高中数学第2章几个重要的不等式章末分层突破学案北师大版选修4-5.pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学第 2 章 几个重要的不等式章末分层突破学案北师大版选修 4-5 自我校对 一般形式的柯西不等式排序不等式逆序和乱序和原理贝努利不等式柯西不等式的应用柯西不等式形式优美，结构易证，因此在解题时，根据题目特征，灵活运用柯西不等式，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学可证明一些简单不等式已知a，b，c是实数，且abc1，求证：13a113b113c143.【精彩点拨】根据特征不等式的特点，可考虑用柯西不等式证明，但要先构造向量(1,1,1)，利用|mn|2|m|2|n|2证明【规范解答】因为a，b，c是实数，且abc1，令m(13a1，13b1，13c1)，n(1,1,1)则|mn|2(13a113b113c1)2，|m|2|n|23(13a1)(13b1)(13c1)313(abc)3 48.|mn|2|m|2|n|2，(13a113b113c1)248，13a113b113c143.再练一题 1设a，b，x，y都是正数，且xyab，求证：a2axb2byab2.【证明】因为a，b，x，y都是正数，xyab，由柯西不等式可知a2axb2by(axby)aaxaxbbyby2(ab)2.又axby2(ab)所以a2axb2byab2abab2.利用排序不等式证明不等式应用排序不等式的技巧在于构造两个数组，而数组的构造应从需要入手来设计，这一点应从所要证的式子的结构观察分析，再给出适当的数组已知a，b，c为正数，求证：abca2b22cb2c22ac2a22b.【精彩点拨】本题属于左3 项右 3 项的类型，虽然a，b，c没有顺序，但可用顺序不等式证明，不妨先设abc，再利用定理证明【规范解答】由于不等式关于a，b，c对称，可设abc0.于是a2b2c2，1c1b1a.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学由排序不等式，得a21ab21bc21ca21bb21cc21a，及a21ab21bc21ca21cb21ac21b.以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中的不等式 再练一题 2 设a，b，c为某一个三角形的三条边，abc，求证：(1)c(abc)b(cab)a(bca)；(2)a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.【证明】(1)用比较法：c(abc)b(cab)acbcc2bcabb2b2c2acab(bc)(bc)a(bc)(bca)(bc)因为bc，bca0，于是c(abc)b(cab)0，即c(abc)b(cab)同理可证b(cab)a(bca)综合，证毕(2)由题设及(1)知abc，a(bca)b(cab)c(abc)，于是由排序不等式“逆序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ab(bca)bc(cab)ca(abc)3abcab(ba)bc(cb)ca(ac)再一次由“逆序和乱序和”得a2(bca)b2(cab)c2(abc)ac(bca)ba(cab)cb(abc)3abcac(ca)ab(ab)bc(bc)将和相加再除以2，得a2(bca)b2(cab)c2(abc)3abc.利用柯西不等式求最值由于柯西不等式是求解含多个变量式子最值(除平均值不等式外)的一种重要方法，是某些求最值问题的唯一工具，应用的关键是根据题设条件，对目标函数进行配凑，以保证出现常数结果，同时，注意等号成立的条件小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学求实数x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy 6)2达到最小值【精彩点拨】根据x，y的系数适当构造形式求解，切忌等号成立的条件【规范解答】由柯西不等式，得(12 2212)(y1)2(3 xy)2(2xy6)2 1(y 1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy 6)216，当且仅当y113xy22xy 61，即x52，y56时，上式取等号故所求x52，y56.再练一题 3已知xyz1，求 2x2 3y2z2的最小值【解】由柯西不等式，得2x23y2z2611(2x23y2z2)121316112x223y33z12611(xyz)2611，2x23y2z2611.当且仅当2x223y33z1，即x311，y211，z611时取等号2x23y2z2的最小值为611.数学归纳法与猜想证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法已知f(n)12x2n1，g(n)n21n21，当n4 时，试比较f(2)与g(n)的大小，并说明理由【精彩点拨】由f(n)与g(n)的关系，直接比较不容易，可先比较前n项，猜想出结论，再由数学归纳法证明小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【规范解答】由f(2)1222n1122n1，g(n)12n21，要比较f(2)与g(n)的大小，只需比较2n与n2的大小当n 4时，241642，当n 5时，25325225，当n 6时，26646236.故猜测当n5(nN)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明(1)当n5 时，命题显然成立(2)假设nk(k5，且kN)时，不等式成立，即 2kk2(k5)，则当nk1 时，2k122k2k2k2k2 2k1 2k1 (k1)2(k1)22(k1)2(k 1)22.由(1)(2)可知，对一切n5，nN，2nn2成立综上可知，当n4 时，f(2)g(n)n21n21；当n5 时，f(2)g(n)再练一题 4在数列 an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，并猜想an，bn的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想【解】(1)由条件可得2bnanan1，a2n1bnbn 1，则a22b1a16，b2a22b19；a32b2a212，b3a23b216；a42b3a320，b4a24b325.猜想ann(n1)，bn(n1)2.(2)证明：当n1 时，由a12，b14 知结论正确假设当nk时结论正确，即akk(k1)，bk(k1)2.则nk1 时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1a2k 1bkk2k2k2(k2)2.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即nk1 时结论正确由知猜想的结论正确.数学思想方法解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题本章常把要证明的不等式通过换元或恒等变形把命题转化为柯西不等式或排序不等式的形式加以解决已知abc，求证：1ab1bc4ac.【精彩点拨】构造柯西不等式的证明【规范解答】ac(ab)(bc)，ac，ac0，(ac)1ab1bc(ab)(bc)1ab1bc(1 1)24，1ab1bc4ac.再练一题 5设a，b，c为正数，且abc1，求证：a1a2b1b2c1c21003.【证明】左边13(121212)a1a2b1b2c1c2131a1a1b1b1c1c21311a1b1c2131abc1a1b1c213(1 9)21003，原结论成立1(陕西高考)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为 _小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学【解析】a，b，m，nR，且ab1，mn2，(ambn)(bman)abm2a2mnb2mnabn2ab(m2n2)2(a2b2)2abmn2(a2b2)4ab2(a2b2)2(a2b22ab)2(ab)22，当且仅当mn2时，取“”所求最小值为2.【答案】2 2(湖南高考)设x，y，zR，且满足：x2y2z21，x 2y3z14，则xyz_.【解析】由柯西不等式可得(x2y2z2)(12 22 32)(x 2y3z)2，即(x 2y3z)214，因此x2y3z14.因为x2y3z14，所以xy2z3，解得x1414，y147，z31414，于是xyz3147.【答案】31473(湖南高考)已知a，b，c R，a2b3c6，则a24b29c2的最小值为 _【解析】a2b3c6，1a12b13c6.(a24b29c2)(121212)(a2b 3c)2，即a24b2 9c212.当且仅当1a12b13c，即a2，b1，c23时取等号【答案】12 4(上海高考)设常数a0.若 9xa2xa1 对一切正实数x成立，则a的取值范围为_【解析】由题意可知，当x0 时，f(x)9xa2x29xa2x6aa1?a15，当且仅当 9xa2x，即xa3时等号成立【答案】15，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学5(全国卷)若a0，b0，且1a1bab.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得 2a3b 6？并说明理由【解】(1)由ab1a1b2ab，得ab2，且当ab2时等号成立故a3b32a3b342，且当ab2时等号成立所以a3b3的最小值为42.(2)由(1)知，2a 3b2 6ab43.由于 436，从而不存在a，b，使得 2a3b6.章末综合测评(二)(时间 120 分钟，满分150 分)一、选择题(本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设xy0，则x24y2y21x2)的最小值为()A 9 B9 C10 D0【解析】x22y21x2y2x1x2yy29.【答案】B 2设nN，则 4n与 3n的大小关系是()A4n3nB4n3nC4n3n，即 4n3n.【答案】A 3已知实数a，b，c，d，e满足abcde 8，a2b2c2d2e216，则e的取值范围为()A.0，455B 165，165C.0，165D455，455【解析】4(a2b2c2d2)(1 1 11)(a2b2c2d2)(abcd)2，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学即 4(16e2)(8e)2，644e264 16ee2，即 5e216e0，e(5e16)0，故 0e165.【答案】C 4学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40 件，50 件，20 件，现在选择商店中单价为 5 元，3 元，2元的奖品，则至少要花()A300 元B360 元C320 元D340 元【解析】由排序原理，逆序和最小最小值为502403205 320(元)【答案】C 5函数y29x4x(x0)的最大值是()A 10 B10 C 11 D11【解析】y2 9x4x2 236 10.【答案】A 6已知a，b，c(0，)，ab 4c21，则ab2c的最大值是()【导学号：94910043】A5 B102C8 D132【解析】1212122(ab4c2)(ab2c)2，ab2c52102.当且仅当ab25，c510时等号成立【答案】B 7若x2y 4z1，则x2y2z2的最小值是()小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学A21 B121C16 D116【解析】1x2y4zx2y2z214 16，x2y2z2121，即x2y2z2的最小值为121.【答案】B 8设S(n)1n1n11n21n2，则()AS(n)共有n项，当n2 时，S(2)1213BS(n)共有n1 项，当n2 时，S(2)121314CS(n)共有n2n项，当n2 时，S(2)121314DS(n)共有n2n1 项，当n2 时，S(2)121314【解析】S(n)共有n2n1 项，当n2 时，S(2)121314.【答案】D 9设a，b，c为正数，且a 2b3c13，则3a2bc的最大值为()A.1333B1332C.13 D613【解析】(a2b3c)3212132a32b13c132(3a2bc)2，(3a2bc)21323，3a2bc1333，当且仅当a32b13c13时取等号又a 2b3c13，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学a9，b32，c13时，原式取到最大值1333.【答案】A 10已知a，b，c为正数，且满足a 2b3c1，则1a12b13c的最小值为()A7 B8 C11 D9【解析】a，b，c为正数，且满足a2b3c1，1a12b13c(a2b3c)1a12b13c33a2b3c331a12b13c 9，当且仅当a2b3c13时取等号 因此1a12b13c的最小值为 9.【答案】D 11 用 数 学 归 纳 法 证 明12 cos cos 3 cos(2n 1)sin 2n12cos 2n12sin(k，kZ，nN)，在验证n1 时，左边计算所得的项是()A.12B.12cos C.12cos cos 3 D.12cos cos 2 cos 3【解析】首项为12，末项为cos(2 1 1)cos.【答案】B 12设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz 20，则abcxyz的值为()A.14B13C.12D34【解析】由题意可得x2y2z22ax2by2cz，小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学与a2b2c210 相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令xaa，ybb，zcc或xab，ybc，zca.则xyz2(abc)，即abcxyz12.【答案】C 二、填空题(本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13证明 112131412n1n2(nN)，假设nk时成立，当nk1 时，左边增加的项数是 _【解析】左边增加的项数为2k112k12k.【答案】2k14已知x，y，zR，xyz9，则xyz的最大值是 _【解析】(xyz)2(121212)(xyz)39 27，所以xyz33.当且仅当xyz3 时取“”【答案】33 15若xyzt4，则x2y2z2t2的最小值为 _【解析】比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x2y2z2t2)(12121212)(xyzt)2，当且仅当xyzt1 时，取最小值 4.【答案】4 16函数y 11sin 11cos 0 2的最小值是 _.【导学号：94910044】【解析】由柯西不等式，得y 121sin 2121cos 2111sin 1cos 2小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学 12sin 2 2(12)2322.当且仅当1cos 1sin，即 4时等号成立【答案】322 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10 分)设x，y，zR，且x216y25z241.求xyz的最大值和最小值【解】根据柯西不等式，知42(5)222x142y252z3224x145y 252z322，当且仅当x116y25z34，即x215，y 1，z195或x115，y 3，z115时等号成立251(xyz2)2，|xyz2|5，3xyz7，即xyz的最大值为7，最小值为 3.18(本小题满分12 分)设x22y21，求u(x，y)x 2y的最小值.【导学号：94910045】【解】由柯西不等式，有|u(x，y)|1 x22y|12x22y23.得umax3，umin3.分别在33，33，33，33时取到小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学19(本小题满分12 分)求证：12131412n 1n22(n2)【证明】(1)当n2 时，120，不等式成立(2)假设nk(k2)时，原不等式成立即1213141512k1k22，则当nk1 时，左边12131412k112k 1112k1212k12k1k2212k1112k1 212k12k1k2212k12k12kk222k12kk12k22.当nk1 时，原不等式成立由(1)(2)知，原不等式对n2 的所有的自然数都成立故12131412n1n22(n2)20(本小题满分12 分)已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0 的解集为 1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c为正数，且1a12b13cm，求证：a2b3c9.【解】(1)因为f(x2)m|x|，所以f(x2)0 等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0 的解集为 1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1a12b13c1，又a，b，c为正数，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)1a12b13ca1a2b12b3c13c29.21(本小题满分12 分)已知正数x，y，z满足xyz1.(1)求证：x2y2zy2z2xz2x2y13；(2)求 4x4y 4z2的最小值【解】(1)证明：因为x0，y0，z0，所以由柯西不等式得：(y2z)(z2x)(x2y)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学x2y 2zy2z 2xz2x 2y(xyz)2，又因为xyz1.所以x2y2zy2z2xz2x2yxyz2y 2zz2xx2y13.(2)由平均值不等式得4x4y4z2334xyz2，因为xyz1，所以xyz21zz2z1223434，故 4x4y4z23343432，当且仅当xy14，z12时等号成立，所以 4x4y4z2的最小值为32.22(本小题满分12 分)用数学归纳法证明1n21121312n12n(nN)【证明】(1)当n1 时，左边 112，右边121，3211232，命题成立当n 2时，左边 1222；右边12252，2112131452，命题成立(2)假设当nk(k2，kN)时命题成立，即 1k21121312k1k2 2k12k 1 1k12.又 1121312k12k112k212k2k12k2k12k12(k1)，即nk1 时，命题也成立由(1)(2)可知，命题对所有nN都成立