2019年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式优化练习新人教A版.doc

1一一 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式课时作业A 组 基础巩固1若a，bR，且a2b210，则ab的取值范围是( )A2，2 55B2，2 1010C， 1010D(， 55解析：a2b210，(a2b2)(1212)(ab)2，即 20(ab)2，2 ab2.55答案：A2函数y2的最大值是( )2x2x3A3 B3 2C. D43解析：y22(2 ×2x 2 × x32)22()26× 3，2 2x2(x32)21 2当且仅当 2·，x3222x即x 时等号成立5 3y的最大值为.3答案：C3如果实数m，n，x，y满足m2n2a，x2y2b，其中a，b为常数，那么mxny的最大值为( )A. Bab 2abC. Da2b2 2a2b22解析：由柯西不等式，得(mxny)2(m2n2)(x2y2)ab，当mn，a 2xy时，(mxny)max.b 2ab答案：B24若ab1，则22的最小值为( )(a1 a)(b1 b)A1 B2C. D25 27 2解析：22(a1 a)(b1 b)a22b22.1 a21 b2ab1，a2b2 (a2b2)·(11)1 2 ·(ab)2 ，1 21 2又8，1 a21 b22 ab8 ab2以上两个不等式都是当且仅当ab 时，等号成立1 222(a1 a)(b1 b) 228，1 225 2当且仅当ab 时等号成立，取到最小值.1 225 2答案：C5若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为( )A2R B2R2C4R D4R2解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是4R2x2ABCD的周长l2(x)2(1×x1×)4R2x24R2x2由柯西不等式得l2x2()2 (1212)4R2x1 21 22×2R×4R.22当且仅当x·1·1，4R2x23即xR时等号成立2此时 R，4R2x24R2 2R22即四边形ABCD为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为 4R.2答案：D6若存在实数x使>a成立，常数a的取值范围为_3x614x解析：×1×，3x614x3x214x由柯西不等式得(×1×)2(31)·(x214x)64，3x214x所以8，当且仅当x10 时取“” ，3x614x于是，常数a的取值范围是(，8)答案：(，8)7设xy>0，则(x2)·(y2)的最小值为_4 y21 x2解析：原式x2(2 y)2(1 x)2y229.(x·1 x2 y·y)答案：98设实数x， y满足 3x22y26，则 2xy的最大值为_解析：(x)2(y)2(2xy)2，23212232|2xy| ，11 63x22y211当且仅当×y×x，232123即 3x4y且 3x22y26 时，等号成立，而此方程组有解2xy的最大值为.11答案：119已知为锐角，a，b>0，求证：(ab)2.a2 cos2 b2 sin2 证明：设m，n(cos ，sin )，(a cos ，b sin )则|ab|·cos ·sin |a cos b sin |m·n|m|n|·，(a cos )2(b sin )21a2 cos2 b2 sin2 (ab)2.a2 cos2 b2 sin2 410设a，bR，若ab2，求 的最小值1 a1 b解析：(ab)(1 a1 b)()2()2ab(1a)2(1b)22(11)24.(a·1ab·1b)24，即2.(1 a1 b)(1 a1 b)当且仅当··，即ab时取等号，a1bb1a当ab1 时， 的最小值为 2.1 a1 bB 组 能力提升1设a1、a2、b1、b2R，则下列不等式中，柯西不等式用错的是( )A(ab)·(ab)(a1a2b1b2)22 12 12 22 2B(ab)·(ab)(a1b2b1a2)22 12 12 22 2C(ab)·(ab)(a1b1a2b2)22 12 12 22 2D(aa)·(bb)(a1b1a2b2)22 12 22 12 2答案：C2设xy>0，则的最小值为_(x24 y2)(y21 x2)解析：原式x2( )2( )2y2(x· ·y)29.2 y1 x1 x2 y答案：93已知a，bR，且ab1，则()2的最大值是_4a14b1解析：()2(1×1×)2(4a14b14a14b11212)(4a14b1)24(ab)22×|4×12|12.答案：124已知a，b，c为正数，且满足acos2bsin2<c，求证：cos2sin2<.abc5解析：由柯西不等式，得cos2sin2(cos )2(sin )abab21 2·(cos2sin2) 1 2(acos2bsin2) <.1 2c5若x24y25.求xy的最大值及最大值点解析：由柯西不等式得x2(2y)212( )2(xy)21 2即(xy)25× ，xy .5 425 45 2当且仅当 ，即x4y时取等号x 12y 1 2由Error!得Error!或Error!(舍去)xy 的最大值为 ，最大值点为(2， )5212