设3. 3. 乘法定理乘法定理)()()()()(12121312121nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP例例2 一盒子装有一盒子装有4 只产品只产品,其中有其中有3 只一等品只一等品,1只只二等品二等品.从中取产品两次从中取产品两次,每次任取一只每次任取一只,作不放回作不放回抽样抽样.设事件设事件A为为“第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品” ,事件事件B 为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”,试求条件概试求条件概 P(B|A).解解.4;3, 2, 1,号为二等品号为二等品为一等品为一等品将产品编号将产品编号则试验的样本空间为则试验的样本空间为号产品号产品第第号号第二次分别取到第第二次分别取到第表示第一次表示第一次以以,),(j、i、ji),3 , 4(),2 , 4(),1 , 4(, )4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1 (),3 , 1 (),2 , 1(),4 , 3(),2 , 3(),1 , 3(),4 , 2(),3 , 2(),1 , 2(),4 , 1(),3 , 1(),2 , 1( A),2 , 3(),1 , 3(),3 , 2(),1 , 2(),3 , 1(),2 , 1( AB由条件概率的公式得由条件概率的公式得)()()(APABPABP 129126 .32 例例3 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“ 能活能活 20 岁以上岁以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有, 8 . 0)( AP因为因为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解例例4 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字字, 三个阄内不写字三个阄内不写字 , 五人依次抓取五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?解解. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i则有则有,52)(1 AP)()(22APAP)(112AAAP 抓阄是否与次序有关抓阄是否与次序有关? ,的事件的事件人抓到有字阄人抓到有字阄第第表示表示设设iAi)()()(212121333AAAAAAAPAPAP)()()(321321321AAAPAAAPAAAP 42534152 ,52 )()()()(121121AAPAPAAPAP )(2121AAAAP )()(2121AAPAAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP )()()(213121AAAPAAPAP 324253314253314352 ,52 依此类推依此类推.52)()(54 APAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.,2;, 2 , 1,1,21210021的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义nnjinAAAAAAnjiAAEAAAE 1. 样本空间的划分样本空间的划分1A2A3AnA1nA二、全概率公式与贝叶斯公式二、全概率公式与贝叶斯公式2. 全概率公全概率公式式全概率公式全概率公式)|()()()|()()|()()|()(), 2 , 1(0)(,1221121iniinninABPAPAPABPAPABPAPABPBPniAPAAAEBE则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义jiAA由由)(jiBABA)()()()(21nBAPBAPBAPBP图示图示B1A2A3A1nAnA证明证明.21nBABABA化整为零化整为零各个击破各个击破)(21nAAABBB)|()()|()()|()()(2211nnABPAPABPAPABPAPBP说明说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件分解为若干个简单事件的概率计算问题的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终最后应用概率的可加性求出最终结果结果.B1A2A3A1nAnA例例1 1 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,. 3 , 2 , 1, iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B P ABP B P AB故故称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯资料贝叶斯资料., 2 , 1,)()|()()|()|(), 2 , 1(0)(, 0)(,121niAPABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义证明证明)B(P)A(P)A|B(P)BA(Piii., 2 , 1ni 证毕证毕n1jjjii)A|B(P)A(P)A|B(P)A(P;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例2 2.,)2(别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分求此次品出由求此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1( iBi,的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间则则321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症表示事件表示事件以以为阳性为阳性试验反应试验反应表示事件表示事件若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因为因为,995. 0)(,005. 0)( CPCP例例3 3由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C.087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.1.条件概率条件概率)()()(APABPABP 全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式三、小结三、小结1122( )() ()() ()() ()nnP AP B P ABP B P ABP B P AB1() ()(),1,2, .() ()iiinjjjP B P A BP B AinP BP A B()( ) ()P ABP A P B A乘法定理乘法定理.)AB(P)AB(P,AB)AB(P,AB)AB(P,.B,)AB(P,AB,)AB(PAA大大比比一一般般来来说说中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数中中样样本本点点数数则则用用古古典典概概率率公公式式发发生生的的概概率率计计算算中中表表示示在在缩缩小小的的样样本本空空间间而而的的概概率率发发生生计计算算中中表表示示在在样样本本空空间间 .)()(. 2的区别的区别与积事件概率与积事件概率条件概率条件概率ABPABP贝叶斯资料贝叶斯资料Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 April 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机无放回随机地抽取两次地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多抽求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二第二次与第三次均是白球的概率次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二第一次与第二次均是白球的情况下次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?备份题备份题解解.)1(21二二次次抽抽取取到到红红球球第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球个个两两次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一为为事事件件设设AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 则有则有,212121AAAAAAA . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第为为设事件设事件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因为因为,522624)(21 AAP因为因为.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP例例2 掷两颗骰子掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1点的概率点的概率.解解设事件设事件A 为为“ 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 ”, 事件事件 B为为 “ 一颗点数为一颗点数为1 ”.故所求概率为故所求概率为.31 P掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 3,其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为 1,例例3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 , 再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”, 分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,321BBB由题设知由题设知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82. 0 ?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%解解.产品合格产品合格为事件为事件设设 A.机器调整良好机器调整良好为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例4,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品
