2019年高中数学第一章解三角形1.2应用举例第2课时高度、角度问题优化练习新人教A版必修5.doc

1第第 2 2 课时课时 高度、角度问题高度、角度问题课时作业A 组 基础巩固1某次测量中，甲在乙的北偏东 55°，则乙在甲的( )A北偏西 35° B北偏东 55°C南偏西 35° D南偏西 55°解析：如图可知，D 项正确答案：D2已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东 40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为( )Aa km B.a km3C.a km D. 2a km2解析：ACB120°， ACBCa，由余弦定理知 ABa.3答案：B3从某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是 60°；从电视塔的西偏南 30°的B处，测得塔顶仰角为 45°，A，B间距离是 35 m，则此电视塔的高度是( )A5 m B10 m21C. m D35 m4 900 13解析：作出示意图，设塔高OC为h m.在OAC中，OAh，h tan 60°33OBh.AB35，AOB150°，由余弦定理求得h5.21答案：A4.如图，从山顶A望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和 30°，已知CD100 米，点C位于BD上，则山高AB等于( )2A100 米 B50 米3C50米 D50(1)米23解析：在ACD中，CD100 米，D30°，DACACBD45°30°15°，.AC sinDCD sinDACAC.CDsin D sinDAC100sin 30° sin 15°50 sin 15°在ABC中，ACB45°，ABC90°，AC米，ABACsin 45°50 sin 15°50(1)米50sin 45° sin 15°3答案：D5一船向正北方向航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60°方向，另一灯塔在船的南偏西 75°方向，则这只船的速度是( )A15 海里/时 B5 海里/时C10 海里/时 D20 海里/时解析：如图，依题意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是 10 海里/时答案：C6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为 60°，再由点C沿北偏东 15°方向走 10 米到位置D，测得BDC45°，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，CD10，BDC45°，BCD15°90°105°，DBC30°，由正弦定理得BC sin 45°，则BC10.在 RtABC中，tan 60°，CD sin 30°CDsin 45° sin 30°2AB BC所以ABBCtan 60°10.6答案：1067.如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两楼，ABBD，CDBD，从甲楼3顶部A处测得乙楼顶部C的仰角为30°，测得乙楼底部D的俯角60°，已知甲楼高AB24 米，则乙楼高CD_米解析：EDAB24 米，在ACD中，CAD30°60°90°，AECD，DE24 米，则AD16(米)，DE sin 24 sin 60°3则CD32 (米)AD cosADCAD cos 30°16 332答案：328在纪念抗战胜利七十周年阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡角为 15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°，且第一排和最后一排的距离为 10m，则旗杆的高度为6_m.解析：如图，设旗杆高为h，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BCh.在ABC中，AB10 m，CAB45°，ABC105°，ACB30°，h sin 60°2 336由正弦定理，得，故h30 m.10 6sin 30°2 33hsin 45°答案：309.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为 15°，向山顶前进 100 m 到达B处，又测得C对于山坡的斜度为 45°，若CD50 m，山坡对于地平面的坡角为，求 cos 的值解析：在ABC中，由正弦定理可知，4BC50()AB·sinBAC sinACB100sin 15° sin45°15°62在BCD中，sinBDCBC·sinCBD CD1.50 6 2·sin 45°503由题图，知 cos sinADEsinBDC1.310甲船在A处观测到乙船在它的北偏东 60°方向的B处，两船相距 10 海里，乙船向正北行驶，设甲船的速度是乙船的倍，问甲船应沿什么方向行驶才能追上乙船？此时乙船3行驶了多少海里？解析：设AB10 海里，两船在C处相遇，CAB，乙船行驶了x海里，则AC x海里3由题意，知ABC180°60°120°.在ABC中，由正弦定理，得sin ，BCsinABC AC1 230°或150°.由题意知30°.ACB180°(ABC)180°(120°30°)30°，BCAB10 海里，60°60°30°30°.故甲船应沿北偏东 30°的方向行驶才能追上乙船，此时，乙船已行驶了 10 海里B 组 能力提升1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为 45°，从点A沿北偏东 30°方向前进 100 m 到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( )A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是h，水柱底端为C，则在ABC中，BAC60°，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，33即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50(负值舍去)，故水柱的高度是50 m.答案：A2如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为 75°，30°，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度BC等于( )5A240(1)m B180(1)m32C120(1)m D30(1)m33解析： tan 15°tan(60°45°)2，tan 60°tan 45° 1tan 60°tan 45°3BC60tan 60°60tan 15°120(1)(m)，故选 C.3答案：C3如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°；从C点测得MCA60°.已知山高BC100 m，则山高MN_m.解析：在 RtABC中，CAB45°，BC100 m，所以AC100m.2在AMC中，MAC75°，MCA60°，从而AMC45°，由正弦定理得，因此AM100m.AC sin 45°AM sin 60°3在 RtMNA中，AM100 m，MAN60°，3由sin 60°得MN100×150(m)MN AM332答案：1504(2015·高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度CD_m.解析：依题意，BAC30°，ABC105°，在ABC中，由ABCBACACB180°，所以ACB45°，因为AB600，6由正弦定理可得，即BC300m，600 sin 45°BC sin 30°2在 RtBCD中，因为CBD30°，BC300.2所以 tan 30°，所以CD100m.CD BCCD300 26答案：10065.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为 30°，45°，60°，且ABBC60 m，求建筑物的高度解析：设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，22 33在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得 cosPBA，6022h24h22 × 60 ×2hcosPBC.6022h243h22 × 60 ×2hPBAPBC180°，cosPBAcosPBC0.由，解得h30(m)或h30(m)(舍去)，即建筑物的高度为 30 m.6666海岛O上有一座海拔 1 km 的小山，山顶设有一观察站A，上午 11 时测得一轮船在岛的北偏东 60°的C处，俯角为 30°，11 时 10 分，又测得该船在岛的北偏西 60°的B处，俯角为 60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？解析：(1)如图，在 RtAOB和 RtAOC中，OBOAcot 60°，33OCOAcot 30°.3在BOC中，由余弦定理得BC，OB2OC22OB·OC·cosBOC393由C到B用的时间为 (h)，10 601 67该船的速度为2(km/h)393 1 639(2)在OBC中，由余弦定理，得cosOBC，BC2OB2OC2 2BC·OB5 1326sinOBC，1cos2OBC3 3926sinOEBsin(OBEEOB)sinOBE·cosEOBcosOBE·sinEOB，1313在BEO中，由正弦定理得OE .OB·sinEBO sinOEB3 2BE，OB·sinBOE sinOEB396从B到E所需时间为(h)，即所需时间为 5 min.3962 391 12即该船于 11 时 15 分到达岛的正西方向，此时 E 离海岛 O 的距离是 1.5 km.