高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示课堂导学案新人教A版必修1.pdf
小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学1.1.1 集合的含义与表示课堂导学三点剖析一、集合的概念【例 1】判断下列命题是否正确，并说明理由.(1)R=R;(2)方程组1,2xyxy的解集为 x=1,y=2;(3)x|y=x2-1=y|y=x2-1=(x,y)|y=x2-1;(4)平面内线段MN的垂直平分线可表示为P|PM=PN.思路分析：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型.处理此类问题关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法.解：(1)R=R是不正确的，R通常为 R=x|x 为实数 ，即 R本身可表示为全体实数的集合，而R 则表示含有一个字母R的集合，它不能为实数的集合.(2)方程组1,2xyxy的解集为x=1,y=2是不对的,因为解集的元素是有序实数对(x,y)，正确答案应为(x,y)|21yx=(1,2).(3)x|y=x2-1=y|y=x2-1=(x,y)|y=x2-1 是不正确的.x|y=x2-1 表示的是函数自变量的集合，它可以为x|y=x2-1=x|xR=R.y|y=x2-1 表示的是函数因变量的集合，它可以为y|y=x2-1=y|y-1.(x,y)|y=x2-1 表示点的集合，这些点在二次函数y=x2-1 的图象上.(4)平面上线段MN的垂直平分线可表示为P|PM=PN是正确的.温馨提示正确理解集合表示方法对以后的学习有极大帮助.特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为(x,y)|?yx 的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么.【例 2】已知 a 1,-1,a2，则 a 的值为 _.解析：处理该类问题的关键是对a 进行分类讨论，利用元素的互异性解题.a1,-1,a2,a 可以等于1，-1，a2.(1)当 a=1 时，集合则为 1，-1,1，不符合集合元素的互异性.故 a1.(2)同上，a=-1 时也不成立.(3)a=a2时，得 a=0 或 1，a=1 不满足舍去，a=0 时集合为 1,-1,0.综上，a=0.答案：0 温馨提示集合元素的互异性指集合中元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关.因小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性.二、运用集合的两种表示方法正确地表示集合【例 3】用列举法表示下列集合.(1)y|y=x2-2,x 3,x N;（2）(x,y)|y=x2-2,x 3,x N.思路分析：首先认准描述法所表示集合的代表元素，然后根据条件求其值，用列举法将集合中的元素不计次序、不重复、不遗漏地列出来.解：(1)因为 x 3,x N，所以 x=0,1,2,3.所以 y=-2,-1,2,7.所以 y|y=x2-2,x 3,x N用列举法表示为-2，-1，2，7.（2）由 上 题 可 知，（x,y）|y=x2-2,x 3,x N 用 列 举 法 表 示 为(0,-2),(1,-1),(2,2),(3,7).温馨提示列举法适合于表示集合是有限集，且元素个数较少，但有时也可表示无限集或个数较多的集合，如：1，2，n,.【例 4】用描述法表示下列集合.（1）偶数集;（2）2，4，6，8;（3）坐标平面内在第一象限的点组成的集合.解：（1）x|x=2n,nZ；(2)x|x=2n,1n4,n Z；(3)(x,y)|x0,且 y0.温馨提示用描述法表示集合时，要弄清楚元素的特征，使其具有符合性质的都属于集合，不具有性质的不属于集合.三、集合概念再理解【例 5】判断以下对象的全体能否组成集合.(1)高一一班的身高大于1.75 m 的学生；(2)高一一班的高个子学生.思路分析：该例贴近于现实生活，能较好地帮助同学们正确理解集合元素的确定性.解：(1)高一一班中身高大于1.75 m 的学生是确定的，因此身高大于1.75 m 的学生可以组成集合.(2)高一一班中的高个子学生没有具体身高标准，因此高个子学生不能组成集合.温馨提示判断某组对象是否为集合必须同时满足三个特征：（1）确定性，（2）互异性，（3）无序性，特别是确定性比较难理解，是指元素和集合的关系是非常明确的，要么该元素属于集合，要么该元素不属于集合，而不是模棱两可.各个击破类题演练1(1)下列命题是假命题的个数为_.1,2=(1,2)=x|x+1=1 022,08yxyx解的集合为(x,y)|x=2或 y=-6 15x|x 32 P|PO=3 cm(O是定点)表示圆小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学解析：为假命题.答案：3(2)判断下列表示能否视为集合表示：1,2,3,；s=t2+1；正方形.解析:不是集合表示.若用列举法表示无限集,应将元素间的规律表示出来.此集合可表示为1，2，3，n,.不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么.不是集合表示，没说清楚集合中元素是什么，应写为x|x是正方形.(3)可以表示方程组3,1yxyx的解集的是 _.x=2,y=1(x,y)|(2,1)2,1(2,1)(x,y)|x=2或y=1(x,y)|x=2且 y=1 (x,y)|.1,2yx 答案:变式提升1实数 3，x,x2-2x 中的元素x 应满足的条件为：_ 解析：由集合元素的互异性可知xxxxxx2,32,322x-1 且 x0且 x3.类题演练2集合 A=a,ab,1,B=a2,a+b,0,aR,bR.若A=B，求 a2006+b2006的值.解析:由题目条件得,1,0,2aabbaa解得.1,0aba2006+b2006=1.变式提升2已知集合A=xR|ax2+2x+a=0,aR中只有一个元素，求a 的值，并求这个元素.解析：由于A=xR|ax2+2x+a=0,aR只有一个元素，因此，有两种情况.(1)a=0时，ax2+2x+a=0 变为 x=0,A=x|x=0满足条件.(2)a 0 时，ax2+2x+a=0 有相等实根，即=4-4a2=0,得 a=1.a=1时，A=xR|x2+2x+1=0=x|x=-1;a=-1时，A=x=R|x2-2x+1=0=x|x=1.综上知，a=0 时，A=x|x=0；a=1时，A=x|x=-1;a=-1时，A=x|x=1.类题演练3小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学用列举法表示下列集合.(1)不大于 10 的非负偶数；（2）方程（x-1）2(x-3)=0的解集；（3）方程组1,3yxyx的解集.答案:（1）0，2，4，6，8，10；（2）1，3；（3）（2，1）.变式提升3(2006 山东高考，1)定义集合运算：AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合A=0，1，B=（2，3），则集合AB 的所有元素之和为（）A.0 B.6 C.12 D.18 解析：取x=0 时，z=0,取 x=1 时，z=6 或 12，AB=0，6，12，所求 AB 的元素之和为18，选 D.答案：D 类题演练4用描述法表示下列集合.（1）所有正奇数组成的集合;（2）坐标平面内x 轴上的点组成的集合.答案：（1）x|x=2n-1,n N*；(2)(x,y)|y=0.变式提升4用适当的方法表示下列集合.（1）由不等式x-32 的所有解组成的集合;（2）由方程组842,5yxyx的所有解组成的集合;（3）由小于10 的非负奇数组成的集合.解：（1）x|x5;(2)(x,y)|32yx 或(2,3)；(3)1,3,5,7,9或x|x=2n-1，1n5,n Z.类题演练5以下说法的对象能组成集合的有_.所有的奇数不小于-2 的数满足方程2x-y=0 的解为坐标的点很小的数漂亮的花不满足x+1=0 的实数解析：中描述的元素都具有确定性，能构成集合，而中描述的元素都不具有确定性，即无法判断一个元素是否属于集合，故不能构成集合.答案：变式提升5已知满足“如果xA,则 6-x A”的自然数x 构成集合A.(1)若 A是一个单元素集，则A=_;(2)若 A有且只有两个元素，则A=_.解析：（1）3 A,则 6-3 A,A=3；(2)2A,6-2 A,A=2,4.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学同理 A=0，6或1，5.答案：（1）3 （2）2，4 0，6 1，5
