2019年高中数学第四章导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和极小值分层训练.doc

14.3.24.3.2 函数的极大值和极小值函数的极大值和极小值一、基础达标1.函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图象如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个答案 A解析 当满足f(x)0 的点，左侧f(x)0，右侧f(x)0 时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2 “函数yf(x)在一点的导数值为 0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 对于f(x)x3，f(x)3x2，f(0)0，不能推出f(x)在x0 处取极值，反之成立故选 B.3若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2 在x1 处有极值，则ab的最大值等于( )A2 B3 C6 D9答案 D解析 f(x)12x22ax2b，f(x)在x1 处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ababab9，当且仅当ab3 时等号成立，ab的最大值为 9.4函数yx33x29x(2x2)有( )A极大值 5，极小值27B极大值 5，极小值11C极大值 5，无极小值2D极小值27，无极大值答案 C解析 由y3x26x90，得x1 或x3，当x1 或x3 时，y0，当1x3 时，y<0.故当x1 时，函数有极大值 5；x取不到 3，故无极小值5函数f(x)x33ax23(a2)x3 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_答案 (，1)(2，)解析 f(x)3x26ax3(a2)，令 3x26ax3(a2)0，即x22axa20，函数f(x)有极大值和极小值，方程x22axa20 有两个不相等的实数根，即4a24a80，解得a2 或a1.6若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是_答案 (1,4)解析 y3x23a，当a0 时，y0，函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；当a0 时，y3x23a0x±，不难分析，当a12，即 1a4 时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值a7求函数f(x)x2ex的极值解 函数的定义域为 R R，f(x)2xexx2·(1 ex)2xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0 或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2由上表可以看出，当x0 时，函数有极小值，且为f(0)0；当x2 时，函数有极大值，且为f(2)4e2.二、能力提升8已知函数f(x)，xR R，且在x1 处，f(x)存在极小值，则3( )A当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0B当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0C当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0D当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0答案 C解析 f(x)在x1 处存在极小值，x1 时，f(x)0，x1 时，f(x)0.9(2013·福建)设函数f(x)的定义域为 R R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )AxR R，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值点Dx0是f(x)的极小值点答案 D解析 x0(x00)是f(x)的极大值点，并不是最大值点故 A 错；f(x)相当于f(x)关于y轴的对称图象的函数，故x0应是f(x)的极大值点，B 错；f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图象的函数，故x0应是f(x)的极小值点跟x0没有关系，C 错；f(x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图象的函数故 D 正确10.如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；(3，1 2)函数yf(x)在区间内单调递减；(1 2，3)函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2 时，函数yf(x)有极小值；当x 时，函数yf(x)有极大值1 2则上述判断正确的是_(填序号)答案 解析 函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上是增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择.由于函数在x2 的左侧递增，4右侧递减，所以当x2 时，函数有极大值；而在x 的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x 的左右两侧均为增函数，所以1 21 2x 不是函数的极值点排除和.1 211已知f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m0)有极大值 ，求m的值1 25 2解 f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.2 3当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，m)m(m，2 3m)m2 3(2 3m，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(m)m3m32m34 ，m1.1 25 212设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解 (1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x 或x1.1 3当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1 3)1 3(1 3，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值是fa，极小值是f(1)a1.(1 3)5 27(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值f a，f(x)极小值f(1)a1.(1 3)5 275曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值0 或f(x)极小值0，即a0 或a10，a或a1，5 275 27当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点(，5 27)三、探究与创新13(2013·新课标)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0 是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2 时，证明f(x)0.(1)解 f(x)ex.1 xm由x0 是f(x)的极值点得f(0)0，所以m1.于是f(x)exln(x1)，定义域为(1，)，f(x)ex.1 x1函数f(x)ex在(1，)单调递增，且f(0)0，因此当1 x1x(1,0)时，f(x)0；当x(0，)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)单调递减，在(0，)单调递增(2)证明 当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2 时，f(x)0.当m2 时，函数f(x)ex在(2，)单调递增1 x2又f(1)0，f(0)0，故f(x)0 在(2，)有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0 得ex0，ln(x02)x0，1 x02故f(x)f(x0)x00.1 x02x012 x02综上，当综上，当m m22 时，时，f f( (x x) )0.0.