高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明课堂导学案.pdf
小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学2.2.2 间接证明课堂导学三点剖析各个击破一、证明数学中的基础命题宜用反证法【例 1】求证:质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下:p1,p2,pk,令 q=p1p2pk+1.q 总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1i k)都除不尽q.假若不然,由 pi除尽q,及 pi除尽 p1,p2,pk,可得到pi除尽(q-p1p2pk),即 pi除尽 1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽 q.这说明 q 有不同于 p1,p2,pk的质因数.这与只有 p1,p2,pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定 B不成立,则 B的反面成立,然后从 B的反面成立的假定出发,利用一些公理,定理,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设B不成立”是错误的.则 B成立.类题演练1 证明:1,3,2 不能为同一等差数列的三项.证明：假设 1，3，2 为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d，则 1=3-md,2=3+nd，其中 m,n 为某两个正整数，由上面两式消去d，得2m+n=(m+n)3,因为 n+2m为有理数，而（m+n）3为无理数，所以n+2m(n+m)3,因此假设不成立，即1，3，2 不能为同一等差数列的三项.变式提升1 a、b是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.证明：假设直线 a、b 至少有两个交点A和B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.二、某些数学问题的证明可用反证法【例 2】已知a、b、c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于41.证法一:假设三同时大于41,即(1-a)b41,(1-b)c41,(1-c)a41,三相乘,得:(1-a)a(1-b)b(1-c)c641.又(1-a)a(2aa1)2=41.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学同理,(1-b)b41,(1-c)c41.以上三相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c641,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c641矛盾,故结论得证.证法二:假设三同时大于41.0a1,1-a0.2141a)b-(12ba)-(1.同理,212ac)-(1,212cb)-(1.三相加得2323矛盾,原命题成立.温馨提示要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等”，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较为易找，应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”，即“至少有一个不是”（不是“都不是”）；“都有”的反面为“不都有”，即“至少一个没有”（不是“都没有”）；“都不是”的反面为“部分是或全部是”，即“至少有一个是”（不是“都是”）；“都没有”的反面为“部分有或全部有”，即“至少一个有”（不是“都有”）.类题演练2 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（）A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角解析：“最多只有一个”即“只有一个或没有”，它的反面应是“有两个或有三个”.答案：C 变式提升2 已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.证明：假设 a 不是偶数，则a 为奇数.设 a=2m+1(m为整数)，则 a2=4m2+4m+1.4(m2+m)是偶数，4m2+4m+1为奇数，即a2为奇数与已知矛盾.a一定是偶数.三、综合应用【例 3】证明方程2x=3 有且只有一个根.证明：2x=3,x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2x=3 的根是唯一的.假设方程2x=3 有两个根b1、b2(b1b2),小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学则 2b1=3,2b2=3.两相除,得 2b1-b2=1.如果b1-b20,则 2b1-b21,这与 2b1-b2=1 相矛盾;如果b1-b20,则 2b1-b21,这也与 2b1-b2=1 相矛盾.因此b1-b2=0,则b1=b2.这就同b1b2相矛盾.如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾.故 2x=3 有且只有一个根.温馨提示“有且只有”表示“存在且唯一”因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.类题演练3 已知平面M内有两相交直线a、b(交点为P)和平面N平行.求证:平面M平面N.证明：假设平面M不平行平面N，则M和N一定相交，设交线为c.a平面N，ac.同理 bc.则过 c 外一点P有两条直线与c 平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾.所以假设不成立.所以平面M平面N.变式提升3 直线a平面M,平面N过a且和平面M相交于直线b,求证:ab.证明：假设 ab.a、b 共面，则它们相交，设交点为A.bM,点A也在平面M内（点A在直线 b 上）.又A点直线 a 上，故 a 与平面M有公共点A，这与题设a平面M相矛盾.假设 ab不正确.ab.
